Первый замечательный предел.

Теорема. Предел отношения синуса бесконечно малой дуги к самой дуге, выраженной в радианах, равен единице.

Следствие 1.

Следствие 2.

Пример 1.

Пример 2.

Пример 3.

Пример 4.

Пример 5.

Второй замечательный предел.

–экспонента.

Следствие 1.

Пример 1.

Пример 2.

Неопределенность

Пример 1.

Пример 2.

Квадратный трехчлен. Неопределенность

Пример 1.

Пример 2.

Лекция 6. ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИИ. МЕХАНИЧЕСКИЙ И ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СМЫСЛ ПРОИЗВОДНОЙ.

Производная функции называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента, если приращение аргумента стремится к нулю.

Производная функции в общем виде:

Производная функции в точке x₀:

Операция нахождения производной называется дифференцированием.

Пример 1.

y = C; где С = const

∆y = C – C = 0;

Пример2.

Производная степенной функции:

Механический смысл производной связан с производной от пути.

Производная от пути в некоторый момент времени равняется скорости в этот момент времени.

Sʹ (t₀) = V (t₀) или Sʹ_t = V

Sʹʹ (t₀) = Vʹ (t₀) = a (t₀)

Пример 3.

,

t₀ = 1c,

Решение:

U (t₀ = 1) =

Sʹʹ (t) =

a (t₀ = 1) = Sʹʹ (1) = 2 · 1 + 8 = 10 м/с²

Вывод:

Производная – это скорость изменения функции.

Геометрический смысл производной.

Рис. 1

Значение производной функции y = f (x)в точке равно угловому коэффициенту касательной к графику функции в точке, абсцисса которой равна .

Воспользовавшись уравнением прямой, получим уравнение касательной:

Прямая, перпендикулярная касательной в точке касания, называется нормалью к кривой.

Из условия перпендикулярности двух прямых , получим уравнение нормали. Так как

Тогда уравнение нормали имеет вид:

Пример 4.

Найти уравнение нормали и касательной к параболе.

Решение:

–уравнение касательной.

Теорема. Пусть функции и– дифференцируемы в точкеx. Тогда:

1) Производная суммы (разности) двух функций:

2) Производная произведения двух функций:

3) Производная частного двух функций:

4) Производная от переменной равна единице:

5) Производная сложной функции

Пусть , тогдаявляется сложной функцией переменнойx, а переменную и называют промежуточным аргументом.

Сложная функция– это зависимость двух и более функций друг от друга.

Производная сложной функции находится по формуле:

и

Пример 5.

6) Производная обратной функции

Пусть функция строго монотонна в интервале, тогда для нее существует обратная функция.

Находится по формуле:

Пример 6.

Так как

Аналогично выводятся производные других функций.

7) Производные гиперболических функций.

Гиперболические функции определяются следующими формулами:

Производные гиперболические функции находятся по формулам:

1.

2.

3.

4.

Техника дифференцирования:

Пример 1.

Пример2.

Пример3.

Пример4.

Примеры применения производной в экономике.

Рассмотрим примеры применения производной в экономике.

Задача 1. Зависимость между издержками производства и объемом выпускаемой продукциивыражается функцией(ден.ед.) Определить средние и предельные издержки при объеме продукции 10 единиц.

Решение: Средние издержки (на единицу продукции) выражаются отношением: , при(д.е.) – средние издержки.

Предельные издержки выражаются функцией при 10 ед. получим(д.е) – предельные издержки.

Таким образом, средние издержки на производство единицы продукции составляют 45ден.ед., но предельные издержки (т.е. дополнительные затраты на производство дополнительной единицы продукции при данном уровне производства) составляют 35ден.ед.

Задача 2. Зависимость между себестоимостью единицы продукции (тыс.руб.) и выпуском продукции(млрд.руб.) выражается функцией:. Найти эластичность себестоимости при выпуске продукции, равном 60 млрд.руб.

Решение: По формуле ,

При

То есть при выпуске продукции, равном 60 млрд.руб., увеличение выпуска на1% приводит к снижению себестоимости на 0.6%.

Задача 3. Опытным путем установлены функции спроса и предложения.

,

,

где ‒ цена товара,

‒количество покупаемого товара;

‒количество товара, предлагаемого на продажу в единицу времени.

Найти:

а) равновесную цену (т.е. цену, когда спрос равен предложению);

б) эластичность спроса и предложения для этой цены;

в) изменение спроса при увеличении цены на 5% от равновесной.

Решение:

а) равновесная цена определяется из условия:

; ‒ равновесная цена.

б) эластичность по спросу и предложению

Для равновесной цены;;

Так как ,по абсолютной величине <1, то и спрос, и предложение данного товара при равновесной (рыночной) цене неэластичны относительно цены. Это значит, что изменение цены не приведет к резкому изменению спроса и предложения. Т.е. при увеличении ценына 1% спрос уменьшится на 0,3%, а предложение увеличится на 0,8%.

в) При увеличении цены p на 5% от равновесной спрос уменьшится на , а, следовательно, доход возрастает на 5%‒1,5%=3,5%.