Начертательная геометрия(краткий курс лекций)_Красильникова_Кокорин_Иванова

Рис. 74

Этот способ применяется только для определения линии пересечения поверхностей вращения, оси вращения которых пересекаются, а общая плоскость симметрии должна быть плоскостью уровня. В этом случае вспомогательные сферы с центрами в точке пересечения осей вращения заданных поверхностей пересекают обе поверхности по окружностям, которые проецируются в виде прямых на плоскость, параллельную общей плоскости симметрии (рис. 74, б).

Задача

На эпюре Монжа построить проекции линии пересечения l поверхности (i, f) с поверхностью (j, q) (рис. 75, а).

Вначале определим характер линии пересечения этих поверхностей и ее проекций.

Две поверхности второго порядка пересекаются в общем случае по кривой четвертого порядка, поэтому горизонтальная проекция искомой линии l будет представлять собой кривую четвертого порядка. Фронтальная же проекция будет представлять собой кривую второго порядка, т.к. поверхности имеют общую

71

плоскость симметрии, параллельную фронтальной плоскости проекций.

Для определения общих точек поверхностей будем пересекать их сферами с центрами в точке пересечения осей вращения этих поверхностей (О = i j).

Алгоритм решения

Общая плоскость симметрии заданных поверхностей параллельна фронтальной плоскости проекций (рис. 75, б), поэтому решение задачи начнем с построения фронтальных очерков вспомогательных сфер.

1. Строим фронтальный очерк сферы наименьшего радиуса. Сферой наименьшего радиуса (Rmin) является сфера,

касательная одной из поверхностей и пересекающая другую. На эпюре Монжа этой сфере соответствует окружность, касательная очерковых прямых конической поверхности (рис. 76).

Сфера касается конической поверхности по окружности а и пересекает цилиндрическую поверхность по окружности b. При этом плоскости окружностей а и b перпендикулярны осям вращения i и j соответственно. Первая пара общих точек поверхностей определится на пересечении этих окружностей — A(A*) = a b. Фронтальные проекции общих точек определятся на пересечении

72

отрезков прямых — A1(A*1) = a1 b1., а горизонтальные проекции — по условию принадлежности конической поверхности, т.е. A2(A*2)

a2.

2. Строим фронтальный очерк сферы наибольшего радиуса. Радиусу наибольшей сферы (Rmax) на фронтальной проекции

соответствует расстояние от точки О1 до наиболее удаленной точки пересечения очерков заданных поверхностей (B1) (рис. 77).

3. Строим фронтальный очерк сферы произвольного радиуса из диапазона Rmin ≤ R ≤ Rmax (рис. 78).

Сфера радиуса R пересекает коническую и цилиндрическую поверхность по окружностям с и d соответственно. На пересечении этих окружностей определится еще одна пара общих точек заданных поверхностей — D(D*) = c d; D1 (D*1) = c1 d1; D2(D*2)

c2. (D*1).

Для построения других точек искомой линии l повторим последовательность построений пункта 3 данной задачи.

73

4. Определим проекции точек изменения видимости линии l при проецировании на плоскость 2 (рис. 79).

Отметим фронтальные проекции точек изменения видимости линии l: K1 (К*1)= l1 n1(n*1). Горизонтальные проекции К2 (К*2) будут принадлежать соответствующим горизонтальным очерковым прямым n2(n*2) цилиндрической поверхности.

5. Определим видимость линии l.

При проецировании на плоскость 1 видимая и невидимая часть линии l совпадают, т. к. общая плоскость симметрии поверхностей параллельна фронтальной плоскости проекций.

Видимость при проецировании на горизонтальную плоскость проекций ограничивает цилиндр. Поэтому видимость линии на 2 определится, например, положением точки C. Точка C принадлежит видимой части сферы, следовательно, часть линии l от точки K до

74

точки К*, содержащая точку C — видимая. В поле проекций 2 этот участок (K2, C2, К*2) отмечен сплошной основной линией (рис. 79), а участок (K2, B2, К*2) — штриховой.

7.6. Частные случаи пересечения поверхностей вращения второго порядка

К поверхностям второго порядка относятся линейчатые поверхности вращения, а также поверхности, образованные вращением кривой второго порядка вокруг оси симметрии этой кривой.

Теорема Монжа Если две поверхности второго порядка вписаны в третью

поверхность второго порядка или описаны вокруг нее, то линия их пересечения распадается на две кривые второго порядка.

На рис. 80, а изображены цилиндрическая и коническая поверхности вращения, описанные вокруг сферы.

75

Цилиндрическая и коническая поверхности касаются сферы по окружностям a и b, которые пересекаются в точках K и L. Через эти точки и будут проходить линии пересечения рассматриваемых поверхностей (рис. 80, б).

8. СПОСОБЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЧЕРТЕЖА

Способы преобразования чертежа применяются для приведения геометрических объектов в частное положение относительно плоскостей проекций, что позволяет упростить решение ряда позиционных и метрических задач.

Способы преобразования чертежа можно разделить на две группы:

1. Способы дополнительного проецирования.

Эти способы основаны на введение дополнительных плоскостей проекций и центров проецирования. При этом положение геометрических объектов по отношению к исходным плоскостям проекций 1 и 2 остается неизменным.

2. Способы перемещения или вращения геометрических объектов.

Эти способы основаны на изменении положения геометрических объектов по отношению к исходным плоскостям проекций 1 и 2.

В данном пособии для примера рассмотрим способ дополнительного ортогонального проецирования.

8.1. Способ дополнительного ортогонального проецирования (ДОП)

Возьмем в пространстве дополнительную плоскость 3 перпендикулярную плоскости 2 ( 3 2) и составляющую с плоскостью 1 произвольный угол .

76

Проецирование на плоскость 3 из несобственного центра S3 выберем ортогональным (аналогично проецированию на плоскости1 и 2 из соответствующих центров S1 и S2 ) (рис. 81).

Для построения проекции A3 произвольной точки А исходного пространства выполним следующие операции:

1.Через центр S3 и точку А проведем прямую a;

2.Отметим точку пересечения прямой a с плоскостью 3:

A3=a 3.

Полученная точка A3 будет называться дополнительной

ортогональной проекцией точки А на плоскость 3 из центра S3 .

точки А3 до оси x23: | A , 2| = | A1, x12| = | A3, x13|.

Для перехода к плоской модели повернем плоскость 3 вокруг оси x23 до совмещения с плоскостью 2, а затем — плоскость 2 вокруг оси x12 до совмещения с плоскостью 1.

Положение проекции А3 точки А на плоской модели определим следующим образом:

-из точки А2 проведем линию связи перпендикулярно оси x23

(рис. 82);

-измерим расстояние от проекции А1 до оси x12 и отложим это значение по линии связи от оси x23.

77

Если взять дополнительную плоскость 3 перпендикулярно плоскости 1, положение проекции А3 на плоской модели определится следующим образом:

- из точки А1 проведем линию связи перпендикулярно прямой x13 (рис. 83);

- измерим расстояние от проекции А2 до оси x12 и отложим это значение по линии связи от оси x13.

Рис. 83

8.2. Решение позиционных и метрических задач способом ДОП

Рассмотрим ряд задач, связанных с приведением геометрических объектов в частное положение относительно плоскостей проекций и определением некоторых метрических характеристик этих объектов способом ДОП.

Задача 11

Преобразовать прямую общего положения (m) в прямую уровня.

Для решения этой задачи дополнительная плоскость проекций3 выбирается параллельно прямой m и перпендикулярно одной из плоскостей проекций. Если 3 2. на плоской модели ось x23 будет параллельна m2 (x23 m2) (рис. 84).

78

Алгоритм решения

1.Проведем ось x23 параллельно проекции m2 на произвольном расстоянии от нее.

2.Отметим на прямой m две точки — точки A(A1, A2) и B(B1,

B2).

3. Определим проекции A3, B3 точек A и B в дополнительном поле проекций 3 в соответствии с рис. 82.

В новой системе плоскостей ( 2- 3 ) прямая m(m2,m3) преобразуется в линию уровня.

Используя это преобразование можно измерить длину отрезка AB , а также углы между отрезком и плоскостями проекций (рис. 85).

Задача 12

Преобразовать прямую уровня (h) в проецирующую прямую

(рис. 86).

Для решения этой задачи дополнительная плоскость 3 выбирается перпендикулярно прямой.

Так как по условию задачи прямая h параллельна плоскости 2, очевидно, что плоскость 3 будет перпендикулярна горизонтальной

79

плоскости проекций, а на плоской модели ось x23 — перпендикулярна h2.

Алгоритм решения

1.Проведем ось x23 перпендикулярно проекции h2.

2.Отметим на прямой h две точки - точки A(A1, A2) и B(B1, B2).

3.Определим проекции A3, B3 точек A и B в дополнительном

поле проекций 3 в соответствии с рис. 82.

В новой системе плоскостей ( 2- 3 ) прямая h(h2, h3) преобразуется в проецирующую прямую.

Преобразование прямой общего положения в проецирующую прямую осуществляется в два этапа. На первом этапе прямая общего положения преобразуется в прямую уровня (задача 11). Затем, при введении еще одной дополнительной плоскости — 4 , прямая уровня преобразуется в проецирующую прямую (задача 12). На рис. 87 приведен пример преобразования прямой общего положения (m) в проецирующую.

Для построения проекций точек в поле 4 измерим расстояния в поле проекций 2 (от точек A2, B2 до оси x23) и отложим в поле 4 от оси x34 по линии проекционной связи, перпендикулярной x34.

80