Praktikum_po_matematike
.pdf∫esin x cos x dx = ∫et dt = et + C = esin x + C .
1
Ответы: 1) −e x +C ; 2) esin x + C .
☺
Примеры 6. Найти интегралы: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
1) ∫ |
|
5x4 +15x2 |
|
dx; |
|
|
|
2) ∫ |
x2 dx |
|
|
|
|
|
|
3) ∫sin x cos |
2 |
x dx . |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
x5 + 5x3 +1 |
|
|
4x3 +1 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Решения. |
|
|
|
|
|
|
|
|
′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Если f (x) имеет вид |
g |
(x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
g(x) или g(x) g (x), то можно ввести новую |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
переменную t = g(x).Тогда |
|
|
|
|
|
|
′ |
|
|
|
|
|
|
и интеграл упрощается. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
dt = g (x)dx |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1) Пусть x5 + 5x3 +1 =t, тогда (5x4 +15x2 )dx = dt и |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
∫ |
5x4 +15x2 |
|
dx = ∫ |
dt |
|
|
|
t |
|
|
+ C |
|
|
|
|
|
|
|
x |
5 |
|
|
|
5x |
3 |
|
|
|
|
|
+ C . |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
= ln |
|
|
|
= ln |
|
|
+ |
|
|
+1 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
x5 + 5x3 +1 |
t |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
2) Пусть 4x3 +1 =t , тогда 12x2 dx = dt |
и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
∫ |
x2 dx |
|
|
|
1 |
∫ |
dt |
1 |
|
|
ln |
|
t |
|
+C |
|
|
|
1 |
|
ln |
|
4x |
3 |
|
+1 |
|
+C . |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
= |
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
4x3 +1 |
12 |
|
t |
12 |
12 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
3) Пусть cos x =t , тогда |
|
dt = −sin x dx и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
∫sin x cos |
2 |
x dx = −∫t |
2 |
dt = − |
t3 |
|
|
+ C = − |
cos3 x |
+ C . |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
3 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Ответы: 1) ln |
|
x5 + 5x3 +1 |
|
+ C; |
2) |
|
|
1 |
ln |
|
4x3 |
+1 |
|
+ C ; |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
12 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
3) − |
cos3 x |
+ C . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
☺
Примеры 7. Найти интегралы:
1) ∫x ex dx; 2) ∫ln x dx; 3) ∫x cos x dx .
90
Решения.
Используем формулу интегрирования по частям.
1)Пусть U = x; dV = ex dx, тогда dU = dx, V = ex и
∫x ex dx = xex − ∫ex dx = xex − ex + C .
2)Пусть ln x =U; dx =dV , тогда dU = dxx , V = x и
∫ln x dx = x ln x −∫x xdx = x ln x − x +C .
3) Пусть x =U; cos x dx = dV , тогда dU = dx, |
V =sin x и |
∫x cos x dx = xsin x −∫sin x dx = x sin x +cos x +C . |
|
Ответы: 1) xex − ex + C ; 2) x ln x − x + C ; |
3) xsin x + cos x + C . |
☺
8 . 6 . ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ
Найти интегралы:
1) ∫7x dx; 2) ∫4(x2 − x +3)dx; 3) ∫2(3x −1)2 dx; 4) ∫x−4 dx; 5) ∫dxx .
|
|
Найти интегралы при помощи формул (1–3) (раздел 8.4): |
||||||
6) ∫cos3x dx; |
7) ∫e−10 x dx; 8) ∫sin(3x +4)dx; 9) ∫(2x +5)2 dx . |
|||||||
|
|
Найти интегралы методом замены переменной: |
||||||
10) |
∫ |
x2 dx |
; |
11) ∫x(1 + x2 )5dx; |
12) ∫sin x cos2 x dx; |
|||
3 +5x3 |
||||||||
|
|
2 x |
|
x2 dx |
|
x dx |
||
13) |
∫3 x dx; |
14) ∫ |
x3 +1 ; 15) ∫ |
|
; 16) ∫tg x dx . |
|||
x2 +1 |
||||||||
|
|
Найти интегралы методом интегрирования по частям: |
||||||
17) |
∫x sin x dx; 18) ∫x ln x dx; |
19) ∫arcsin x dx; 20) ∫x sin 2x dx . |
91
|
|
|
|
Ответы: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
1) 7x + C; 2) |
4 x3 |
− 2x2 +12x + C; 3) 6x3 |
− 6x2 + 2x + C; |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 sin 3x + C; |
|
|
−1e−10 x + C; |
|
|
|
|||||||||||||||
4) − |
|
|
+ C; |
5) 2 |
x + C; 6) |
7) |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
3x3 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
8) − 1 cos(3x + 4)+ C; 9) (2x + 5)3 + C; 10) |
1 |
|
ln |
|
3 + 5x3 |
|
+ C; |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
15 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
11) |
|
1 |
|
(1 + x2 )6 |
+ C; 12) − |
cos3 x |
+ C; |
13) |
2 2 x + C; |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
12 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
3 ln 2 |
|
|
|
|||||||||||||||||
14) |
2 |
|
|
x3 +1 + C; |
15) |
1 |
ln(x2 |
+1)+ C; 16) − ln |
|
cos x |
|
+ C; |
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
3 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
x2 |
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
17) |
− x cos x + sin x + C; 18) |
|
ln x − |
+ C; |
19) x arcsin x + |
1 − x |
+ C; |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
2 |
|
4 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
x |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
20) |
− |
cos 2x + |
sin 2x + C . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
92
9. ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ
9 . 1 . ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛЁННОГО ИНТЕГРАЛА
Для вычисления определённого интеграла от функции f (x) в том
случае, когда можно найти соответствующий неопределённый интеграл,
используют формулу Ньютона – Лейбница
b |
|
|
∫f (x)dx = F(b)− F(a), где F (x)= f (x). |
|
|
′ |
|
|
a |
|
2) ∫e dx . |
Например, вычислим определённые интегралы 1) ∫2 |
x2dx; |
|
−1 |
|
1 x |
Для вычисления интегралов воспользуемся формулой Ньютона – Лейбница и найдём разность первообразных в точках верхнего и нижнего пределов:
2 |
|
|
x3 2 |
|
|
23 |
|
(−1)3 |
||
1) ∫x |
2 |
dx = |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
= |
|
− |
|
= 3; |
||
|
3 −1 |
3 |
3 |
|||||||
|
|
|
|
|||||||
−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e |
|
e |
|
2) ∫dx |
|
||
= ln x |
|
||
|
|||
1 |
x |
1 |
|
|
|||
|
|
|
= ln e − ln1 =1 − 0 =1.
9 . 2 . ПЛОЩАДЬ КРИВОЛИНЕЙНОЙ ТРАПЕЦИИ И ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ
Фигуру, заштрихованную на рис. 9.1 ( y = f (x)≥ 0 при x [a ; b]),
называют криволинейной трапецией.
93
|
|
|
|
Рис. 9.1. Криволинейная трапеция |
Рис. 9.2. Функция S(ξ) как площадь |
||
криволинейной трапеции |
|||
|
с переменной правой границей |
Рассмотрим функцию S(ξ) – площадь криволинейной трапеции с переменной правой границей (переменной криволинейной трапеции), ограниченной графиком y = f (x), осью OX, вертикальной прямой x = a и
вертикальной прямой с переменным положением |
x = ξ |
(рис. 9.2). |
||||
|
Положение |
правой |
границы |
|||
|
трапеции |
изменяется |
вдоль |
|||
|
оси |
OX. |
Переменная |
|||
|
координата |
правой |
границы |
|||
|
трапеции |
– |
|
текущее |
||
|
изменяющееся |
|
значение |
|||
|
независимой переменной x – |
|||||
|
здесь обозначена через ξ. |
|||||
|
ξ = a |
Легко видеть, что при |
||||
|
площадь |
переменной |
||||
|
криволинейной |
|
трапеции |
|||
|
S(a) |
= 0. Обозначим |
S(b)= S |
|||
|
площадь |
|
переменной |
|||
|
криволинейной трапеции при |
|||||
|
ξ = b . |
|
|
|
S(x) – |
|
Рис.9.3. Приращение площади криволинейной |
|
Покажем, |
что |
|||
трапеции S(ξ) (заштриховано на рисунке) |
первообразная |
|
функции |
|||
при приращении аргумента ξ |
y = f (x). |
|
|
|
|
94
|
При малых ξ |
|
|
S(ξ) |
|
|
||
|
|
|
ξ: S(ξ)= S(ξ + ξ)− S(ξ)≈ f (ξ) ξ и |
|
≈ f (ξ). |
|||
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
ξ |
|
|
Перейдём к пределу при ξ →0 : |
|
|
|
|
|
|||
lim |
S(ξ) |
′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
ξ |
|
= f (ξ) S (ξ)= f (ξ), т.е. S(ξ) – первообразная функции f (ξ). |
||||||
x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Все первообразные запишем в виде: F(ξ)= S(ξ)+ C . |
|
|
|
|||||
Тогда при ξ = a |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
F (a)= S(a)+ C = 0 + C , |
|
|
|
||
откуда F (a)=C и F (ξ)= S(ξ)+ F(a). |
|
|
|
|
|
|||
Тогда при ξ = b имеем |
|
|
|
|
|
|||
|
|
F(b)= S(b)+ F(a)= S + F(a) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
S = F(b)− F(a)= ∫b |
f (ξ)dξ = ∫b |
f (x)dx . |
|||
|
|
|
a |
|
|
|
a |
|
В последнем равенстве сделана обратная замена переменной ξ на привычное x ( ξ → x ), так как обозначение переменной под знаком интеграла значения не имеет и мы полагали ξ = x с самого начала.
Геометрический смысл определённого интеграла. Определённый интеграл численно равен площади криволинейной трапеции, ограниченной графиком непрерывной и неотрицательной на [a; b] функции y = f (x),
осью OX и прямыми x = a и x = b .
9 . 3 . СВОЙСТВА ОПРЕДЕЛЁННОГО ИНТЕГРАЛА
1) ∫b (f1 (x)+ f2 (x))dx =∫b f1 (x)dx + ∫b f2 (x)dx
a |
a |
a |
(интеграл суммы равен сумме интегралов);
2) ∫b |
k f (x)dx = k ∫b |
f (x)dx, где k = const |
a |
a |
|
(постоянный множитель можно вынести за знак интеграла);
95
3) ∫b f (x)dx = −∫a f (x)dx
a |
b |
(при перемене местами пределов интегрирования интеграл меняет знак); 4) ∫a f (x) dx = 0
a |
(интеграл по отрезку нулевой длины равен 0); |
||
|
|||
5) Если c [a; b], то ∫b |
f (x)dx = ∫c |
f (x)dx + ∫b |
f (x)dx |
a |
a |
c |
|
(интеграл по отрезку равен сумме интегралов по частям отрезка).
9 . 4 . ВЫЧИСЛЕНИЕ ПЛОЩАДЕЙ ПЛОСКИХ ФИГУР
1) Если f (x) непрерывна и неотрицательна на [a; b], то
S = ∫b f (x)dx (рис. 9.4).
a
2) Если f (x)≤ 0 на [a; b], то
S = −∫b f (x)dx (рис. 9.5).
a
3) Если f2 (x)≥ f1 (x) при
x [a; b], то S = ∫b (f2 (x)− f1 (x))dx
Рис. 9.4. Криволинейная трапеция |
(рис. 9.6). |
расположена в верхней полуплоскости |
a
96
Рис. 9.5. Криволинейная трапеция |
Рис. 9.6. Искомая площадь ограничена |
|
расположена в нижней полуплоскости |
графиками y = f2 (x) (сверху), |
y = f1 (x) |
|
(снизу) и линиями x = a и |
x = b |
9 . 5 . РЕШЕНИЕ ТИПОВЫХ ЗАДАЧ
Примеры 1. Вычислить определённые интегралы:
2 |
1 |
π 2 |
1) ∫(x2 + 2x +1)dx ; |
2) ∫(x + sin x + x10 )dx ; |
3) ∫esin x cos x dx . |
−1 |
−1 |
0 |
Решения.
1) Найдём первообразную подынтегральной функции и вычислим интеграл по формуле Ньютона – Лейбница:
2 |
(x2 |
+ 2x +1)dx = 1 x3 |
+ x2 |
+ x |
|
|
1 |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
∫ |
|
3 |
|
|
|
|
−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
3 |
|
2 |
|
|
1 |
3 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
2 |
|
+ 2 |
|
+ 2 |
− |
|
(−1) +(−1) |
+(−1) |
= 9. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
3 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
2) Используем свойства |
|
|
|
определённого |
интеграла |
и |
формулу |
|||||||||||
Ньютона – Лейбница: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
97
∫1 (x + sin x + x10 )dx = |
1 |
x2 |
|
1 |
+ (− cos x) |
|
1 |
+ |
x11 |
|
|
1 |
= |
|
|
|
|
|
|||||||||
2 |
|
−1 |
|
11 |
|||||||||
−1 |
|
|
|
|
−1 |
|
|
−1 |
|
||||
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=12 (1 −1)+ (− cos1 + cos(−1))+ 111 (1 +1)=112 .
3)Чтобы найти первообразную, введём новую переменную и сведём
интеграл к табличному, а затем используем формулу Ньютона – Лейбница.
Пусть sin x = y , тогда |
cos dx = dy . При x = 0 |
|
y = 0 , при x = |
π |
y =1. |
|||
Тогда |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
π 2 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
||
∫esin x cos x dx = ∫e y dy = e y |
|
= e −1. |
|
|
||||
0 |
|
2 |
|
0 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
Ответы: 1) 9; |
2) |
; |
3) e −1 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
11 |
|
|
|
|
|
☺
Примеры 2. Вычислить площади фигур, ограниченных:
1) линиями y = x2 − 2x + 2 , x = −1, x = 2 и отрезком [−1; 2] оси OX ;
2)линиями y = x3 и x = −1 иосьюOX ;
3)линиями y = x + 3 и y = x2 +1.
Решения.
1) Функция y = x2 − 2x + 2 положительна в своей области
определения (дискриминант =b2 − 4ac < 0 , следовательно, квадратный трёхчлен не имеет корней). Чтобы найти площадь, используем формулу площади криволинейной трапеции:
2 |
3 |
|
|
2 |
|
2 |
|
2 |
|
S = ∫(x2 −2x + 2)dx = |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|||||||
x |
|
|
−1 − x2 |
|
−1 + 2x |
|
1 = 6 . |
||
3 |
|||||||||
|
|
|
|
||||||
−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2) На отрезке [−1;0] функция y = x3 принимает отрицательные
значения (рис. 9.7), поэтому площадь искомой фигуры можно вычислить
по формуле S = −∫b f (x)dx :
a
98
0 |
4 |
0 |
|
|
|
|
S = −∫x3dx = − |
x |
|
|
= |
1 |
. |
|
|
|||||
4 |
|
|
4 |
|||
−1 |
|
|
||||
−1 |
|
|
|
|
|
|
Рис. 9.7. Искомая площадь ограничена |
Рис. 9.8. Искомая площадь ограничена |
сверху осью OX , снизу — графиком |
графиками y = x +3 (сверху) |
функции y = x3 |
и y = x2 +1 (снизу) |
3) Постоим график функций y = x + 3 и y = x2 +1 (рис. 9.8). Площадь искомой фигуры равна разности определённых интегралов
S = ∫b (x + 3)dx − ∫b (x2 +1)dx .
|
|
|
a |
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Чтобы найти пределы интегрирования, найдём абсциссы точек |
|
|||||||||||||||||||
пересечения графиков функций y = x + 3 и y = x2 +1: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
x + 3 = x2 +1 x = a = −1; x |
2 |
=b = 2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Тогда |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
S = ∫2 (x + 3)dx − ∫2 (x2 +1)dx = ∫2 (− x2 + x + 2)dx = − |
x3 |
|
|
2 |
|
1 x2 |
|
2 |
+ 2x |
|
9 . |
||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
+ |
|
|
= |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||||
−1 |
−1 |
|
|
−1 |
|
|
|
|
|
3 |
|
−1 |
|
2 |
|
−1 |
|
|
|
2 |
|
1 |
|
9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−1 |
|
||||||||
|
Ответы: 1) 6; |
2) |
; |
3) |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
4 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
☺
99