Лекция 7. Приложения производной к исследованию функций и построению графиков. Исследование функции на монотонность (возрастание и убывание функции)

Теорема. Для того чтобы, дифференцируемая в интервале (a, b), функция y = f (x) возрастала (убывала) на интервале (a, b)необходимо и достаточно, чтобы ее производная

f ′(x) ≥ 0 (f ′(x) ≤ 0)для∀ x ∈ (a,b).

Рис. 1 График возрастающей функции

f ′(x) = k_кас = tg α > 0, т. к. α – острый угол.

Рис. 2 График убывающей функции

tgα< 0, т. к. α – тупой угол.

Экстремум функции (исследование функции на экстремум)

Определение. Точка x₀ называется точкой максимума (минимума) функции y = f (x), если существует δ − окрестность точки x₀, такая, что для всех x ≠ x₀ из этой окрестности выполняется неравенство f (x)> f (x₀),

(f (x)< f (x₀)).

Определение. Значение функции в точках максимума (минимума) называют экстремумами функции (ext max, ext min).

Рис. 3

Рис. 4

Теорема (необходимое условие экстремума). Если дифференцируемая функция у = f(х) в точкеимеет экстремум, то ее производная в этой точке равна нулю, то есть

Теорема (достаточное условие экстремума). Если функция у = f (х) дифференцируема в некоторой окрестности критической точки (кроме, быть может, самой точки) и при переходе аргументаx через нее слева направо производная меняет знак с плюса на минус, то‒ точка максимума; еслименяет знак с минуса на плюс, то‒ точка минимума.

Определение. Точки, в которых производнаяравна нулю или не существует, называютсякритическими точками функции.

Пример. Исследовать функцию на монотонность и экстремумы.

Решение:

1) D (y) = R, то есть .

2)

Эти критические точки разбивают всю область определения функции на интервалы: (˗∞; 0), (0; 1) и (1; +∞). Полученные результаты удобно представить в виде следующей таблицы:

x	(˗∞; 0),	0	(0;1)	1	(1;+∞)
	˗	0	˗	0	+
y		нет экстр.		min

Из таблицы видно, что в точке х = 0 нет экстремума, а х = 1 ‒ точка минимума. Минимум этой функции равен:

Иногда бывает удобным использовать другой достаточный признак существования экстремума, основанный на знаке второй производной.

3) y(0) = 5, (0; 5) ˗ точка пересечения с OY.

Наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке.

Пусть функция у = f (х) непрерывна на отрезке [a, b]. Как известно, такая функция на этом отрезке достигает наибольшего и наименьшего значений. Эти значения функция может принять либо во внутренней точке отрезка [a, b], либо на границе отрезка.

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке [a, b] необходимо:

1)найти критические точки функции в интервале (a, b);

2)вычислить значения функции в найденных критических точках;

3) вычислить значения функции на концах отрезка, то есть при x= а и х = b;

4)из всех вычисленных значений функции выбрать наибольшее и наименьшее.

Пример. Найти наибольшее и наименьшее значения функции

на отрезке [0; 3].

Находим критические точки:

Эти точки лежат внутри отрезка [0; 3]; y(1) = 5; y(2) = 4; y(0) = 0; y(3) = 9;

в точке x = 3 и в точкеx = 0.

Исследование функции на выпуклость и точку перегиба.

Функция y = f (x) называется выпуклой вверх на промежутке (a, b), если ее график лежит под касательной, проведенной в любой точке этого промежутка, и называется выпуклой вниз (вогнутой), если ее график лежит над касательной.

Точка, при переходе через которую выпуклость сменяется вогнутостью или наоборот, называется точкой перегиба.

Алгоритм исследования на выпуклость и точку перегиба:

1. Найдеми критические точки второго рода, то есть точки в которых вторая производная равна нулю или не существует.

2. Нанести критические точки на числовую прямую, разбивая ее на промежутки. Найти знак второй производной на каждом промежутке; если , то функция выпукла вверх, если, то функция выпуклая вниз.

3. Если при переходе через критическую точку второго рода поменяет знак и в этой точке вторая производная равна нулю, то эта точка ‒ абсцисса точки перегиба. Найти ее ординату.

Рис.5

Рис. 6