Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Санкт-Петербургский политехнический университет Петра Великого (бывш. СПбГПУ)

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Praktikum_po_matematike

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

21.03.2016

Размер:

1.32 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1112 / 1312 13 > Следующая >>>

9) y′ = x e	−y	;		π	= 4 .
9) y′ = x e		;	y(1)= 0 ; 10) y tgx dx + dy = 0; y		= 4 .
				3
Решить уравнения с разделяющимися переменными:
11) y′ = y ;	12) 3y′ = (1 + x2 )/ y2 ;

13)ydx + x2 dy = 0 ; 14) (x2 +1)dy − x y dx = 0 .

Решить линейное дифференциальное уравнение:

15)

y′ −

y = x cos x ;

16)

y′ + 2xy = x e

−x2

Ответы:

1) y =3x + c ; 2) y =

+ c ; 3)

y = −2x2 + c ; 4) y = ln

x +1

+ c ;

−3x

y = 4sin x + c ;

y = −

+ c ;

y =3x ; 8)

y =

−8 ;

x2 +1

y = ln

;

10)

y =8cos x ;

11) y = c e

;

12)

y = 3

+ x + c ;

13) y =

+ c

;

14) y = c

+1 ;

15)

y = x(sin x + c); 16)

y = e

−x2

+ c .

110

11. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА

1 1 . 1 . ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ

Общий вид обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка:

F (x, y, y′, y′′)= 0 .

При интегрировании дифференциальных уравнений число произвольных постоянных в решении уравнения равно порядку уравнения. Решения дифференциальных уравнений второго порядка содержат по две произвольных постоянных.

Например, y′′ = 0, y′ = C1 , y = ∫C1dx = C1 x +C2 . Решение диффе-

ренциального уравнения второго порядка содержит две произвольные константы.

Простейшее дифференциальное уравнение второго порядка имеет вид y′′ = f (x).

Например, решим уравнение y′′ = e2 x + sin x .

Интегрируем уравнение 2 раза:

y′ = ∫(e2 x +sin x)dx = 12 e2 x −cos x +C1 ;

y = ∫ 12 e2 x −cos x +C1 dx = 14 e2 x −sin x +C1 x +C2 .

Чтобы выделить единственное решение задают начальные условия (значение функции в точке x0 и значение производной в точке x0). Это задача Коши. Геометрический смысл задачи Коши в этом случае заключается в нахождении интегральной кривой, проходящей через данную точку

111

(x0 ; y(x0 )) и имеющей заданный угловой коэффициент касательной в этой

точке (k = y′(x0 )).

Например, решим задачу Коши

y	′′	′
y		= 2, y(1)= 0; y (1)= 4 .

Интегрируем уравнение 2 раза:

y′ = ∫2dx = 2x +C1 , y = ∫(2x +C1 )dx = x2 +C1 x +C2 ,

y(1)=1 + C1 + C2 = 0;

y′(1)= 2 + C1 = 4 C1 = 2; C2 = −3.

Следовательно, y = x2 + 2x −3 .

1 1 . 2 . ЛИНЕЙНОЕ ОДНОРОДНОЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ

Линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами имеет вид:

y′′ + py′+ qy = 0 ,

где p и q – вещественные числа.

Будем искать решение уравнения в виде y = ekx . Подставим y = ekx в уравнение y′′ + py′ + qy = 0 :

(ekx )″ + p(ekx )′ + q ekx = 0 (kekx )′ + p k ekx + q ekx = 0
	k 2 ekx + p k ekx + q ekx = 0 ekx (k 2 + p k + q)= 0 .
Заметим,	что ekx ≠ 0 , следовательно, функция y = ekx будет	решением
уравнения	y′′ + py′ + qy = 0 только, если k будет решением	уравнения

k 2 + p k + q = 0 .

Уравнение k 2 + p k + q = 0 называют характеристическим уравне-

нием линейного дифференциального уравнения y′′ + py′ + qy = 0 .

В зависимости от дискриминанта характеристического уравнения решение уравнения y′′ + py′+ qy = 0 имеет вид:

1)	> 0, k ≠ k	2	y =C ek1 x + C		ek2 x ;
	1	2	1	2

112

2)	= 0, k = k		2	y = (C + C				x)ek1 x ;
	1					1	2
3)	k	= a + bi			y	= eax (C1 cosbx + C2 sin bx).
	< 0, 1	= a −bi
	k2
1 1 . 3 . РЕШЕНИЕ ТИПОВЫХ ЗАДАЧ
Пример 1. Решить уравнение y′′ = e2 x							+ sin x .

Решение. Это простейшее дифференциальное уравнение второго порядка. Интегрируем последовательно:

y′ =

2 x

+ sin x)dx =

2 x

− cos x + C ;

y =

2 x

− cos x + C

∫

y = 14 e2 x − sin x + C1 x + C2 .

Ответ: y = 14 e2 x −sin x + C1 x + C2 .

☺

Пример 2. Решить уравнение y′′ − 2 y′−8y = 0 .

Решение. Это линейное однородное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами. Решим соответствующее характеристическое уравнение k 2 − 2k −8 = 0 .

Дискриминант =b2 − 4ac = 4 + 32 > 0 , следовательно, уравнение имеет вещественные различные корни (k1 = 4; k2 = −2), а общее решение исход-

ного уравнения имеет вид y = C1e4 x + C2 e−2 x .

Ответ: y = C1e4 x + C2 e−2 x .

☺

Пример 3. Решить уравнение y′′ +14 y′ + 49 y = 0 .

Решение. Составим характеристическое уравнение

k 2 +14k + 49 = 0 .

Дискриминант = 0 , следовательно, уравнение имеет вещественные равные корни k1 = k2 = −7 .

113

Тогда общее решение исходного дифференциального уравнения имеет вид y = (C1 + C2 x)e−7 x .

Ответ: y = (C1 + C2 x)e−7 x .

☺

Пример 4. Решить уравнение y′′ + 6 y′ + 25y = 0 . Решение. Характеристическое уравнение имеет вид

	k 2 + 6k + 25 = 0 .
Дискриминант	=b2 − 4ac =36 −100 < 0 отрицателен, следовательно, кор-
ни уравнения являются комплексными числами k1,2 = −3 ± i 25 − 9
k1 = −3 + 4i,	k2 = −3 − 4i .
Решение исходного дифференциального уравнения имеет вид
	y = e−3 x (C cos 4x + C			2	sin 4x).
	1			2
Ответ: y = e−3 x (C cos 4x + C		2	sin 4x) .
	1	2

☺

1 1 . 4 . ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ

Решить уравнения: 1) y′′ = x ; 2) y′′ =sin x .

Найти частные решения уравнений, удовлетворяющие указанным начальным условиям:

3)	d 2 y					′

	dx2 =12x, если y(0)= 2 и y (0)= 20 ;
4)	y	′′	= 6x, если y(0)=			′	;
					0, y (0)=10
5)	y	′′	=18x + 2;	если y(0)=		′
						4; y (0)=5 .

Решить уравнения:

6) y′′ +8y′ +15 y = 0 ;	7) y′′ + 3y′ = 0 ; 8) y′′ − 6 y′ + 9 y = 0 ;
9) y′′ − 4 y′+13y = 0 ;	10) y′′ +16 y = 0 ; 11) y′′ − 2 y = 0 .

Найти частные решения уравнений, удовлетворяющие указанным начальным условиям:

114

12)

y′′

+ 4 y = 0, если

= −2 ;

=1,

y′

13)

y′′ − 2 y′= 0, если y(0)=

;

y′(0)=1;

14)

′′

+ 3y

′

+ 2 y = 0,

если y(0)= −1;

′

y (0)=3.

	Ответы:
1)	y =	x3	+ C x + C		;	2)	y = −sin x + C x + C		;
1)	y =		+ C x + C		;	2)	y = −sin x + C x + C		;
	6		1	2			1	2
	6

3) y = 2x3 + 20x + 2 ; 4) y = x3 +10x ; 5) y =3x3 + x2 + 5x + 4 ;

6)	y =C e−5 x		+ C	e−3 x	; 7) y =C + C				e−3 x ; 8) y = (C + C				x)e3 x			;
		1	2				1	2	1			2
9)	y = e2 x (C cos3x + C					2	sin 3x);	10)	y =C cos 4x + C	2	sin 4x ;
		1				2			1	2		1
11)		y = e 2x	+ e− 2x ;		12) y = cos 2x + sin 2x ; 13) y =1 +							1		e2 x	;
11)		y = e 2x	+ e− 2x ;		12) y = cos 2x + sin 2x ; 13) y =1 +							2		e2 x	;
14)		y = e−x − 2e−2 x .										2
14)		y = e−x − 2e−2 x .

115

Библиографический список

1. Курс высшей математики для гуманитарных специальностей: Учеб. пособие / Ю.Д. Максимов, О.И. Недзвецкий, М.Ф. Романов, Ю.А. Хватов, А.В. Ястребов. Под общ. ред. Ю.Д. Максимова. СПб.: СпецЛит, 1999.

2. Турецкий В.Я. Математика и информатика. 3-е изд. М.: ИНФРА-М,

2000.

3.Леванков В.А., Максимов Ю.Д., Романов М.Ф. Математика и её прило-

жения для гуманитарных специальностей: Учеб. пособие. СПб.: Изд-во СПбГПУ, 2001.

4.Демидович Б.П., Кудрявцев В.А. Краткий курс высшей математики: Учеб. пособие для вузов. М.: ООО «Издательство Астрель»; ООО «Издательство АСТ», 2001.

116

Оглавление

Предисловие ................................................................................................................	3
1. Комплексные числа ...............................................................................................	5
1.1. Развитие понятия о числе.................................................................................	5
1.2. Алгебраическая форма комплексного числа..................................................	7
1.3. Арифметические действия с комплексными числами...................................	8
1.4. Решение квадратных уравнений в множестве комплексных чисел...........	10
1.5. Решение типовых задач ..................................................................................	11
1.6. Задания для самостоятельной работы...........................................................	14
2. Элементы теории многочленов .........................................................................	16
2.1. Многочлены. Теорема Безу............................................................................	16
2.2. Основная теорема алгебры (теорема Гаусса) ...............................................	17
2.3. Корни многочленов.........................................................................................	18
2.4. Решение типовых задач ..................................................................................	19
2.5. Задания для самостоятельной работы...........................................................	25
3. Системы линейных уравнений .........................................................................	26
3.1. Линейное уравнение........................................................................................	26
3.2. Система линейных уравнений........................................................................	26
3.3. Решение системы линейных уравнений методом Гаусса............................	28
3.4. Решение типовых задач ..................................................................................	29
3.5. Задания для самостоятельной работы...........................................................	33
4. Предел и непрерывность функции ...................................................................	34
4.1. Определение предела функции......................................................................	34
4.2. Теоремы о пределах ........................................................................................	37
4.3. Замечательные пределы..................................................................................	38
4.4. Эквивалентные бесконечно малые................................................................	38
4.5. Раскрытие неопределённостей.......................................................................	39
4.6. Непрерывность функции в точке...................................................................	40
4.7. Решение типовых задач ..................................................................................	41
4.8. Задания для самостоятельной работы...........................................................	47

117

5. Производная ..........................................................................................................	48
5.1. Основные понятия...........................................................................................	48
5.2. Правила дифференцирования ........................................................................	50
5.3. Производная сложной функции.....................................................................	50
5.4. Производная обратной функции....................................................................	50
5.5. Таблица производных.....................................................................................	51
5.6. Уравнение касательной и нормали к графику функции..............................	51
5.7. Решение типовых задач ..................................................................................	52
5.8. Задания для самостоятельной работы...........................................................	57
6. Исследование функции с помощью производной .........................................	59
6.1. Возрастание и убывание функции ................................................................	59
6.2. Точки экстремумов .........................................................................................	60
6.3. Схема исследования функции на экстремум ...............................................	62
6.4. Выпуклости и точки перегиба кривой ..........................................................	63
6.5. Исследование экстремумов функции с помощью второй производной ...	66
6.6. Решение типовых задач ..................................................................................	68
6.7. Задания для самостоятельной работы...........................................................	74
7. Асимптоты графика функции ...........................................................................	76
7.1. Вертикальная асимптота.................................................................................	76
7.2. Горизонтальная асимптота.............................................................................	77
7.3. Наклонная асимптота......................................................................................	78
7.4. Решение типовых задач ..................................................................................	79
7.5. Задания для самостоятельной работы...........................................................	84
8. Неопределённый интеграл .................................................................................	85
8.1. Первообразная и неопределённый интеграл ................................................	85
8.2. Свойства неопределённого интеграла...........................................................	85
8.3. Таблица интегралов.........................................................................................	86
8.4. Методы интегрирования.................................................................................	86
8.5. Решение типовых задач ..................................................................................	87
8.6. Задания для самостоятельной работы...........................................................	91
9. Определённый интеграл .....................................................................................	93
9.1. Вычисление определённого интеграла..........................................................	93
9.2. Площадь криволинейной трапеции и определённый интеграл..................	93
9.3. Свойства определённого интеграла...............................................................	95
9.4. Вычисление площадей плоских фигур..........................................................	96
9.5. Решение типовых задач ..................................................................................	97
9.6. Задания для самостоятельной работы.........................................................	100
10. Дифференциальные уравнения первого порядка .....................................	101
10.1. Дифференциальное уравнение. Общие понятия......................................	101
10.2. Задача Коши и её геометрический смысл.................................................	103
10.3. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными........	103

118

10.4. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка...................	104
10.5. Решение типовых задач ..............................................................................	105
10.6. Задания для самостоятельной работы.......................................................	109
11. Дифференциальные уравнения второго порядка .....................................	111
11.1. Общие понятия............................................................................................	111
11.2. Линейное однородное дифференциальное уравнение
второго порядка с постоянными коэффициентами.................................	112
11.3. Решение типовых задач ..............................................................................	113
11.4. Задания для самостоятельной работы.......................................................	114
Библиографический список .................................................................................	116

119

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1112 / 1312 13 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
10.11.2019474.14 Кб11posobie.docx
#
29.08.20192.54 Mб72POSOBIE_polnyy_variant.doc
#
21.03.2016508.42 Кб15Postanovlenie-SANPIN_2014-ITOG.doc
#
29.08.20191.53 Mб3Practical information groups 2012-ENG.doc
#
28.09.201943.73 Кб1praktika_letnyaya_2_kurs.docx
#
21.03.20161.32 Mб12Praktikum_po_matematike.pdf
#
16.04.2015195.07 Кб9Pravila.doc
#
17.09.2019351.74 Кб4pravila_Oformlenia_Studencheskikh_Vypus.doc
#
15.09.2019475.14 Кб4Pravovedenie_Tablichki_dopoln.doc
#
16.04.2015101.43 Кб43prikaz_1358.pdf
#
16.04.2015486.91 Кб86Prilivnye_elektrostantsii.doc