Глава 03 Прямая и плоскость

126 Глава 3. Прямая и плоскость

► Для доказательства достаточно подставить в уравнение (3.6)

тройки чисел (a,0,0), (0,b,0), (0,0,c). ◄

Имея уравнение плоскости в отрезках, можно легко и просто представить положение плоскости относительно заданной системы

Нормированное уравнение плоскости

Введем некоторую систему координат Oxyz и рассмотрим плоскость , не проходящую через начало координат. Определим плоскость нормальным единичным вектором n , таким, что если его начало совместить с началом координат, то он будет направлен в сторону плоскости . Кроме того, укажем еще и расстояние p от начала координат до плоскости . Так задать можно одну и только одну плоскость (рис.3.4). По традиции координаты единичного век-

n (cos , cos , cos ). Пусть M(x, y,z) − произвольная точка.

Рассмотрим радиус-вектор OM (x, y,z).

Очевидно следующее утверждение.

Точка M принадлежит плоскости в том и только в том слу-

чае, если проекция вектора OM на вектор n равна p , т.е., при-

нимая во внимание, что n 1, если скалярное произведение этих векторов равно p :

является уравнением плоскости потому, что ему удовлетворяют координаты всех точек плоскости и только точек плоскости .

Это уравнение называется нормированным уравнением плоскости10.

Пусть число d обозначает расстояние от точки M до плоско-

сти .

Определение 3.3. Отклонением точки M от плоскости назо-

вем число d в случае, когда точка M и начало координат O лежат по разные стороны от плоскости , и число d в случае, когда M

и O лежат по одну сторону от плоскости .

10 Нормированное уравнение является специальным образом записанным общим уравнением плоскости, где A cos , B cos , C cos , D p .

Теорема 3.4. Результат подстановки в левую часть нормированно-

го уравнения плоскости координат точки M1(x1, y1,z1) есть

отклонение точки M1 от плоскости .

► Пусть точка M0(x0, y0,z0) принадлежит плоскости и плос-

кость задана нормированным уравнением (3.7). Тогда

x0 cos y0 cos z0 cos p 0 и p x0 cos y0 cos z0 cos .

Отклонение точки M1 от плоскости равно проекции вектора M0M1 на ось, определяемую единичным вектором n

(рис 3.4):

(M0M1,n) (M0M1,n). n

Следовательно,

(x1 x0)cos (y1 y0)cos (z1 z0)cos

x1 cos y1 cos z1 cos (x0 cos y0 cos z0 cos )

x1 cos y1 cos z1 cos p.◄

Теорема 3.4 дает возможность весьма просто находить рас-

стояние от произвольной точки M1(x1,y1,z1) до плоскости, заданной своим нормированным уравнением. Для этого нужно всего лишь подставить в левую часть нормированного уравнения плоскости вместо переменных x, y, z соответствующие координаты этой точки и найти модуль полученного результата подстановки:

d | x1 cos y1 cos z1 cos p|.

Нормированное уравнение плоскости можно получить из произвольного общего уравнения этой плоскости, умножая послед-

нее на определенный числовой множитель. Пусть задано общее уравнение плоскости Ax By Cz D 0. Запишем нормирован-

ное уравнение этой плоскости в виде A1x B1y C1z D1 0, где

A1 tA, B1 tB, C1 tC, D1 tD .

Здесь t − искомый множитель. Учитывая, что направляющие коси-

нусы являются координатами единичного вектора, имеем

A12 B12 C12 cos2 cos2 cos2 t2(A2 D2 C2) 1,

следовательно

чала координат до плоскости), поэтому числа t и D должны иметь разные знаки. Итак.

Коротко это можно записать следующим образом:

Число t, определяемое формулой (3.8), называется нормирующим множителем общего уравнения плоскости.

Таким образом, при умножении общего уравнения плоскости на его нормирующий множитель (3.8) оно преобразуется в нормиро-

ванное уравнение этой плоскости.

Параметрические уравнения плоскости

Пусть плоскость задана начальной точкой M0(x0, y0,z0)

и направляющими векторами p (p1, p2, p3) и q (q1,q2,q3).

Справедливо следующее утверждение.

Точка M принадлежит плоскости в том и только в том слу-

чае, если векторы M0M , p и q компланарны, а это возможно то-

гда и только тогда, когда вектор M0M может быть разложен по

двум оставшимся векторам (теорема 2.7): M0M t p s q .

Записывая последнее векторное равенство в координатном виде, после переноса координат начальной точки плоскости из левой части в его правую часть получим

1,если x 0;

11 По определению signx 0,если x 0;

1,если x 0.

Параметры t и s могут принимать любые действительные значе-

ния, определяя координаты всех точек и только точек плоскости .

Равенства (3.9) являются параметрическими уравнениями плоско-

сти.

В общем случае точку в пространстве можно задать с помо-

щью трех чисел – ее координат. Если же точка принадлежит некото-

рой плоскости, параметрическое уравнение которой известно, то она может быть задана уже только двумя числами − соответствующими значениями параметров t и s .

Параметрические и канонические уравнения прямой в про-

ведливо следующее утверждение.

Точка M принадлежит прямой a в том и только в том случае,

если векторы M0M , p коллинеарны, а это возможно тогда и

только тогда, когда вектор M0M t p, либо когда координаты векторов M0M и p пропорциональны.

В первом случае, записывая векторное равенство

M0M t p в координатном виде, после переноса координат на-

132 Глава 3. Прямая и плоскость

чальной точки плоскости из левой части равенства в его правую часть получим параметрические уравнения прямой линии

В область изменения параметра t входят все вещественные числа.

Во втором случае придем к равенствам

которые принято называть каноническими уравнениями прямой ли-

нии. Равенства (3.10) и (3.11) являются уравнениями заданной пря-

мой потому, что им удовлетворяют координаты всех точек и только точек этой прямой.

Заметим, что в канонических уравнениях (3.11) одно или два из чисел p1, p2, p3 могут оказаться равными нулю. Так как всякую

пропорцию ab cd понимают как равенство ad bc, то обраще-

ние в нуль одного из знаменателей в (3.11) означает обращение в нуль и соответствующего числителя.

Если точка принадлежит некоторой прямой, параметриче-

ские уравнения которой известны, то она может быть задана уже не тремя своими координатами, а только одним числом – соответст-

вующим значением параметра t.

Прямая, заданная пересечением двух плоскостей

Уже отмечалось, что прямая линия в пространстве может быть представлена как пересечение двух различных и не параллель-

ных плоскостей. Покажем, как можно получить параметрические уравнения прямой линии, которая задана уравнениями двух пересе-

кающихся плоскостей

То, что плоскости, определяемые уравнениями (3.12) не параллель-

ны (и не совпадают), означает нарушение хотя бы одной из пропор-

ций A1 A2 B1 B2 C1 C2 .

Рассмотрим уравнения (3.12) как систему двух линейных алгебраических уравнений с тремя неизвестными. Для её решения воспользуемся методом Гаусса. Так как для определения трех неиз-

вестных имеется только два уравнения, то выберем из трех две (ба-

зисных), для которых отличен от нуля определитель, составленный из коэффициентов при этих неизвестных. Оставшуюся (свободную)

неизвестную положим равной t и перенесем все члены, содержащие t в правые части уравнений. Решение получившейся при этом сис-

темы двух уравнений с двумя неизвестными, зависящее от парамет-

ра t, и будет искомыми параметрическими уравнениями нашей пря-

мой.

Можно поступить иначе. Вначале найдем координаты какой-

либо точки, принадлежащей данной прямой. Её примем за началь-

134 Глава 3. Прямая и плоскость

ную точку прямой. Это можно сделать по описанному выше сцена-

рию, только вместо параметра t следует задать любое конкретное

число, например, 0. Для нахождения направляющего вектора p об-

ратим внимание на то, что искомый вектор должен быть ортогона-

n1,n2 этих векторов. Зная координаты начальной точки прямой и координаты направляющего вектора, не составляет труда записать,

пользуясь формулами (3.10) и (3.11), параметрические или канони-

ческие уравнения рассматриваемой прямой.

Уравнения прямой на плоскости

Введем на плоскости систему координат Oxy.

Если прямая на плоскости задана начальной точкой M0 (x0, y0 )

и направляющим вектором p (p1, p2 ), то совершенно так же, как это было сделано в предыдущих пунктах, можно получить пара-

метрические уравнения прямой на плоскости