Начертательная геометрия(краткий курс лекций)_Красильникова_Кокорин_Иванова

Задача

На эпюре Монжа построить проекции линии пересечения l поверхности (f, h) с плоскостью ( m, n) (рис. 67, а).

Для решения этой задачи в качестве вспомогательных плоскостей используем плоскости уровня, т. к. одна из проекций линии пересечения такой плоскости со сферой представляет собой прямую, а вторая — окружность.

Алгоритм решения

1. Определим проекции точек изменения видимости линии l. а) Строим проекции точек A и B, используя в качестве

вспомогательной плоскости — плоскость ( || 1) (рис. 67, б):

-определим проекции линии пересечения плоскости со сферой в — окружность f (f1, f2);

-определим проекции линии пересечения плоскости с плоскостью в соответствии с алгоритмом решения задачи 6 — прямая k (k1, k2);

-отметим проекции точек A и B: A1, B1 = k1 f1; A2, B2 2

б) Строим проекции точек С и D , используя в качестве вспомогательной плоскости плоскость уровня ( || 2):

-определим проекции линии пересечения плоскости со сферой — окружность h (h1, h2);

-определим проекции линии пересечения плоскости с плоскостью — прямая c (c1, c2);

-отметим проекции точек C и D: C2, D2 = c2 h2; C1, D1 1

2. В соответствии с алгоритмом решения задачи 10 определим произвольные общие точки (K и L) заданных фигур, используя в качестве вспомогательной плоскости плоскость уровня ( || 2)

(рис. 68, в):

3. Определим видимость линии l (рис. 68, г), используя точку

K.

61

При проецировании на плоскость 1 точка K принадлежит невидимой части сферы, следовательно, часть линии l от точки A до точки B, содержащая точку K — невидимая. В поле проекций 1 этот участок (A1, K1, D1, B1) отметим штриховой линией.

При проецировании на плоскость 2 точка K принадлежит видимой части сферы, следовательно, часть линии l от точки C до точки D, содержащая точку K — видимая. В поле проекций 2 этот участок (C2, A2, K2, D2) отметим сплошной основной линией.

-определим проекции линии пересечения плоскости со сферой в соответствии с алгоритмом решения задачи 8 – окружность a (a1, a2);

-определим проекции линии пересечения плоскости с плоскостью в соответствии с алгоритмом решения задачи 6 – прямая b (b1, b2);

-отметим проекции точек K и L: K, L = a b; K2, L2 = a2 b2;

K1, L1 1.

Для построения других точек искомой линии l повторим последовательность построений пункта 2 данной задачи.

62

в)

г)

Рис. 68

63

7.4. Пересечение проецирующей поверхности с поверхностью общего положения

Для определения линии пересечения проецирующей поверхности с поверхностью общего положения будем использовать собирательное свойство вырожденной проекции проецирующей поверхности, и применять алгоритм построения линии, принадлежащей поверхности общего положения.

Задача

На эпюре Монжа построить проекции линии пересечения l проецирующей призматической поверхности (f, S) с поверхностью общего положения (i, m) (рис. 69, а).

горизонтально-проецирующая, то вторая проекция линии пересечения поверхностей совпадает с вырожденной горизонтальной проекцией поверхности (рис. 69, б).

64

1.Отметим горизонтальную проекцию l2 ≡ 2 ≡ f 2.

2.Фронтальную проекцию l1 определим по принадлежности линии l поверхности (i, m).

Проецирующие плоскости (грани призматической поверхности) пересекают коническую поверхность по гиперболическим кривым, фронтальными проекциями которых также будут гиперболические кривые.

Задача

На эпюре Монжа построить проекции линии пересечения l проецирующей цилиндрической поверхности (f, S) с торовой поверхностью (i, m) (рис. 71, а).

Вначале определим характер линии пересечения этих поверхностей и ее проекций.

На основании теоремы о пересечении алгебраических поверхностей порядков n и m [3] цилиндрическая поверхность второго порядка пересекается с торовой поверхностью четвертого порядка в общем случае по пространственной кривой восьмого порядка (2×4=8) (рис. 70, а). При частном взаимном расположении поверхностей линия их пересечения может распадаться на две или более составляющих кривых меньших порядков (рис. 70, б).

Рис. 70

В данной задаче линией пересечения являются две кривые четвертого порядка.

65

Рис. 71

Алгоритм решения

1. Так как поверхность (f, S) — фронтально-проецирующая то первая проекция линии пересечения поверхностей совпадает с вырожденной фронтальной проекцией цилиндрической поверхности (рис. 71, б).

Отметим фронтальную проекцию l1 ≡ 1 ≡ f 1.

2.Горизонтальную проекцию l2 определим по принадлежности линии l поверхности тора - (i, m). Горизонтальная проекция линии l представляет собой две кривые четвертого порядка.

3.Определение видимости.

При проецировании на плоскость 1 видимая и невидимая часть линии l совпадают. Видимость при проецировании на горизонтальную плоскость проекций ограничивает цилиндр.

66

Поэтому видимость линии при проецировании на плоскость проекций 2 определится, например, положением точки A. Точка A принадлежит видимой части цилиндра, следовательно, часть линии l от точки A до контурной линии цилиндрической поверхности — видимая. В поле проекций 2 этот участок отмечен сплошной основной линией.

7.5. Пересечение поверхностей общего положения. Способ вспомогательных концентрических сфер

В качестве первого примера рассмотрим решение задачи на основе способа секущих плоскостей.

Задача

На эпюре Монжа построить проекции линии пересечения конической поверхности (i, t) со сферой (f, h) (рис. 72).

Рис. 72

Вначале определим характер линии пересечения этих поверхностей и ее проекций.

Две поверхности второго порядка пересекаются в общем случае по кривой четвертого порядка. Горизонтальная проекция искомой линии l будет представлять собой кривую четвертого порядка. Фронтальная же проекция будет являться кривой второго

67

порядка на основании следующей теоремы: если две поверхности порядка n и m имеют общую плоскость симметрии, то линия их пересечения прямоугольно проецируется на эту плоскость, или ей параллельную, в кривую порядка (n×m)/2.

Для решения этой задачи в качестве вспомогательных плоскостей используются плоскости уровня, параллельные 2, т. к. одна из проекций линии пересечения такой плоскости с заданными поверхностями представляет собой прямую, а вторая — окружность.

Алгоритм решения

1. Определим проекции точек изменения видимости линии l

(рис. 73, а).

а) Строим проекции точек A и B, используя в качестве вспомогательной плоскости плоскость ( || 1):

-определим проекции линии пересечения плоскости со сферой — окружность f (f1, f2);

-определим проекции линии пересечения плоскости с конической поверхностью вращения — прямая t (t1, t2);

-отметим проекции точек A и B: A1, B1 = t1 f1; A2, B2 2

б) Строим проекции точек С и D , используя в качестве вспомогательной плоскости плоскость уровня ( || 2):

- определим проекции линии пересечения плоскости со сферой — окружность h (h1, h2);

-определим проекции линии пересечения плоскости с конической поверхностью вращения — окружность a (a1, a2);

-отметим проекции точек C и D: C2, D2 = a2 h2; C1, D1 1.

68

в)

Рис. 73

69

2. Определим произвольные общие точки (K и L) заданных фигур, используя в качестве вспомогательной плоскости плоскость уровня ( || 2) (рис. 73, б):

-определим проекции линии пересечения плоскости с конической поверхностью вращения — окружность b (b1, b2);

-определим проекции линии пересечения плоскости со сферой — окружность с (с1, с2);

-отметим проекции точек K и L: K, L = b c; K2, L2 = b2 c2;

K1, L1 1.

Для построения других точек искомой линии l повторим последовательность построений пункта 2 данной задачи.

3. Определим видимость линии l.

При проецировании на плоскость 1 видимая и невидимая часть линии l совпадают, т.к. общая плоскость симметрии поверхностей параллельна фронтальной плоскости проекций.

Видимость при проецировании на горизонтальную плоскость проекций ограничивает сфера. Поэтому видимость линии на 2 определится, например, положением точки A. Точка A принадлежит видимой части сферы, следовательно, часть линии l от точки C до точки D, содержащая точку A — видимая. В поле проекций 2 этот участок (C2, A2, D2) отмечен сплошной основной линией (рис. 73, в).

В качестве второго примера рассмотрим решение задачи на основе способа вспомогательных концентрических сфер.

Способ вспомогательных концентрических сфер

Способ вспомогательных концентрических сфер основан на следующем определении: две соосные поверхности вращения пересекаются по окружностям, плоскости которых перпендикулярны оси вращения ( (i, f) (i, m) = а(а*))

(рис. 74, а).

70