Praktikum_po_matematike

x = 6 − y −3

x =3

− y

x =3

− 2

x =1

y = −1 + 3

y = 2

y = 2

y = 2 .

z =3

z =3

z =3

z =3

это подстановкой в исходную систему.

2x + y + 3z =13

2

1 + 2 + 3 3 =13

13 =13

+ 2 + 3 = 6

= 6 .

x + y + z = 6

1

6

1 + 2 + 3 =8

=8

3x + y + z =8

3

8

x

+ x

2

+ x

+ x

4

=1;

1

3

x1 + x2 − x3

= 2;

x2 + x3

= 0.

Вычтем из второго уравнения первое:

x

+ x

2

+ x

+ x

4

=1;

1

3

− 2x3

− x4 =1;

x2 + x3

= 0.

x

+ x

2

+ x

3

=1 − x

4

;

x

=1 − x

4

− x

2

− x

;

1

1

3

x2 + x3 = 0;

x2 = −x3 ;

− 2x3 =1 + x4 .

1 + x4

= − 2 .

x3

1 + t

1 + t

x3

= −

x3

= −

2

2

1 + t

1

+ t

−

=

.

x2

= −

2

x2

2

=1 −t

−

1

+ t

1 + t

x1

=1 −t

x

2

− −

2

1

Итак, решением системы будет набор четырёх чисел

(x

; x

; x

; x

−t;

1 + t

; −

1 + t

где t –

любое вещественное число.

)= 1

2

2

; t ,

1

2

3

4

1

1

1

1

Ответ: 1

−t;

+

t; −

−

t; t

, t R .

2

2

2

2

x = 3 + 2 − z = 5 − z

x =5 −1 = 4

z = 5 − 2 2 =1

z =1

.

y = 2

y = 2

Система имеет единственное решение.

Ответ: {(4; 2; 1)}.

☺

x1 + x2 + x3 =1;

Пример 4. Решить систему уравнений 2x1 + x2 + x3 = 2;

3x1 + 2x2 + 2x3 = 3.

Решение.

x

+ x

+ x =1

x

+ x

+ x

=1

x1

=1

x

=1

1

2

3

1

2

3

1

2x1 + x2 + x3 =

2

x2 + x3

= 0

= −x3

x2 = t R .

+ 2x3

= 3

x2 + x3 = 0

x2

= −t

3x1 + 2x2

x3

Система имеет бесконечное множество решений {(1;

t; − t )} при любых

x + y + z =1;

Пример 5. Решить систему уравнений 2x + 2 y + 2z = 3;

3x + 3y + 3z = 4.

Решение.

x + y + z =1

x + y + z =1

2x + 2 y + 2z = 3

0 =1

(неверное числовое равенство).

3x + 3y + 3z = 4

0 =1

на); 9) 4

; −

17

+ t; t ; t R .

5

5

Определение 4. 1 можно записать в математических символах:

x − a

< δ(ε)

f (x)− B

< ε).

lim f (x)= B ( ε > 0 δ(ε)> 0: x :0 <

x→a

Определение 4.2. Предел функции y = f (x) в бесконечности

(при x →∞) – это число B, для которого по любому сколь угодно

малому

ε > 0 найдётся такое

M (ε)> 0 ,

что любое значение x,

удовлетворяющее неравенству

x

> M ,

удовлетворяет и нера-

венству

f (x)− B

< ε.

x→∞

Определение 4. 2 в математических символах:

( ε > 0

M (ε)> 0: x:

x

> M (ε)

f (x)− B

< ε) .

lim f (x)= B

x→∞

Определение 4.3.

Бесконечный предел функции y = f (x) –

это предел y = f (x)

в такой точке x = a , в окрестности которой

по любому сколь

угодно большому M > 0

найдётся такое

δ(M )> 0 , что любое значение x, удовлетворяющее неравенствам

0 <

x − a

< δ(M ), удовлетворяет и неравенству

f (x)

> M .

x→a

Определение 4. 3 в математических символах:

( M > 0

δ(M )> 0:

x: 0 <

x − a

< δ

f (x)

> Μ).

lim f (x)= ∞

x→a

1)

lim

f (x) – существует предел слева;

x→x0 −0

2)

lim

f (x) – существует предел справа;

x→x0 +0

3)

lim

f (x)= lim f (x).

x→x0 −0

x→x0 +0

Теорема 4.2 (о пределе промежуточной функции). Если lim f1 (x)= B ,

x→a

lim f2 (x)= B и f1 (x)≤ f (x)≤ f2 (x) в некоторой окрестности точки x = a ,

x→a

кроме, может быть, самой точки а, то lim f (x)= B .

x→a

Теорема 4.3. Если c – постоянная ( c = const ), то lim c = c .

x→a

Теорема 4.4. Если lim f

(x)= B

и lim f

2

(x)= B

, то

x→a

1

1

x→a

2

1) lim(f

(x)+ f

2

(x))

=lim f

(x)+lim f

2

(x)= B

+ B

2

;

x→a

1

x→a

1

x→a

1

2) lim[f

(x) f

2

(x)]= lim f

(x) lim f

2

(x)= B B ;

x→a

1

x→a 1

x→a

1

2

3) lim

f1

(x)

=

limx→a

f1 (x)

=

B1

;

lim f

(x)

B

x→a

f

2

(x)

2

x→a

2

4) lim[f1

f

(x)

lim

f

(x)

= B1

B

(x)] 2

= [lim f1 (x)]x→a

2

2 .

x→a

x→a

Следствие. lim[c f (x)]= c lim f (x),

где c = const.

x→a

x→a

lim

sin x

=1.

x→0

x

Определение 4.4. Бесконечно малая величина в точке x = a

(при x → a ) – это такая функция α = α(x), что lim α(x)= 0 .

x→a

Например, функция y =sin x при

x → 0 (и вообще при x → πk ,

k Z ) и функция y = 2x −3 при x →3 2

– бесконечно малые функции

Определение 4.5. Эквивалентные бесконечно малые (в точке

x = a ) – это такие бесконечно малые при x → a α1

(x)

и α2 (x),

что lim

α1

(x)

=1.

α2

x→a

(x)

a

0

xm

+ a xm−1 +... + a

m

, (a

≠ 0).

lim

1

≠ 0, b

b xn

+ b xn−1 +... + b

x→∞

0

0

0

1

n

)= ∞ и

Предел числителя

lim(a

0

xm + a xm−1

+... + a

m

предел

знаменателя

(b xn + b xn−1

x→∞

1

lim

+... + b )= ∞,

следовательно,

имеет

место

неопределён-

x→∞

0

1

n

ность вида

∞ . Раскроем её:

∞

xm (a

xm )

a

0

xm

+ a xm−1 +... + a

m

0

+ a

x +

... + a

m

lim

1

= lim

1

=

b xn

+ b xn−1

+... + b

xn (b

+ b

x +

... + b

xn )

x→∞

x→∞

0

1

n

0

1

n

xm )

x

m

(a0 + a1

x +...

+ am

x

m

m

lim(a0 + a1

x +... + am

x→∞

)

x

= xlim→∞

(b + b

x +... + b

xn )

= xlim→∞

lim(b

+ b

x +... + b

xn )

.

xn

xn

0

1

n

x→∞

0

1

n