Погрешности косвенных измерений

Большинство физических величин не удается найти непосредственно в эксперименте. Их определение состоит из двух этапов. Например, необходимо рассчитать величину z, опираясь на полученные опытным путем значения x и y, если между физическими величинами x, y, z существует связь вида:

. (14)

Зависимость между величинами (14) называют уравнением измерения, а подобные измерения называют косвенными.

При косвенном измерении z, кроме значений x и y также могут быть использованы константы и параметры π, с, a, b и т. д. Для величин x и y будут известны не истинные, а лишь средние значения и, рассчитанные на основе экспериментальных наборов (выборок)и. Их используют в расчете наилучшей оценкиz:

. (15)

В курсе математического анализа доказывается, что функцию , на которую дополнительно накладываются требования непрерывности, а также непрерывности ее производной, в окрестности точкиx можно представить в виде:

. (16)

В случае функции двух переменных эта формула обобщается в виде:

, (17)

где ε и δ любые достаточно малые приращения переменных x и y, а выражения и- так называемые частные производные функцииq по переменным x и y. Из формулы (17) найдем приращение функции :

. (18)

Частные производные, также как и отклонения величин xиy, равные, соответственно,εиδ,могут быть как положительными, так и отрицательными. Поэтому, чтобы слагаемые в правой части (18) не уничтожали друг друга, заменим сумму в (18) суммой квадратов и получим выражение для погрешности косвенной величиныq:

. (19)

В последней формуле под величинами ε и δ можно понимать погрешности в измерении величин x и y. Чтобы получить оценку погрешности косвенной величины z, предварительно должны быть рассчитаны погрешности значений прямых величин x и y:

. (20)

С помощью простой операции раскрытия скобок можно убедиться, что если под ипонимать случайные погрешности, то по формуле (20) можно рассчитать случайную погрешность косвенных измерений. Если же учесть и систематические погрешности (см. формулу (13)), то получим метод расчета для полной погрешности косвенных измерений.

. (21)

Формула (21) является универсальной для вычисления погрешности косвенных измерений для функции нескольких переменных любого вида. Покажем, как будут рассчитываться погрешности для различных видов уравнений связи (14).

Погрешности в суммах и разностях. Предположим, мы измерили несколько физических величин x, y,…,u, w с погрешностями ,,…,,. Тогда погрешность величиныz, рассчитываемой по формуле:

(22)

будет равна:

. (23)

Погрешности в произведениях и частных. Предположим, величины x, y,…, u, w известны с независимыми погрешностями ,,…,,. Тогда погрешность величины

. (24)

будет рассчитываться по формуле

. (25)

Погрешность в степенной функции. В случае степенной функции нескольких переменных

(26)

погрешность можно рассчитать по такой формуле

. (27)

Построение графиков

Графики позволяют наглядно представить результаты выполненных измерений, понять характер зависимости между физическими величинами. Для построения графиков лучше использовать миллиметровую бумагу. Очень удобно строить графики в компьютерных программных пакетах: ORIGIN, AXUM, STATISTICA и электронных таблицах EXCEL, однако их применение требует предварительной подготовки.

В случае ручного построения графиков лист масштабной бумаги лучше брать достаточно большим, например, немного меньше тетрадного листа, так чтобы при оформлении работы на листе осталось место для подписи графика.

a б

Рис. 2. Нанесение экспериментальных точек на график: a) неправильно, б) правильно.

Построение следует выполнять так, чтобы экспериментальные точки располагались равномерно по площади листа миллиметровой бумаги. Для этого выбирают удобный масштаб и переносят нули по осям абсцисс и ординат. На рис. 2а точки занимают верхнюю правую область графика, а на рис. 2б нули по координатным осям сдвинуты, кроме того выбран правильный масштаб, поэтому экспериментальные точки расположены по всей области рисунка.

Масштаб следует выбирать так, чтобы одна клеточка масштабной бумаги соответствовала 0,1; 0,2; 0,5; 1; 2; 5; 10 и т. д. единицам измеряемой величины. Если же выбрать масштаб 2,5; 3; 4; 7, то построения могут занять слишком много времени из-за лишних пересчетов.

По расположению экспериментальных точек можно сделать предположения о характере зависимости между измеряемыми в эксперименте физическими величинами. Кроме того, будут заметны точки или области графика, в которых эта зависимость нарушается. В этом случае можно сделать предположения, что при выполнении измерений в данной области были допущены ошибки или, что характер зависимости на данном интервале имеет особенность. Во втором случае необходимо объяснить причину обнаруженной особенности. Разумеется, что измерения необходимо выполнить заново.

На графике следует отобразить погрешность измерений, поэтому экспериментальные значения изображаются крестами. Полуразмер креста по горизонтали должен быть равен стандартной погрешности по оси абсцисс, а его полуразмер по вертикали – стандартной погрешности величины, откладываемой по оси ординат. Если одна из погрешностей слишком мала и должна быть намного меньше масштабной клеточки, то изображается погрешность величины, откладываемой по второй оси координат. Тогда вместо креста на графике изображается черточка в направлении той оси, по которой погрешность больше.

Рис. 3. Нанесение экспериментальных точек с учетом погрешностей.

Кривые на графиках не всегда проводят через экспериментальные точки. Если известна теоретическая зависимость между двумя измеряемыми физическими величинами, то лучше выполнить расчет теоретических точек и незаметно нанести их на график. Тогда будет легче выявить ошибки, допущенные в ходе измерений. Оси графика следует четко и ясно обозначить. На осях должны быть нанесены деления шкалы. Эти деления должны быть подписаны, причем так, чтобы подписи не были очень редкими, но и не очень частыми, а пропущенные подписи были очевидными.

Вблизи экспериментальных точек следует проводить самую простую кривую, совместимую с этими точками. При построении кривой руководствуются правилом: в 2/3 случаев экспериментальные данные могут отступать от кривой не более чем на стандартную ошибку. Кривая должна располагаться таким образом, чтобы на любом достаточно большом ее участке были точки, расположенные как выше, так и ниже кривой. По их расположению на графике можно выявить характер зависимости. Математическое выражение этой зависимости позволяет найти метод наименьших квадратов (МНК).