Свойства неопределенного интеграла и его геометрические свойства.
Из определения неопределенного интеграла следует, что:
1. Производная неопределенного интеграла равна подынтегральной функции:
Действительно, F'(x) = f(x) и ʃ f(x) dx = F(x) + C. Тогда
2. Дифференциал от неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению
Действительно,
3. Неопределенный интеграл от производной равен самой функции плюс произвольная постоянная:
Действительно,
F'(x)
= f(x).
Тогда,
4. Неопределенный интеграл от дифференциала равен дифференцируемой функции плюс произвольная постоянная:
.
Действительно,
.
Тогда,
.
5. Постоянный множитель k (k ≠ 0) можно выносить за знак неопределенного интеграла:
6. Неопределенный интеграл от алгебраической суммы конечного числа функции равен алгебраической сумме интегралов от этих функций:
Назовем график первообразной F(x) интегральной кривой. График любой другой первообразной F(x) + C получается параллельным переносом интегральной кривой F(x) вдоль оси OY.
Пример.
Таблица основных интегралов
Основные приемы интегрирования
1. Непосредственное (табличное) интегрирование.
Непосредственное (табличное) интегрирование ‒ это приведение интеграла к табличному виду с помощью основных свойств и формул элементарной математики.
Пример 1.
Решение:
Пример 2.
Решение:
Пример 3.
Решение:
2. Метод подведения под дифференциал.
Пример 1.
Решение:
Пример 2.
Решение:
Пример 3.
Решение:
Пример 4.
Решение:
Пример 5.
Решение:
Пример 6.
Решение:
Пример 7.
Решение:
Пример 8.
Решение:
Пример 9.
Решение:
Пример 10.
Решение:
3. Второй способ подведения под дифференциал.
Пример 1.
Решение:
Пример 2.
Решение:
4. Метод замены переменной (подстановки).
Пример.
Решение:
5. Метод интегрирования по частям.
По этой формуле берутся следующие типы интегралов:
1 тип.
,формула
применяется n‒
раз, остальное dv.
2 тип.
,формула
применяется один раз.
Пример 1.
Решение:
Пример 2.
Решение:
Пример 3.
Решение:
Пример 4.
Решение:
Лекция 9.ИНТЕГРИРОВАНИЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ ДРОБЕЙ.
Рациональной
дробью называется отношение двух
многочленов
‒
степениm
и
‒ степениn,
Возможны следующие случаи:
1.
Если
,
то применяют метод деления углом для
исключения целой части.
2.
Если
и
в знаменателе квадратный трехчлен
,
то применяют метод дополнения до полного
квадрата.
Пример 1.
Решение:
Пример 2.
Решение:
3. Метод неопределенных коэффициентов при разложении правильной рациональной дроби на сумму простейших дробей.
Любую
правильную рациональную дробь
,
где
,
можно представить в виде суммы простейших
дробей:
гдеA, B, C, D, E, F, M, N,… ‒ неопределенные коэффициенты.
Для
нахождения неопределенных коэффициентов
надо правую часть привести к общему
знаменателю. Так как знаменатель
совпадает со знаменателем дроби правой
части, то их можно отбросить и прировнять
числители. Затем, приравнивая коэффициенты
при одинаковых степеняхxв
левой и правой частях, получим систему
линейных уравнений с n‒
неизвестными. Решив эту систему, найдем
искомые коэффициенты A,
B,
C,
D
и так далее. А,следовательно, разложим
правильную рациональную дробь на
простейшие дроби.
Рассмотрим на примерах возможные варианты:
1. Если множители знаменателя линейны и различны:
2. Еслисреди множителей знаменателя есть краткие множители:
3. Если среди множителей знаменателя есть квадратный трехчлен, неразложимый на множители:
Примеры: Разложить на сумму простейших рациональную дробь. Проинтегрировать.
Пример1.
Так как знаменатели дробей равны, то должны быть равны и числители, т. е.
Далее сравниваем коэффициенты при одинаковых степенях xв левой и правой частях. Получаем систему:
значит
поэтому
Пример 2.
Отсюда
Значит
Поэтому
тогда
Пример 3.
Значит
тогда
