Способы доказательства

Доказательства делятся на прямые и косвенные по типу отношений аргументов и тезиса.

Прямое доказательство - это доказательство, в котором истинность тезиса выводится из истинности аргументов без введения дополнительных предположений.

Пример. Доказательство "Все люди смертны, потому что все люди, родившиеся до ХVШ века включительно, умерли" является прямым, поскольку выводит истинность (вероятностную в данном случае) тезиса из истинности аргументов (единичных суждений о том, что каждый из упомянутых людей умер) при помощи популярной индукции. Здесь не требуется никаких дополнительных суждений, кроме аргументов и тезиса.

Пример. В речи нашего обвинителя прямое доказательство применяется в ходе доказательства того, что И.принял меры к обеспечению алиби. Действительно, здесь мы имеем дело с энтимемой: "Алиби И. удостоверено родственниками или друзьями, следовательно, И. принял меры к обеспечению алиби". Если развернуть эту энтимему, то получится: "Алиби И. удостоверено родственниками или друзьями. Если алиби удостоверено родственниками, то И. принял меры к обеспечению алиби. Если алиби удостоверено друзьями, то И. принял меры к обеспечению алиби. Следовательно, И. принял меры к обеспечению алиби". Это - простая конструктивная дилемма, т.е. прямое доказательство.

Наглядно структуру прямого доказательства можно представить следующим образом:

Рис. 3

где а₁, а₂, ..., а_n- аргументы, аТ- тезис.

Косвенное доказательство- это доказательство, в котором тезис обосновывается при помощи введения дополнительных суждений, несовместимых с тезисом.

Пример. Разберем, каким образом в речи обвинителя происходило доказательство того, что факт поджога имел место. Обвинительпредполагает, чтопожар произошел от посторонней причины. Но тогда, говорит он,сигнализация должна была быть включена. Но из фактов дела известно, чтосигнализация была отключена. Следовательно, выдвинув предположение, противоречащее доказываемому суждению, мы получили противоречие, а это означает, что наше предположение ложно и истинно его отрицание.

Косвенные доказательства можно разделить на два вида в зависимости от отношений тезиса к вводимому дополнительному суждению, которое мы будем называть допущением косвенного доказательства: 1) рассуждение от противного и 2)разделительное доказательство.

Мы уже знакомы с этими видами рассуждений из темы "Умозаключение" (§ 5 главы 12). Однако в данном случае существует некоторое отличие, которое связано с различием между умозаключениями и доказательствами. Умозаключения для своей правильности требуют только правильной логической связи между посылками и заключением. Ложность посылок не оказывает влияния на правильность умозаключения. Доказательство обосновывает истинность тезиса, поэтому его посылки - аргументы - также должны быть истинными.

Доказательство от противного.

По своей формальной структуре доказательство от противного совпадает с рассуждением от противного, которое было рассмотрено в главе 12 § 5. Единственное изменение состоит в том, что мы рассматриваем не произвольное суждение А, а тезис некоторого доказательства Т. Доказательство от противного начинается с того, что:

а) мы временно предполагаем истинность суждения, противоречащего тезису.

Суждение, противоречащее тезису доказательства, называется антитезисом.

Символически: если тезис - это суждение Т, то антитезис -;

б) из антитезиса при помощи обычных средств дедукции выводится противоречие, т.е. суждение вида А и одновременно суждение, т.е. А;

в) по схеме сведения к абсурду выводится заключение о ложности антитезиса:;

г) по закону двойного отрицания (Т) получаем Т.

Отсюда: доказано, что Т.

Наглядно это доказательство можно изобразить следующим образом:

Рис. 4

Разделительное доказательство

Разделительное доказательство по своей формальной структуре совпадает с разделительно-категорическим умозаключением, способ отрицающе-утверждающий. Единственное отличие связано с тем, что в разделительном доказательстве мы заранее выделяем тезис суждение, истинность которого стремимся обосновать. В таком случае разделительное доказательство подсказывает нам стратегию доказательства: чтобы доказать некоторый тезис Т, который мы не можем вывести из аргументов впрямую, следует построить такое разделительное суждение р₁ ... р_nТ, в котором тезис будет одним из составляющих суждений, а затем попытаться доказать ложность всех сужденийр₁,..., р_n. Тогда по схеме разделительно-категорического умозаключения будет следовать истинность нашего тезиса Т.

p₁...p_n T

T

Примеры разделительных доказательств совпадают с примерами разделительно-категорических умозаключений, способ отрицающе-утверждающий. Аналогична и возможная ошибка - неполный перечень альтернатив.