Начертательная геометрия(краткий курс лекций)_Красильникова_Кокорин_Иванова

Ответ на этот вопрос дает основная теорема аксонометрии, сформулированная немецким ученым Карлом Польке и соответственно именуемая теоремой Польке: три отрезка прямых

произвольной длины, лежащих в одной плоскости и выходящих из одной точки под произвольными углами друг к другу, представляют параллельную проекцию трех равных отрезков, отложенных на координатных осях от начала.

Таким образом, на основании этой теоремы можно утверждать, что аксонометрические оси и коэффициенты искажения по осям могут выбираться произвольно, т.е. аксонометрий можно построить бесконечно большое количество. Однако, доказано, что для любой произвольной аксонометрической проекции коэффициенты искажения связаны между собой соотношением, называемым основным уравнением аксонометрии

Kx2 + Ky2 + Kz2 = 2 + ctg φ,

где φ – угол характеризующий операцию параллельного проецирования.

9.3. Классификация аксонометрических проекций

Классифицировать аксонометрические проекции возможно по двум признакам: по виду операции проецирования, используемой при построении аксонометрической проекции, и по показателям искажения.

Взависимости от вида операции проецирования аксонометрии могут быть косоугольные (φ ≠ 90°) и прямоугольные (φ = 90°).

Взависимости от соотношения показателей искажения аксонометрии могут быть:

- триметрические (все показатели искажения различны); - диметрические (два показателя искажения равны, но не

равны третьему; - изометрические (все показатели искажения равны).

91

9.4. Стандартные аксонометрические проекции

В соответствии с теоремой Польке выбор аксонометрических осей и коэффициентов искажения может быть произвольным. Выполнять чертежи, пользуясь произвольным видом аксонометрии невозможно. Поэтому ГОСТ 2.317 – 69 устанавливает пять видов стандартных аксонометрических проекций (рис. 99).

Из стандартных аксонометрий наиболее часто используются две прямоугольные – изометрическая и диметрическая и три вида косоугольных – фронтальная изометрическая, горизонтальная изометрическая, фронтальная диметрическая. При построении стандартных аксонометрических проекций используются приведенные коэффициенты искажения, равные, как правило, 1 или 0,5, т.е. большие, чем коэффициенты искажения, рассчитанные по основному уравнению аксонометрии.

Задача

Построить стандартные аксонометрические проекции (прямоугольную изометрию и косоугольную фронтальную диметрию) отрезка АВ, заданного на эпюре Монжа координатами точек А (40; 10; 40) и В (10; 50; 20), рис. 100.

Рис.100

Алгоритм решения

1.Строим вторичные аксонометрические проекции точек А

иВ – точки А21 и В21 в плоскостях xOy по соответствующим координатам с учетом коэффициентов искажения по осям.

2.Имея вторичные проекции точек строим главные

координат точек А и В по оси z. В результате построений получим косоугольную фронтальную диметрию отрезка АВ, представленную

93

на рис. 101 а) и прямоугольную изометрию, представленную на рис.

101 б).

диметрия

Рис. 101

Сравнение изображений геометрических объектов на эпюре Монжа и на аксонометрическом чертеже позволяет сделать следующие выводы:

-изображения геометрических фигур на эпюре Монжа и на аксонометрическом чертеже принципиально ничем не отличаются, так как в основе этих чертежей лежит единая схема метода двух изображений. Фигуры на обоих чертежах изображаются двумя проекциями;

-эпюр Монжа проще и точнее аксонометрического чертежа, так как на эпюре Монжа все единичные отрезки изображаются без искажения, а в аксонометрии - с искажением;

-аксонометрический чертеж нагляднее эпюра Монжа, так как проекции координатных плоскостей в аксонометрии являются невырожденными, а на двухкартинном эпюре Монжа изображение координатной плоскости zOy в обеих проекциях вырождается в прямую;

-алгоритмы графического решения позиционных задач на эпюре Монжа и на аксонометрическом чертеже одинаковы.

94

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1.Волошинов В.А. Начертательная геометрия. Инженерная графика. Позиционные задачи на проекционных моделях трехмерного пространства: учеб. пособие / В.А. Волошинов. — СПб.: Изд-во СПбГПУ, 2003. — 30 с.

2.Волошинов В.А. Основы проекционного моделирования: учеб. пособие / В.А. Волошинов, М.Д. Половинкин, Л.Н. Шерешкова. — Обнинск: Фабрика офсетной печати ВНИИГМИ-

МЦД, 1989. — 86 с.

3.Иванов Г.С. Начертательная геометрия: учебник / Г.С. Иванов — М.: ГОУ ВПО МГУЛ, 2008. — 338 с.

4.Иванова Н.С. Начертательная геометрия. Инженерная графика. Позиционные задачи на инцидентность геометрических элементов: учеб. пособие / Н.С. Иванова. — СПб.: Изд-во Политехн.

ун-та, 2003. — 78 с.

5.Начертательная геометрия. Инженерная графика. Позиционные задачи. Ч.1: учеб. пособие / Л.Б. Иванова [и др.] — СПб.: Изд-во Политехн. ун-та, 2013. — 86 с.

6.Начертательная геометрия. Инженерная графика. Проекционные модели трехмерного пространства. Моделирование геометрических объектов: учеб. пособие/ Ю.Я. Андрейченко [и др.]

—СПб.: Изд-во Политехн. ун-та, 2008. — 36 с.

7.Фролов С.А. Начертательная геометрия: учебник для втузов

/С.А. Фролов. — 2-е изд., перераб. и доп. — М.: Машиностроение,

1983. — 240 с.

95

ПРИЛОЖЕНИЯ

96

ПРИЛОЖЕНИЕ 1

ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЯ ПО ТЕМЕ «МОДЕЛИРОВАНИЕ ТОЧКИ НА ЭПЮРЕ МОНЖА»

1. Какая из заданных точек наиболее удалена от плоскости проекций π2 (рис. 102)? Выберите ответ из предложенных вариантов:

Варианты ответа: a) точка А

b) точка B c) точка С d) точка D

Рис. 102

2.На эпюре Монжа (рис. 103) постройте проекции точек A, B

иC по заданным координатам (таблица 3).

Таблица 3

Рис. 103

97

3. На эпюре Монжа (рис. 104) постройте проекции точки R, расположенной симметрично заданной точке A относительно плоскости проекций π1.

Рис. 104

4. В каких четвертях пространства находятся заданные конкурирующие точки M и N (рис. 105)? Какая из этих точек является видимой при проецировании на плоскость проекций π2?

Рис. 105

98

ПРИЛОЖЕНИЕ 2

ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЯ ПО ТЕМЕ «МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРЯМОЙ И КРИВОЙ НА ЭПЮРЕ МОНЖА»

1. Определите взаимное положение прямых a и b (рис. 106). Выберите ответ из предложенных вариантов. Обоснуйте выбор построением.

Варианты ответа: a) прямые пересекаются b) прямые скрещиваются c) прямые параллельны

Рис. 106

2. Какая из заданных прямых (a, b или k) параллельна плоскости проекций π2 (рис. 107)?

Рис. 107

99

3. Постройте горизонталь h, проходящую через заданную точку M и пересекающую профильную прямую d (АВ) (рис. 108).

Рис. 108

4. Определите недостающую проекцию точки А, принадлежащей горизонтали, пересекающей плоскую кривую s и составляющей с плоскостью проекций π1 угол 45º (рис. 109). Сколько возможно решений?

Рис. 109

100