Глава 03 Прямая и плоскость

Все комментарии, относящиеся к аналогичным уравнениям прямой

это было сделано выше для плоскости, несложно вывести общее уравнение прямой на плоскости

ab

инормированное уравнение прямой на плоскости

Все замечания, доказательства и комментарии, которые необходимо здесь сделать, совершенно аналогичны замечаниям, доказательствам и комментариям, приведенным выше. Справедливы и похожие тео-

ремы.

Теорема 3.5. Если прямая имеет уравнение вида (3.16), то она пере-

секается с осями координат в точках с координатами (a,0), (0,b),

т.е. расстояние от начала координат до этих точек задают «от-

резки» a, b.

Теорема 3.6. Результат подстановки в левую часть нормированно-

го уравнения прямой координат точки M1(x1, y1)есть отклонение точки M1 от этой прямой.

Кстати, нормированное уравнение прямой получается при умножении общего уравнения этой прямой на его нормирующий множитель

Знакомо со школы и широко используется еще одна моди-

фикация общего уравнения прямой на плоскости − так называемое

уравнение прямой с угловым коэффициентом. Если коэффициент B

общего уравнения не равен нулю, то это уравнение можно перепи-

Это и есть уравнение прямой с угловым коэффициентом. Величина k называется угловым коэффициентом прямой. Несложно показать,

что k tg , где − угол наклона прямой к оси Ox12, а коэффициент b представляет собой величину отрезка, отсекаемого данной прямой на оси Oy, начиная от начала координат13.

12 Углом наклона прямой к оси Ox называют угол, на который надо повер-

нуть полуось Ox (ее направление задает вектор i ) против часовой стрелки, чтобы она совместилась с прямой.

13 Прямая пересекается с осью Oy в точке с координатами x 0, y b.

3.4. Некоторые задачи аналитической геометрии

Уравнение плоскости, проходящей через три точки

Плоскость проходит через три различные точки M1(x1, y1,z1),

M2(x2, y2,z2),M3(x3, y3,z3), не лежащие на одной прямой. Ука-

занные три точки не лежат на одной прямой, следовательно, векторы

M1M2 (x2 x1, y2 y1,z2 z1) , M1M3 (x3 x1, y3 y1,z3 z1)

не коллинеарны, а поэтому могут служить направляющими векто-

рами плоскости. Выбирая в качестве начальной точки плоскости точку M1 и полагая, что p M1M2 , а q M1M3 запишем искомое уравнение (формула 3.5)

Уравнение прямой, проходящей через две точки

Уравнение прямой, проходящей через заданную точку, и

перпендикулярной данной плоскости

Дана точка M1(x1,y1,z1) и плоскость Ax By Cz D 0.

Каноническое уравнение искомой прямой имеет вид

x x1 y y1 z z1 , A B C

так как ее направляющим вектором служит вектор нормали плоско-

сти n (A,B,C), а в роли начальной точки может выступать точка

M1(x1,y1,z1)

Уравнение плоскости, проходящей через заданную точку, и

перпендикулярной данной прямой

В этом случае направляющий вектор p (p1, p2, p3) прямой одно-

временно является вектором нормали нашей плоскости, а в роли на-

чальной точки выступает точка M1(x1,y1,z1).

Уравнение плоскости, проходящей через заданную точку, и

параллельной данной плоскости

Дана точка M1(x1,y1,z1) и плоскость Ax By Cz D 0.

Общее уравнение искомой плоскости легко получится из уравнения A(x x1) B(y y1) C(z z1) D 0 . Действительно, коор-

динаты точки M1(x1,y1,z1) удовлетворяют этому уравнению и иско-

мая и заданная плоскости имеют общий вектор нормали

Пересечение прямой и плоскости

Всистеме координат Oxyz плоскость имеет общее урав-

нение

Ax By Cz D 0,

а прямая a задана параметрическими уравнениями

x x0 tp1,

y y0 tp2,

z z0 tp3.

Плоскость и прямая a пересекаются тогда и только тогда,

когда вектор нормали плоскости n (A,B,C) и направляющий век-

Если условие (3.22) выполнено, то плоскость и прямая имеют об-

щую точку M*(x*, y*,z*) . Поэтому

Ax* By* Cz* D 0

и существует t t* такое, что

Имеем

A(x0 t* p1) B(y0 t* p2) C(z0 t* p3)

Ax0 By0 Cz0 t*(Ap1 Bp2 Cp3) 0.

Откуда найдем, что

t* Ax0 By0 Cz0 .

Ap1 Bp2 Cp3

Подставляя найденное значение параметра t* в (3.23), получим ис-

комые координаты точки пересечения M*(x*, y*,z*) .

Расстояние от точки до плоскости

Покажем три способа, позволяющие найти расстояние d от точки M1(x1, y1,z1) до плоскости .

Если плоскость задана нормированным уравнением, то

(теорема 3.5) остаётся только подставить в левую часть этого урав-

нения вместо переменных x, y, z соответствующие координаты точки M1 . Модуль числа, полученного при этом, и есть искомый результат:

d | x1 cos y1 cos z1 cos p |.

Учитывая выражение для нормирующего множителя (3.8) и теорему

При этом достаточно знать только общее уравнение плоскости.

Пусть плоскость задана общим уравнением. Запишем

уравнение прямой a, проходящей через точку M1 (начальная точка прямой) перпендикулярно плоскости . Направляющим вектором такой прямой может служить нормальный вектор n (A,B,C)

плоскости . Её параметрические уравнения имеют вид

x x1 At,

y y1 Bt,

z z1 Ct.

Теперь остается найти точку пересечения плоскости с прямой a

(пусть это будет точка M2(x2, y2,z2)) и вычислить модуль вектора

M1M2 — это и будет искомое расстояние. Итак,

сти . В этом случае искомое расстояние можно найти как высоту параллепипеда, построенного на векторах M0M1 , p и q , и опу-

щенную на основание, являющееся параллелограммом, построен-

ным на векторах p и q . Свойства смешанного произведения векто-

ров позволяют легко найти объём параллепипеда

V (M0M1, p,q) , а свойства векторного произведения векторов −

площадь основания: S | p,q |. Поэтому

142 Глава 3. Прямая и плоскость

Прямая a имеет начальную точку M0(x0, y0,z0) и направляющий

вектор p (p1, p2, p3). Проще всего искомое расстояние можно найти как высоту параллелограмма, построенного на векторах

M0M1 и p , опущенную на основание, соответствующее вектору

p . Известно, что площадь такого параллелограмма S | M0M1, p |

(геометрическая интерпретация модуля векторного произведения) и

она равна произведению длины основания на высоту параллело-

грамма. Следовательно

d | M0M1, p | . p

Кроме того, расстояние d можно найти и как расстояние от точки M1 до точки M2 . Здесь M2 − точка пересечения прямой a и

плоскости, которая проходит через точку M1 (начальная точка плоскости) перпендикулярно прямой a. Естественно, что направ-

ляющий вектор прямой p (p1, p2, p3) будет в этом случае векто-

ром нормали плоскости. Общее уравнение такой плоскости нахо-

дится из равенства

p1(x2 x1) p2(y2 y1) p3(z2 z1) 0.

Выше уже было показано, как можно найти координаты точ-

ки M2 , а искомое расстояние d M1M2 .

Расстояние между скрещивающимися прямыми

Прямые a и b называются скрещивающимися, если они не

параллельны и не пересекаются.

Зададим прямую a начальной точкой M1(x1, y1,z1) и на-

правляющим вектором p (p1, p2, p3), а прямую b начальной точ-

кой M2(x2, y2,z2) и направляющим вектором q (q1,q2,q3). Бу-

дем считать эти прямые не параллельными и, следовательно, векто-

ры p и q не коллинеарны.

Скрещивающиеся прямые не могут лежать в одной плоско-

сти, иначе они были бы параллельными или пересекающимися пря-

мыми.

Рассмотрим две плоскости — плоскость , определяемую

начальной точкой M2(x2, y2,z2) и направляющими векторами

p (p1, p2, p3) и q (q1,q2,q3) (рис. 3.5).

q

a

p

h

Плоскости параллельны, ибо у них одни и те же направляю-

щие векторы. Очевидно, что плоскость содержит в себе прямую a, плоскость − прямую b . Пусть расстояние между плоскостями

и равно h, а расстояние между двумя произвольно выбран-

ными точками, одна из которых принадлежит прямой a, а вторая − прямой b , равно d . Меняя выбор точек, будем получать разные значения величины d . Она изменяется, неограниченно увеличива-

ясь, начиная с некоторого минимального значения. Очевидно, что d h и есть точки, расстояние между которыми равно h. На пря-

мой a это точка пересечения этой прямой с проекцией прямой b на