atapin

ПРИМЕР РАСЧЕТА И ОФОРМЛЕНИЯ ЗАДАЧИ

Кривой стержень (динамометр) для замера тяговых усилий имеет форму звена цепи прямоугольного поперечного сечения (рис. 7.3). Исходные данные приведены в таблице.

Материал стержня − кремнистая сталь 50С2, имеющая предел текучести σт = 1200 МПа.

Проверить прочность кривого стержня, приняв коэффициент запаса прочности [n] = 1,6.

Д

Рис. 7.3. Кривой стержень (динамометр)

Решение

Анализ расчетной схемы. Звено цепи представляет собой замкнутый контур, который, как известно, является трижды статически неопределимым. Следовательно, рассматриваемая задача является ста-

144

тически неопределимой и необходимо раскрыть эту неопределимость.

Раскрытие статической неопределимости. Используя свойство симметрии конструкции, разрежем кривой стержень по вертикальной оси симметрии, затем отбросим левую часть и рассмотрим правую (рис. 7.4, а). В местах разреза действуют внутренние силовые

факторы N0 и М0; перерезывающая сила Q0 здесь равна нулю в связи со свойствами симметрии.

Рис. 7.4. Расчетные схемы стержня

Уравнение, выражающее сумму проекций всех сил на горизонтальную ось, имеет вид

−2N0 + F = 0,

откуда

N0 = F/2.

Таким образом, остается только одно неизвестное, а именно изги-

бающий момент M0 в разрезе. Так как половина звена симметрична относительно продольной оси, задачу можно упростить и рассматривать только четверть звена (рис. 7.4, б), загрузив его в сечении А

продольной силой N0 = F/2 и моментом М0.

Обозначая момент как М0 = Х1, запишем каноническое уравнение метода сил в форме

δ11Х1 + ∆1F = 0.

145

Определяем коэффициенты уравнения с помощью интеграла Мора, используя расчетные схемы, приведенные на рис. 7.5. В рассматриваемом стержне основную роль играют изгибные перемещения. Перемещения вследствие растяжения и сдвига малы по сравнению с перемещениями изгиба. Поэтому из шести интегралов Мора берем один – для изгиба:

Рис. 7.5. Расчетные схемы стержня для определения М0 = X1

При вычислении коэффициентов уравнения учитываем, что рассматриваемая часть звена имеет прямолинейный и криволинейный (очерченный по окружности) участки (рис. 7.5):

146

FR2 2

4EI

.

Подставляя найденные значения коэффициентов в каноническое уравнение метода сил, получаем:

Эпюры внутренних силовых факторов. Для представления о на-

пряженном состоянии звена динамометра построим эпюры изгибающих моментов, перерезывающих сил и нормальных (продольных) сил. Составим выражения этих внутренних силовых факторов для криволинейной части звена (см. рис. 7.5):

Исследуем эти выражения, определив их величины в характерных сечениях:

при υ = 0 (точка С)

148

Проверка прочности

Наибольшие нормальные напряжения от центрального растяжения и изгиба в сечениях А и В (см. рис. 7.3) определяются по формуле

В данном случае:

N = F/2 = 100/2 = 50 кН; A= 60·10−3·20·10−3 = 1200·10−6 м2; М = 0,589 кН·м; Wz = bh2/6 = 60·10−3·(20·10−3)2/6 = 4·10−6 м3.

Нормальные напряжения в указанных сечениях достигают максимального значения в наиболее удаленных волокнах прямолинейных участков звена:

с внутренней стороны звена

σmax = 50·10−3/(1200·10−6) + 0,589·10−3/(4·10−6) = = 41,7 + 147,3= 189 МПа,

с наружной стороны

σmin = 41,7 − 147,3 = −105,6 МПа.

Эпюра нормальных напряжений в поперечном сечении стержня показана на рис. 7.7.

Рис. 7.7. Эпюра нормальных напряжений σ (МПа) в сечениях А и В стержня

149

Наиболее напряженным сечением криволинейной части стержня есть сечение D (см. рис. 7.4), в котором приложена внешняя сила F, растягивающая звено. В этом сечении действуют изгибающий момент |Mmax| = 2,41 кН·м и перерезываю-

щая сила |Qmax| = 50 кН, нормальная сила N = 0 (см. рис. 7.6). Нормальные напряжения от изгиба в сечении D определяются по

формуле

Находим величину радиуса кривизны нейтрального слоя кривой части звена (рис.7.8):

где ρ0 = R = 60 мм (см. рис. 7.4).

y1

r0

Центр

тяжести

−664,5 МПа

My

I

Рис. 7.8. Эпюра нормальных напряжений в сечении D криволинейной части стержня

150

Смещение нейтральной линии относительно центра тяжести сечения

е = ρ0 – r0 = 60 – 59,43 = 0,57 мм.

Нормальные напряжения от изгиба в сечении D

Если напряжение в этом сечении вычислять по формуле определения нормальных напряжений в прямом стержне, имеющей вид

MyI ,

то наибольшее напряжение

что на 9,33 % меньше наибольшего напряжения (664,5 МПа), полученного по формуле, применяемой для определения напряжений в кривом стержне.

Таким образом, если использовать формулу для прямого стержня, то найденное по ней нормальное напряжение по сравнению с действительным будет занижено.

Эпюра нормальных напряжений приведена на рис. 7.8.

151