Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Санкт-Петербургский политехнический университет Петра Великого (бывш. СПбГПУ)

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Praktikum_po_matematike

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

21.03.2016

Размер:

1.32 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 135 6 7 8 9 10 11 12 13 > Следующая >>>

lim

+ a x +... + a

xm )= a

lim

(b + b

x +... + b

xn )=b

x→∞

∞

(m > n)

m−n

(m = n) .

= lim x

= 1

lim

x→∞

(m < n)

Следовательно,

(m > n)

+ a xm−1 +

... + a

∞

(m = n).

lim

b xn

+ b xn−1 +... + b

x→∞

(m < n)

4.5.2. Раскрытие неопределённости вида 00

Если P(x) и Q(x) – многочлены и P(a)= 0 и Q(a)= 0 , то нужно сократить дробь на (x − a).

Если P(x) и Q(x) – иррациональные выражения, то нужно освободиться от иррациональности (в знаменателе или в числителе) или использовать метод введения новой переменной.

4.5.3. Раскрытие неопределенности вида 00

с помощью эквивалентных бесконечно малых

Неопределённость можно раскрыть, используя эквивалентные бесконечно малые величины. Этот метод основан на теореме о том, что предел не изменится, если бесконечно малые заменить эквивалентными бесконечно малыми.

Для того, чтобы вычислить предел, необходимо заменить бесконечно малые в неопределённости эквивалентными, но более простыми, например, sin x → x или (ex −1 )→ x .

4 . 6 . НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ В ТОЧКЕ

Определение 4.6(1). Непрерывная в точке x0 функция – это функция y = f (x), предел которой при x → x0 равен значению

функции при x = x0 .

Определение означает выполнение трёх условий:

1)f (x0 )или x0 D(f );

2)lim f (x);

→x0

3)lim (x)= f (x0 ).

→x0x fx

Определение 4.6(2). Непрерывная в точке x0 функция – это

функция y = f (x), предел приращения которой при x → x0 равен 0:

lim [f (x)− f (x0 )]= 0 .

x→x0

Последнее равенство можно записать:

lim

y = 0 ,

lim

f (x0 )= 0

или

lim

f (x0 )= 0 .

x→0

x→x0

x→0

4 . 7 . РЕШЕНИЕ ТИПОВЫХ ЗАДАЧ

Пример 1.

Доказать,

что lim (6 − 2x)= 4

и найти δ

для ε = 0,1;

x→

0,01;

0,001.

Решение.

f (x)

Используем

определение предела.

данном

примере

= 6 − 2x;

a =1; b = 4. Для

ε > 0

найдём такое δ, что для x x ≠1,

при которых

x −1

< δ, выполняется неравенство

6 − 2x − 4

< ε.

Решимэтонеравенствоотносительно x −1 , т.е. выразим x −1 через ε.

Тогда

6 − 2x − 4

< ε

2 − 2x

< ε

x −1

. Итак, δ =

Если

x −1

< δ, то

6 − 2x − 4

< ε, это и означает, что lim(6 − 2x)= 4 .

x→1

Для каждого ε можно найти соответствующее значение δ. Если ε = 0,1

то δ = 0,05; если ε = 0,01, то δ = 0,005; если ε = 0,001, то δ = 0,0005.

Ответ: δ = 0,05 при ε = 0,1; δ = 0,005 при ε = 0,01;

δ = 0,0005 при

ε = 0,001.

☺

Примеры 2. Вычислить пределы
1) lim(x2 + 3x +1);	2) lim	x2 − 5x + 8	;	3) lim(1 + 2x)x2 −7 .
		x2 −9
x→2	x→1			x→3

Решения.

1) Выражение в скобках – сумма одночленов. Используем теорему о пределе суммы:

lim(x2 + 3x +1)=lim x2 + lim3x + lim1 = 4 + 6 +1 =11.

x→2

2) Используем теоремы о пределах частного и суммы:

x2 −5x +8

lim(x2 −5x +8)

1 −

lim

x→1

= −

x2 −9

lim(x2 −9)

−

−8

x→1

3) По теореме 7: lim(1 + 2x)

x2 −7

=lim(1

lim

(x2 −7)

= 7

= 49 .

+ 2x)x

→3

x→3

Ответы:

1) 11;

−

;

3) 49.

☺

Примеры 3. Вычислить пределы

1) lim

x2 + 5

;

2) lim

(x −1)(x + 5)(2x −1)

; 3)

lim

− 2x + 5

+ 2

− 2x +1

−5x +1

x→∞ x5 + 3x4

x→∞

x→∞ 3x

Решения. В этих примерах для вычисления предела необходимо рас-

крыть неопределённость типа

∞ .

∞

1) Вынесем за скобки x2 в числителе и x5 в знаменателе:

x2 + 5

lim 1

lim

= lim

x→∞

= 0

= 0 .

x→∞ x5 + 3x4 + 2

x→∞

x→∞ x5

1 +

lim 1 +

x→∞

2) Вынесем за скобки x из каждого сомножителя в числителе и x3 в знаменателе:

lim

x→∞

lim

x→∞

(x −1)(x + 5)(2x −1)

1 −

2 −

= lim

x3 − 2x +1

x→∞

1 −

lim 1

−

2 −

1 2

= lim

x→∞

= 2 .

x→∞ x3

lim

1 −

x→∞

3) Вынесем за скобки x4 в числителе и x2 в знаменателе:

x4 − 2x + 5

1 −

= lim

3x2 − 5x +1

x→∞

3 −

−

lim 1

(lim x

x→∞

= ∞.

lim

)

x→∞ x2

−

x→∞

lim 3

Ответы:

1) 0;

2) 2;

3) ∞.

x→∞

☺

Примеры 4. Вычислить пределы

1) lim

x2 −

5x + 6

;

lim

1 + x − 1 − x

;

−9

x→3

x→0

3) lim

x + 2 − 2

;

lim

y +1 −1 .

x→2

x + 7 − 3

y→0

3 y +1 −1

Решения. В этих примерах надо раскрыть неопределённость вида

0 .

1) Разложим числитель и знаменатель дроби на множители и сократим

дробь на (x − 3):

(x − 2)(x −3)

lim

−

5x + 6

= lim

x − 2

− 2

−9

(x −3)(x + 3)

x + 3

+ 3

x→3

2) Способ 1 . Освободимся от иррациональности в числителе. Для этого умножим числитель и знаменатель дроби на выражение, сопряжённое числителю.

lim

1 + x − 1 − x = lim

( 1 + x −

1 − x )(

1 + x + 1

− x )

1 + x + 1 − x )

x→0

= lim

(1+ x)−(1− x)

= lim

=1.

1+ x + 1− x )

x( 1+ x + 1− x )

x→0

Способ 2 . Заменим выражения

1 ± x

в числителе на эквивалент-

ные

1 ± x ≈1

± x :

= lim (1 + x 2)− (1 − x 2)= lim

lim

1 + x −

1 − x

=1.

x→0

x→0 x

3) Способ 1 . Умножим числитель и знаменатель на выражение, со-

пряжённое числителю, и выражение, сопряжённое знаменателю.

lim

x + 2 − 2 = lim

(

x + 2 − 2)(

x + 2 + 2)(

x + 7 + 3)=

x→2

x + 7 −3

x→2

(

x + 7 − 3)(

x + 2 + 2)(

x + 7 + 3)

= lim

(x −2)(

x +7 +3)

= lim

x +7 +3

2 +7 +3

= 6 = 3 .

x→2

(x −2)

(

x + 2 +2)

x→2

x + 2 + 2

2 +2 + 2

4 2

Способ 2 . Бесконечно малые в числителе и знаменателе дроби заменим на эквивалентные. Для этого выполним некоторые преобразования:

x + 2 − 2 =	4 + (x − 2) − 2 =	4	1	+	x − 2	− 2	≈ 2		+	x − 2	− 2 =	x − 2	.
					4			1				4
										8

Аналогичные преобразования дают:

x + 7 −3 = 9 + (x − 2) −3 =

1 +

− 2

−3 ≈

x − 2

3 1 +

−3 =

Следовательно,

(x − 2) 4

lim

x + 2 − 2 = lim

= lim

9 = 9 = 3 .

(x − 2) 9

x→2

x + 7 − 3

x→2

4 4 2

4) Способ 1 . Введём новую переменную t такую, что 1 + y =t6 . То-

гда t →1 при y →0 ,

1 + y = t3 и 3 1 + y = t 2 :

lim

y +1 −1 = lim t3 −1

= lim

(t −1)(t 2 + t +1)= lim t 2 + t +1

3 .

y→0 3

y +1 −1

t→1 t 2 −1

t→1

(t −1)(t +1)

t→1

t +1

Способ 2 . Бесконечно малые в числителе и знаменателе дроби заменим на эквивалентные:

y +1 −1 = 1 + y −1 ≈ y 2 ;

3 y +1 −1 = 3 1 + y −1 ≈ y 3 .

Тогда

lim

y +1 −1

= lim

y 2

= lim

y +1 −1

y→0 3

t→1 y 3

t→1

2 2

Ответы: 1)

1 ;

2) 1;

;

☺

Примеры 5. Вычислить пределы

1) lim

tg x

;

1 −cos 2x

;

lim

lim 1+

x→0

x→∞

x +

2 x+1

lim 1+

;

lim

x→∞

x→∞ x −

Решения.

1) Способ 1 . Используем первый замечательный предел:

lim tg x = lim sin x

= lim sin x

= lim sin x lim

=1 1 =1.

x→0

x→0 cos x

x→0 x

cos x

x→0

x→0 cos x

Способ 2 .

Используем эквивалентную бесконечно малую tg x ≈ x

при x →0 . Тогда

lim tg x = lim

=1.

2) Способ 1 .

x→0 x

Выполним тождественные преобразования и исполь-

зуем теоремы о пределах и первый замечательный предел:

lim

1 − cos 2x

= lim

2sin 2 x

sin x

= 2lim

x→0

x→0 x

= 2 lim sin x lim sin x

= 2 1 1 = 2 .

Способ 2 .

x→0

x x→0

Используем эквивалентную

бесконечно

малую: при

x →0 1 − cos 2x ≈

(2x)2

. Тогда

(2x2 )2

1 − cos 2x

lim

= lim

= 2 .

= lim

x→0

3) Используем свойства степени и второй замечательный предел:

		1	3x				1	x	3	3
		1					1		= e	3	.
lim 1	+			= lim	1	+
lim 1	+			= lim	1	+
x→∞		x		x→∞			x

4) Используем свойства степени и второй замечательный предел:

2 2

lim 1

= lim 1

= e

x→∞

5) Преобразуем дробь, выделив целую часть (разделим числитель на знаменатель), а затем используем свойства степени и второй замечатель-

ный предел:

(x − 2)+ 5 2x+1

x + 3

2 x+1

lim

= lim

= lim 1

x→∞ x − 2

x→∞

x − 2

x→∞

x − 2

5(2 x+1)

x−2

10 x+5

lim

= lim 1

= ex→∞ x−2

= e .

x −

x→∞

Ответы: 1) 1;

2) 2;

3) e3 ;

4) e2 ;

5) e10 .

☺

Примеры 6. Доказать непрерывность функций

y = x2 ;

2) y =sin x .

Решения.

1) Используем второе определение непрерывности и найдём прираще-

ние функции по приращению аргумента		x = x − x0 , а затем предел при-
ращения функции при условии x →0 :
f (x)= (x + x)2 − x2 = x2 + 2x x + ( x)2 − x2 = 2x x + ( x)2 ;
lim	f (x)= lim (2x	x + ( x)2 )= 0 .
x→0	x→0

Мы не накладываем никаких ограничений на x. Следовательно, функция y = x2 непрерывна в любой точке x области определения, т.е. при x R .

2) Используем второе определение непрерывности и найдём предел приращения функции:

f (x)= sin(x +	x)−sin x = 2sin	x		x
f (x)= sin(x +	x)−sin x = 2sin	2	cos x +	;
		2		2

lim	f (x)= lim 2sin	x		x	=
lim	f (x)= lim 2sin	2	cos x +		=
x→0	x→0	2		2

	2sin	x	x		x
		2
= lim				cos x +		=1 0 cos x = 0
	x		2
x→0					2

Так как нет никаких ограничений на переменную x, то функция y =sin x

непрерывна во всей области определения, т.е. при x R .

☺

4 . 8 . ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ

1) Доказать, что lim

2x2 −18

=12 . Найти δ для ε = 0,1, для ε = 0,01.

x −3

x→3

Вычислить пределы:

x2 −1

x2 −5x + 6

2) lim(3x2 +5x −2);

3) lim

x +1

;

lim

;

5) lim

;

x −3

x→2

x→−1

x +1

x→2

x2 − 4

6) lim

x +5 −3

;

7) lim x + 4 −3

;

8) lim

x +3 −

2x −3

;

x→4

x − 4

x→5

x −5

x→6

3 x + 2 − 2

9) lim

3 −3

x + 22

;

10) lim

4 x +11

− 2

;

11) lim

sin 3x

;

x −5

x→5

x→0 sin 5x

1 3x+1

sin 3x

sin

2 2x

13) lim(1−2x3 )x3 ;

12) lim

;

14) lim

;

15) lim

;

x→∞

x→0

16) lim

+ 2x

;

17) lim

x +3

;

18) lim

x3 +5

;

+3x +

x→∞ 2x2

x→∞ 2x2 +3x + 4

x→∞ x2 +

19) lim

sin 3x −sin 2x

; 20) lim

cos 3x −cos 7x

x→0 sin 5x −sin 4x

x→0

21) Доказать непрерывность функции y = cos x .

Ответы:

1) 0,05;

0,005;

2) 20;

3) –3; 4) –2;

5) −

;

8) – 2;

9) −

;

10)

;

11) 53 ;

12) e3 2 ;

13) e−2 ;

14) 3;

15) 4;

16) ½;

17) 0;

18) ∞;

19) 1;

20) 20.

5. ПРОИЗВОДНАЯ

5 . 1 . ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ

Определение 5.1. Производная функции y = f (x) в точке x –

это предел отношения приращения функции в этой точке к

приращению аргумента, когда последнее стремится к нулю.

Рис. 5.1. Приращение аргумента x и функции y

Если x – приращение аргумента в точке x ,

а f (x)= f (x + x)− f (x) – приращение функции в точке x, то производная функции y = f (x) в точке x

f ′(x0 )= tg α.

′

= f

′

f (x +

x)− f (x)

f (x)

= lim

(x)= lim

x .

x→0

Производная

функции – это

тоже

функция.

Производную этой

функции (если она существует) также можно вычислить. Если

′

= f

′

(x) –

производная функции

y = f (x),

то

производную производной

(y′)′ =[ f ′(x)]′ называют второй производной.

Обозначения второй производной: y′′, y′x′, d 2 y , f ′′(x), d 2 f (x). dx2 dx2

Геометрический смысл производной

Геометрический смысл производной состоит в том, что производная функции y=f (x) в точке x0 численно равна тангенсу угла наклона касательной к графику функции в точке

(x0, f(x0)):

Рис. 5.2. Геометрический смысл производной: производная численно равна тангенсу угла наклона касательной к графику функции в точке вычисления производной

ДИФФЕРЕНЦИАЛ ФУНКЦИИ

Определение 5.2. Дифференциалом функции y=f(x) называют произведение производной этой функции f ′(x) на приращение

	аргумента x :	′
	dy = f	′
	dy = f	(x) x
	Дифференциал аргумента dx	равен приращению аргумента x :

dx = x , поэтому

dy = f ′(x)dx .

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 135 6 7 8 9 10 11 12 13 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
10.11.2019474.14 Кб11posobie.docx
#
29.08.20192.54 Mб72POSOBIE_polnyy_variant.doc
#
21.03.2016508.42 Кб15Postanovlenie-SANPIN_2014-ITOG.doc
#
29.08.20191.53 Mб3Practical information groups 2012-ENG.doc
#
28.09.201943.73 Кб1praktika_letnyaya_2_kurs.docx
#
21.03.20161.32 Mб12Praktikum_po_matematike.pdf
#
16.04.2015195.07 Кб9Pravila.doc
#
17.09.2019351.74 Кб4pravila_Oformlenia_Studencheskikh_Vypus.doc
#
15.09.2019475.14 Кб4Pravovedenie_Tablichki_dopoln.doc
#
16.04.2015101.43 Кб43prikaz_1358.pdf
#
16.04.2015486.91 Кб86Prilivnye_elektrostantsii.doc