3. Законы сохранения импульса и энергии Лабораторная работа №4. Крутильный баллистический маятник

Цель работы: определение скорости пули при помощи крутильного баллистического маятника, изучение закона сохранения момента импульса.

Оборудование: установка, состоящая из крутильного маятника, пружинного пистолета и электронного блока, включающего в себя таймер и фотоэлектрический датчик для регистрации числа полных периодов колебаний, совершенных маятником. Крутильный маятник состоит из двух перпендикулярных массивных металлических стержней, вертикального и горизонтального, которые скрепляются между собой металлической муфтой (рис. 12). По горизонтальному стержню могут перемещаться два груза цилиндрической формы, массы которых известны, а на его концах закреплены контейнеры, заполненные пластилином. Угол поворота относительно положения равновесия измеряется в градусах по внешней шкале, размеченной на внешнем пластиковом коробе. Маятник подвешен на вертикальной металлической струне. Деформация струны создает момент упругих сил, возвращающий маятник в положение равновесия.

Пистолет представляет собой жестко закрепленную на установке трубку-ствол с внешней пружиной. После освобождения пружина выбрасывает пулю. Электронный блок включается нажатием клавиши «сеть». На панели расположены два табло: одно из них показывает число полных периодов колебаний маятника, а на другом высвечивается время, за которое эти периоды были совершены. После нажатия клавиши «сброс» происходит обнуление обоих табло электронного блока. Клавиша «пуск» переводит электронный блок в состояние ожидания. В это время следует сделать выстрел. Когда маятник в первый раз проходит через фотоэлектрический датчик, начинается отсчет времени и числа периодов колебаний. После нажатия на клавишу «стоп» и завершения маятником очередного периода табло высветит полное число периодов N и время t.

Рис. 12. Крутильный баллистический маятник. Основание (1), ножки (2), колонка (3), кронштейн (4) и (5), пистолет(6), пластиковый короб (7), шкала (8), фотоэлектрический датчик (9), чашечки (10), перемещаемые грузы (11), стержни (12), струны (13).

Теория эксперимента. После того как в маятник попадет пуля, он станет совершать колебания вокруг струны.

Предположим, что момент сил трения пренебрежимо мал и запишем уравнение движения маятника с помощью законов сохранения момента импульса и энергии. До удара абсолютное значение момента импульса пули массы m, движущейся со скоростью v, на расстоянии l до оси вращения крутильного маятника, равно L=. После столкновения момент количества движения пули переходит в момент количества движения маятника с пулей внутри, который совершает вращательное движение вокруг струны:. Из закона сохранения момента импульса следует, что:

. (1)

Здесь J₁ момент инерции маятника ml² – момент инерции пули относительно оси струны, ω – угловая скорость маятника.

Если пренебречь работой сил трения и сопротивления воздуха, то, согласно закону сохранения энергии, кинетическая энергия в момент столкновения должна быть равна потенциальной энергии упругой деформации проволокипри максимальном угле поворота:

, (2)

где D – постоянная момента упругих сил. Ее значение не известно, поэтому в дальнейших преобразованиях ее следует исключить. Из уравнений (1) и (2) получим выражение для скорости пули. Для этого выразим угловую скорость из уравнения (1):

; (3)

возведем ω в квадрат и подставим в уравнение (2):

. (4)

. (5)

Так как момент инерции пули, попавшей в чашечку маятника, во много раз меньше момента инерции самого маятника, то множитель в формуле (5) мы приблизительно будем считать равным, и тогда скорость можно будет рассчитать по формуле:

. (6)

Пусть пуля попала в маятник. Некоторое время она будет двигаться внутри пластилина, заполняющего его чашечку. Будем также считать, что время движения пули в пластилине во много раз меньше периода колебаний. Применим уравнение динамики вращательного движения:

(7)

к крутильному баллистическому маятнику, совершающему вращательное движение вокруг вертикальной струны. В уравнении (7) - момент импульса,- момент внешних сил. Проекция момента импульса на ось вращения (которая совпадает с направлением струны) равна:

. (8)

Производная по времени от этой величины равна проекции момента внешней силы на ту же ось, то есть моменту силы упругости струны:

. (9)

Знак «минус» означает, что направление момента силы упругости противоположно направлению угла поворота стержня. Уравнение движения маятника примет вид:

. (10)

Здесь α - угол поворота маятника,- угловое ускорение. Методы решения уравнений, вида (10) будут рассматриваться позднее, в курсе дифференциальных уравнений. Выполнив подстановку, можно убедиться, что тригонометрические функцииsin(ω₀t)иcos(ω₀t)являются его решениями. Величинаопределяется свойствами маятника и называется собственной частотой колебаний. Период колебаний крутильного баллистического определяется по формуле:

. (11)

Недостатком этой формулы является то, что не известны момент инерции J₁и постояннаяD. Необходимо исключить эти две величины, а для этого поменять значение момента инерции маятника на новое, равноеJ₂, так чтобы изменился и период колебанийT₂. Переместим металлические грузыMна горизонтальном стержне. Постоянная момента упругих силDостанется неизменной. Периоды колебаний системы для двух положений грузов будут иметь вид:

,. (12)

Разность моментов инерции для этих положений определим как

. (13)

Из формул (12) следует: ,. (14)

Из формул (12) также следует, что связь между периодами колебаний и моментами инерции маятника для двух положений имеет вид:

. (15)

Тогда для разности моментов инерции ΔJ будет выполняться равенство:

. (16)

Для J₁иΔJбудет выполняться соотношение, аналогичное (15):

, (17)

и тогда получим уравнение: . (18)

Найденное выражение для J₁подставим в формулу (6) для квадрата скорости пули:

. (19)

Пользуясь теоремой Гюйгенса-Штейнера рассчитаем величину:

(20)

где J₀момент инерции маятника, когда центры масс грузов совпадают с осью вращения (если только это возможно!). Разность между моментами инерцииJ₁иJ₂определяется разностью квадратов расстоянийR₁иR₂от центров масс грузовMдо оси вращения маятника. Пусть для определенностиR₁>R₂, тогда

(21)

Тогда формула квадрата скорости полета пули перепишется в виде:

. (22)

Она содержит один неизвестный параметр D. Из формул (12) следует, что:

, (23)

или . (24)

Подставим это выражение в формулу (22), получим:

. (25)

Окончательно, получим формулу для расчета скорости пули:

. (26)

Формула (26) позволяет рассчитать скорость пули, если знать ее массу m, массы грузов, измерить периоды колебанийT₁ иT₂в двух положенияхR₁иR₂, а также угол максимального отклоненияα₀.

При выводе формулы (26) не учитывались силы трения и сопротивления воздуха. Чашечки маятника имеют достаточно большие поперечные размеры, поэтому часть кинетической энергии пули будет затрачена на работу против силы сопротивления воздуха и маятник не сможет отклониться на максимальный угол α₀. Затухание может проявить себя уже в первые четверть периода колебаний. Функциональная зависимость угла отклонения стержня от положения равновесияαот времениtпри наличии затуханияδимеет вид:

. (27)

Рис. 13. Зависимость угла отклонения маятника от времени при наличии затухания.

График этой зависимости показан на рис. 13. Из-за потерь, спустя четверть периода колебаний, угол отклонения будет равен

. (28)

Если величина в (27) мала, то зависимостьможно считать почти линейной, и если, то изменение угла отклонения за четверть периода будет в четыре раза меньше изменения этого же угла за полный период. При отсутствии потерь энергии, угол максимального отклонения должен быть больше на величину потерь за четверть периода:

. (30)

Ход работы

1. Максимально удалите грузы вдоль стержня от оси вращения. Измерьте штангенциркулем расстояние R₁ от оси маятника до середины каждого груза. Эти расстояния должны быть одинаковы. Измерьте расстояние между осью маятника и серединой одной из чашечек с пластилином. Установите маятник так, чтобы ось ствола пистолета была перпендикулярна горизонтальному стержню и плоскости чашечки Обнулите таймер, нажав клавишу «сброс», нажмите кнопку «пуск» и затем произведите выстрел из пистолета. Отсчитайте максимальный угол поворота α₀ маятника (в радианах) от положения равновесия. Маятник должен совершить некоторое количество N (около 10) колебаний. Число колебаний маятника не должно быть слишком малым, чтобы относительная ошибка периода была много меньше ошибок измерения других величин. Рассчитайте период колебаний T₁.

2. Снова произведите выстрел. Отсчитайте максимальный угол поворота маятника и угол поворота спустя один период колебаний. Найдите угол максимального поворота α₀ при отсутствии потерь.

3. Переместите грузы в новое положение R₂ – ближе к оси вращения маятника (снова измерьте расстояние от оси маятника до середины грузов). Снова установите маятник, как сказано в пункте 1, обнулите таймер, переведите его в состояние ожидания и произведите новый выстрел.

4. Позвольте маятнику совершить некоторое число N полных колебаний, нажмите кнопку «стоп» и рассчитайте период колебаний для нового значения момента инерции маятника.

Все измерения выполняйте не менее четырех раз, рассчитайте средние значения и погрешности.

Обработка результатов

5. Рассчитайте скорость пули.

6. Оцените время соударения пули и контейнера с пластилином. Для этого измерьте глубину h проникновения пули в пластилин и воспользуйтесь выражением:

(14)

где - средняя скорость движения пули в пластилине.

7. Сравните время взаимодействия пули и маятника τ с периодом его колебаний T.

Контрольные вопросы

1. Каким должно быть выражение для скорости пули, если пуля попадает в чашечку маятника не под прямым углом?

2. Какие упрощающие предположения были приняты в теории опыта?

3. Что такое затухающие колебания?

4. Получите формулы для периодов колебаний T₁ и T₂.

5. Рассчитайте постоянную момента упругих сил.

6. Каковы доля энергии маятника, потерянная за период? За четверть периода?

7. Какова вызванная потерями энергии систематическая ошибка в измерении максимального угла поворота маятника?

8. Какова вызванная потерями энергии систематическая ошибка в расчете скорости пули?

9. Сформулируйте закон сохранения момента импульса.

10. Сформулируйте теорему Гюйгенса-Штейнера.

11. Докажите теорему Гюйгенса-Штейнера.

Литература: [1] - §23-25, [2] - §26, [3] - § 67-71, 87-90, 92, 94-95; [4] - § 52-57.