Начертательная геометрия(краткий курс лекций)_Красильникова_Кокорин_Иванова

На рисунках 21, б и 22, б показано построение произвольной точки R, принадлежащей замкнутой кривой линии f.

Порядок кривой линии Наибольшее число точек пересечения плоской кривой с прямой

линией определяет порядок плоской кривой. Наибольшее число точек пересечения пространственной кривой линии с плоскостью определяет порядок пространственной кривой. В общем случае порядок проекции кривой равен порядку самой кривой. В частном случае проекция может иметь меньший порядок, как, например, в случае плоской кривой, лежащей в проецирующей плоскости (рис.

20, б).

Рассмотрим некоторые кривые линии, наиболее широко применяемые на практике.

Кривые второго порядка Кривые второго порядка называются коническими сечениями,

так как они могут быть получены при пересечении поверхности прямого кругового конуса плоскостью. В зависимости от положения секущей плоскости по отношению к образующим конуса получаются различные кривые второго порядка:

- эллипс или окружность, когда плоскость пересекает все образующие (рис. 23, а);

21

- парабола, когда секущая плоскость параллельна одной образующей (рис. 23, б);

- гипербола, когда плоскость параллельна двум образующим

(рис. 23, в).

распадается на пару прямых.

При параллельном проецировании проекцией эллипса и окружности является эллипс или, в частном случае, окружность, проекцией параболы является парабола, проекцией гиперболы — гипербола.

Винтовая линия Из пространственных кривых линий широкое применение в

инженерной практике получила цилиндрическая винтовая линия, представляющая собой траекторию движения точки, которая равномерно вращается вокруг некоторой оси i и одновременно перемещается вдоль этой оси с постоянной скоростью (рис. 24). Величина перемещения точки в направлении оси i, соответствующая одному полному обороту вокруг оси, называется шагом винтовой линии.

Репер винтовой линии состоит из величины шага p и радиуса R. Рассмотрим пример построения модели винтовой линии f (f1, f2)

на эпюре Монжа.

22

Пример

Построение модели винтовой линии f (f1, f2 ).

Рис. 24

Порядок построения

1.Проведем ось вращения i (i1, i2) перпендикулярно плоскости проекций 2.

2.В первом поле на i1 отложим величину шага p, а во втором поле из центра — проекции оси i2 проведем окружность радиуса R, которая является второй проекцией f2 винтовой линии f.

3.Разделим окружность f2 на одинаковое количество равных частей (в данном случае — на 8); интервал шага p также разделим на 8 равных частей.

4.Через точки деления окружности 12, 22,..., 82 проводим линии проекционной связи.

5.Находим первые проекции точек деления окружности 11–81.

6.Соединяем последовательно точки 11–81 и получаем первую проекцию винтовой линии f1.

23

3. МОДЕЛИРОВАНИЕ ПЛОСКОСТИ НА ЭПЮРЕ МОНЖА

Плоскость является простейшей поверхностью. Способы задания плоскости общего положения (произвольно расположенной относительно плоскостей проекций), представлены на рисунке 25:

-три точки, не лежащие на одной прямой — (A, B, C).

-прямая и точка, не принадлежащая этой прямой — (N, a).

-две пересекающиеся или две параллельные прямые — (m, n), (c, d).

Рис. 25

Задача 2

На эпюре Монжа построить модель какой-либо прямой, принадлежащей плоскости (А, В, С).

Предпосылка для решения задачи: прямая принадлежит

плоскости, если она проходит через две точки этой плоскости. Алгоритм решения

1.Проводим произвольно проекцию l1 прямой l (рис. 26, а)

2.Соединяем между собой соответствующие проекции точек A и B, B и C (рис. 26, б)

3.Отмечаем точки 11 и 21 пересечения проекции прямой l1 с проекциями прямых В1А1 и В1С1

4.Находим горизонтальные проекции точек 12 и 22, проводим через них проекцию l2 прямой l.

24

На эпюре Монжа построить модель точки, принадлежащей плоскости (А, В, С).

Построение недостающей проекции точки, принадлежащей плоскости, основано на условии принадлежности этой точки

прямой, лежащей в плоскости.

Алгоритм решения

1.Отмечаем произвольно проекцию К1 точки К (рис. 27, а).

2.Через К1 проводим первую проекцию l1 прямой l,

принадлежащей плоскости .

3. Строим вторую проекцию l2 прямой l (см. задачу 2).

25

4. Через точку К1 проводим линию проекционной связи и, при пересечении ее с прямой l2, отмечаем искомую проекцию K2 точки К, принадлежащей прямой l, а следовательно и плоскости .

Плоскости частного положения

Проецирующие плоскости

Плоскость, проходящая через проецирующую прямую, называется проецирующей плоскостью.

Очевидно, что фронтально-проецирующая плоскость перпендикулярна плоскости проекций 1 (рис. 28), а горизонтальнопроецирующая плоскость — плоскости проекций 2.

Рис. 28.

Одна из проекций проецирующей плоскости вырождается в прямую. Эта прямая обладает собирательным свойством. На рисунке 28 видно, что фронтальные проекции всех элементов плоскости (a,b) расположены (собраны) на одной прямой a1.

26

На рис. 29, а и рис. 29, б представлены проекции фронтально-проецирующей плоскости (a b), перпендикулярной1, и горизонтально-проецирующей плоскости (a||b), перпендикулярной 2. Чаще всего, проецирующие плоскости задаются на эпюре Монжа своими вырожденными проекциями

(рис. 29, в).

Плоскости уровня

Плоскость уровня — плоскость, параллельная одной из плоскостей проекций.

Рис. 30

На рисунке 30 изображена плоскость , параллельная горизонтальной плоскости проекций. Треугольник ABC, принадлежащий плоскости , будет проецироваться на плоскость 2 без искажения, т. е. по горизонтальной проекции треугольника можно судить об его истинных размерах.

Рис. 31

27

На рисунке 31, а представлены проекции плоскости уровня , параллельной плоскости 2, а на рис. 31, б — плоскости , параллельной плоскости 1.

4. МОДЕЛИРОВАНИЕ ПОВЕРХНОСТЕЙ НА ЭПЮРЕ МОНЖА

В начертательной геометрии при моделировании поверхностей преимущественно используют кинематический и каркасный способы их образования.

При кинематическом способе поверхность рассматривается как совокупность всех последовательных положений некоторой линии — образующей, перемещающейся в пространстве по определенному закону. Линия, которую пересекают все образующие поверхности, называется направляющей.

Упорядоченное множество линий, принадлежащих поверхности, называется ее каркасом. Обычно в качестве линий каркаса используют семейство образующих или семейство направляющих.

При каркасном способе поверхность рассматривается как совокупность некоторого числа линий, образующих каркас. Основное отличие каркасных поверхностей от кинематических состоит в том, что для первых задается определенное число линий каркаса — дискретный каркас, а у вторых в любой точке поверхности может быть построена линия каркаса, т. е. поверхность имеет непрерывный каркас.

При моделировании поверхности важную роль играет ее определитель.

Определитель поверхности Совокупность условий, задающих поверхность, называется

определителем поверхности. Определитель состоит из двух частей: геометрической и алгоритмической.

28

Геометрическая часть определителя включает в себя геометрические элементы, участвующие в образовании поверхности. Такой набор элементов называется репером (от французского слова repere — метка, ориентир).

Алгоритмическая часть определителя содержит перечень операций, позволяющих реализовать переход от репера к остальным точкам поверхности.

При моделировании поверхности необходимо:

1)Промоделировать репер.

2)Реализовать алгоритм, посредством которого осуществляется переход от модели репера к модели произвольной точки, принадлежащей данной поверхности.

На эпюре Монжа поверхность задается проекциями ее

репера.

Построение произвольной точки, принадлежащей поверхности, осуществляется с помощью простейших линий каркаса поверхности, проходящих через эту точку.

При моделировании поверхности возникает понятие очерка поверхности.

Очерк поверхности Совокупность точек касания проецирующих прямых

поверхности образует контурную линию k (рис. 32). Очерк (k1) — проекция контурной линии на плоскость проекций. Контурная линия делит поверхность на две части — видимую и невидимую.

Рис. 32

29

При моделировании поверхности по методу Монжа различают фронтальный (k1) и горизонтальный очерк поверхности (h2 и g2).

Все поверхности можно разделить на два класса: линейчатые поверхности и нелинейчатые поверхности [7].

В каждом классе поверхностей можно выделить подклассы: поверхности вращения; поверхности параллельного переноса; винтовые поверхности и др.

4.1. Моделирование линейчатых поверхностей

Линейчатая поверхность образуется движением прямой линии (образующей), которая, в общем случае, пересекает три направляющие, в частном случае, — две или одну направляющую.

Линейчатые поверхности с одной направляющей Линейчатые поверхности с одной направляющей образуются

движением прямой линии, которая пересекает направляющую (кривую или ломаную линию) и вершину (собственную или несобственную точку). В таблице 1 представлены различные формы поверхности с одной направляющей в зависимости от вида направляющей и вершины.

Таблица 1

Моделирование конической поверхности

Для построения модели конической поверхности необходимо задать на эпюре Монжа проекции ее репера — направляющей (кривая линия) и вершины (собственная точка), а также решить задачу построения произвольной точки поверхности.

30