- •Мультимедийные лекции
- •Содержание
- •Лекция 1.Множества Элементы теории множеств. Операции над множествами.
- •Операции над множествами.
- •Лекция 2. Функция Понятие функции. Основные свойства функции.
- •Основные элементарные функции и их графики.
- •Лекция 3.Предел последовательности Числовые последовательности. Пределчисловойпоследовательности.
- •Лекция 4.Предел функции Предел функции в точке и в бесконечности. Основные теоремы о пределах.Бесконечно малые и бесконечно большие функции.
- •Бесконечно малые и бесконечно большие функции.
- •Основные теоремы о пределах функций.
- •Лекция 5.Техника вычесления пределов Замечательные приделы.
- •Первый замечательный предел.
- •Техника дифференцирования:
- •Примеры применения производной в экономике.
- •Лекция 7. Приложения производной к исследованию функций и построению графиков. Исследование функции на монотонность (возрастание и убывание функции)
- •Экстремум функции (исследование функции на экстремум)
- •Наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке.
- •Исследование функции на выпуклость и точку перегиба.
- •Асимптоты графика функции. Исследование функции на асимптоты.
- •Общая схема исследования функций и построения графиков.
- •Лекция 8. Первообразная функция. Неопределенный интеграл и его свойства.
- •Свойства неопределенного интеграла и его геометрические свойства.
- •Основные приемы интегрирования
- •Лекция 10.Интегрирование тригонометрических функций.
- •Интегрирование некоторых видов иррациональных функций.
- •Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными.
- •Однородные дифференциальные уравнения первого порядка.
- •Лекция 14.Линейные дифференциальные уравненияпервого порядка.
- •Лекция 15.Дифференциальные уравнения второго порядка, допускающие понижение порядка.
- •Лекция 16.Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.
- •Лекция 17.Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами и правой частью специального вида.
- •Лекция 18. Числовые ряды.Сумма ряда.
- •Эталонные ряды.
- •Признаки сходимости знакоположительных рядов
- •Достаточные признаки
- •Лекция 19. Знакопеременные ряды. Понятие абсолютной и условной сходимости знакопеременого ряда.
- •Лекция 20. Степенные ряды. Область сходимости. Теорема н. Абеля.
- •Свойства степенных рядов
- •Ряд Маклорена. Ряд Тейлора.
Лекция 18. Числовые ряды.Сумма ряда.
Задача суммирования множества слагаемых решается в теории рядов.
где u1,u2,u3…., un…–члены бесконечной числовой последовательности, называется числовым рядом.
Числа u1,u2,u3…., un… называют членами ряда, а un– общий член ряда.
Сумма конечного числа n первых членов ряда называется n–й частичной суммой ряда.
Sn= u1 + u2 +… + un,
т.е. S1= u1; S2= u1+ u2
Sn= u1+ u2+…+ un
Ряд называется сходящимся, если существует конечный предел частичной суммы Snпри n, то есть
Число S называется суммой ряда.
В противном случае:
Тогда ряд называется расходящимся.
Эталонные ряды.
1. Геометрический ряд (геометрическая прогрессия)
.
.
Пример.
2. Гармонический ряд.
3. Обобщенный гармонический ряд.
Пример.
.
Признаки сходимости знакоположительных рядов
Теорема 1. Необходимый признак сходимости.
C помощью этого признака можно установить расходимость ряда.
Пример.
Достаточные признаки
Теорема 1.Признак сравнения рядов.
Пусть даны два знакоположительных ряда:
и
Причем тогда, если ряд (2) сходится, то сходится и ряд (1).
Если ряд (1) расходится, то расходится и ряд (2).
Пример.
Сравним этот ряд с геометрическим рядом:
Сравним ряды:
Следовательно, по признаку сравнения искомый ряд сходится.
Теорема 2. Признак Даламбера.
при
при
при вопрос о сходимости остается открытым.
Пример.Исследовать на сходимость ряд:
по признаку Даламберу ряд сходится.
Теорема 3.Радикальный признак Коши.
1) при
2) при
3) при вопрос о сходимости остается открытым.
Пример: исследовать на сходимость числовой ряд:
Решение:
Следовательно, ряд сходится по Коши.
Теорема 4. Интегральный признак Коши.
Пусть члены ряда
положительны и не возрастают, то есть и являются значениями непрерывной невозрастающей функцииf(x) при x= 1, 2, …, n.
Тогда для сходимости ряда необходимо и достаточно, чтобы сходился несобственный интеграл:
Пример.
Решение:
Следовательно, ряд расходится, так как расходится несобственный интеграл.
Лекция 19. Знакопеременные ряды. Понятие абсолютной и условной сходимости знакопеременого ряда.
Ряд называется знакопеременным, если любой его член может быть, как положительным, так и отрицательным.
Рассмотрим знакочередующиеся ряды:
Теорема 1. Признак Лейбница (достаточный признак).
Если у знакочередующегося ряда
члены убывают по абсолютной величине, то есть и
то ряд сходится, и его сумма не превосходит первого члена, то есть S≤.
Пример.
Решение:
Применим признак Лейбница:
Следовательно, ряд сходится по Лейбницу.
Теорема 2. Достаточный признак сходимости знакопеременного ряда.
Если для знакопеременного ряда сходится ряд, составленный из абсолютных величин его членов , то данный знакопеременный ряд сходится.
Пример: исследовать ряд на сходимость:
Решение:
из абсолютных величин членов исходного ряда сходится, как обобщенный гармонический ряд при .
Следовательно, исходный ряд сходится.
Этот признак является достаточным, но не необходимым, то есть существуют знакопеременные ряды, которые сходятся, хотя ряды, составленные из абсолютных величин, расходятся.
Определение 1. Знакопеременный ряд называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд, составленный из абсолютных величин его членов.
Определение 2.Знакопеременный ряд называется условно сходящимся, если сам рядсходится, а ряд, составленный из абсолютных величин его членов, расходится.
Отличие между ними в том, что абсолютно сходящийся ряд сходится из-за того, что его члены быстро убывают, а условно сходящийся ряд сходится из-за того, что положительные и отрицательные члены уничтожают друг друга.
Пример.
Решение:
Применим признак Лейбница:
Следовательно, ряд сходится по Лейбницу. Но ряд составленный из абсолютных величин его членов расходится, как гармонический.
Значит, исходный ряд сходится условно.