![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •Границя числової послідовності та функції однієї змінної.
- •Тема 1. Числова послідовність та її границя.
- •1. Числова послідовність та способи її задання.
- •Основні способи задання числової послідовності:
- •2. Обмежені та монотонні числові послідовності.
- •3. Границя числової послідовності.
- •Приклад 1
- •Приклад 2
- •4. Нескінченно малі числові послідовності
- •Властивості нескінченно малих послідовностей
- •Приклад 3.
- •Приклад 4.
- •5. Нескінченно великі числові послідовності
- •6. Арифметичні властивості збіжних числових послідовностей.
- •Приклад 5.
- •Приклад 6.
- •Приклад 7.
- •Приклад 8.
- •Приклад 9.
- •Тема 2. Границя функції неперервного аргументу.
- •1. Означення границі функції за Гейне і за Коші.
- •2. Властивості функцій, які мають границю в точці
- •3. Арифметичні властивості границь функції
- •Теореми про граничні переходи.
- •Приклад 1.
- •Приклад 2.
- •4. Границя функції на нескінченності
- •Приклад 3.
- •5. Перша важлива границя
- •Приклад 4.
- •6. Друга важлива границя
- •Приклад 5.
- •7. Порівняння нескінченно малих функцій. Еквівалентні нескінченно малі функції.
- •Приклад 6.
- •Властивості еквівалентних нескінченно малих функцій.
- •Приклад 7.
- •Тема 3. Неперервність функції.
- •1. Односторонні границі функції.
- •Приклад 1.
- •2. Означення неперервності функції в точці і на проміжку.
- •3. Арифметичні дії над неперервними функціями.
- •4. Одностороння неперервність. Точки розриву та їх класифікація.
- •Класифікація точок розриву
- •Приклад 2.
- •Приклад 3.
- •Приклад 4.
- •5. Властивості функцій, неперервних на відрізку.
- •Диференціальне числення функції однієї змінної.
- •Тема 1: Похідна.
- •1. Задачі, які приводять до поняття похідної.
- •Приклад 1.
- •Приклад 2.
- •2. Означення похідної. Спосіб знаходження похідної. Геометричний та механічний зміст похідної. Рівняння дотичної та нормалі до плоскої кривої.
- •Правило знаходження похідної за означенням.
- •Приклад 4.
- •3. Диференційовні функції. Зв’язок неперервності з диференційовністю
- •Приклад 5.
- •4. Таблиця похідних основних елементарних функцій
- •5. Правила диференціювання.
- •Приклад 6.
- •Приклад 7.
- •Приклад 8.
- •Приклад 9.
- •Приклад 1.
- •2. Властивості диференціала. Інваріантність форми диференціала.
- •Приклад 2.
- •3. Застосування диференціала.
- •Приклад 3.
- •4. Похідні та диференціали вищих порядків. Механічний зміст похідної другого порядку.
- •Приклад 4.
- •Приклад 5.
- •Приклад 6.
- •Тема 3. Теореми про середнє. Правила Лопіталя.
- •1. Теорема Ферма.
- •2. Теорема Ролля.
- •Приклад 1.
- •3. Теорема Лагранжа.
- •Приклад 2.
- •Приклад 3.
- •Приклад 1.
- •2. Локальний екстремум функції.
- •З’ясуємо умови існування локального екстремуму.
- •Приклад 2.
- •Приклад 3.
- •Приклад 4.
- •3. Найбільше і найменше значення функції.
- •Приклад 5.
- •Приклад 6.
- •4. Опуклість і вгнутість кривих. Точки перегину.
- •Приклад 7.
- •5. Асимптоти кривої.
- •Приклад 8.
- •6. Схема дослідження функції та побудова її графіка.
- •Приклад 9.
- •Інтегральне числення функції однієї змінної
- •Тема 1. Невизначений інтеграл
- •Поняття первісної та невизначеного інтегралу
- •Приклад 1.
- •Властивості невизначеного інтеграла (ні).
- •4. Основні методи інтегрування
- •4.1. Метод безпосереднього інтегрування (мбі)
- •Приклад 2.
- •4.2. Метод заміни змінної (мзз)
- •Приклад 3.
- •4.3. Метод інтегрування частинами (міч)
- •Приклад 4.
- •Цей метод використовують під час обчислення інтегралів виду
- •Приклад 5.
- •Загальне правило інтегрування раціональних дробів.
- •Приклад 6.
- •Він зводиться до інтеграла від раціональної функції підстановкою . Приклад 7.
- •Обчислити
- •Обчислити
- •Обчислити
- •Обчислити
- •4.6. Біноміальний диференціал
- •Приклад 8.
- •4.7. Інтегрування тригонометричних функцій
- •Приклад 10.
- •Поняття визначеного інтеграла.
- •2. Властивості визначеного інтеграла.
- •4. Теорема Ньютона-Лейбніца (н-л)
- •Приклад 1.
- •5. Методи знаходження ві.
- •5.1. Метод безпосереднього інтегрування
- •Приклад 2.
- •5. 2. Метод заміни змінної
- •Приклад 3.
- •Приклад 4.
- •5.3. Метод інтегрування частинами
- •Приклад 5.
- •Приклад 6.
- •Формули зведення. Формула інтегрування частинами
- •Приклад 7.
- •Приклад 2.
- •Приклад 3.
- •Площа криволінійного сектора
- •Приклад 4.
- •3. Обчислення довжини дуги
- •Приклад 5.
- •Приклад 6.
- •Обчислення тиску рідини на вертикальну пластину
- •9. Невласні інтеграли із нескінченним проміжком інтегрування
- •Приклад 10.
- •Приклад 11.
- •Обчислення невласних інтегралів від розривних (необмежених) функцій
- •Приклад 12.
7. Порівняння нескінченно малих функцій. Еквівалентні нескінченно малі функції.
Означення
2.8. Функція
α(x)
називається нескінченно
малою
при х→х0,
якщо для довільного ε>0
існує δ(ε)>0
(М>0), що для
всіх х
таких, що
(|x|>M),
виконується нерівність |α(x)|<ε.
Означення
2.9. Функція
f(x)
називається нескінченно
великою
при х→∞,
якщо для довільного М>0
існує таке число
N=N(М)>0, що
для всіх х
таких, що
(|x|>M),
виконується нерівність |f(x)|>M.
Дві
нескінченно малі функції порівнюють
між собою за допомогою дослідження
їхнього відношення. Нехай α1(х)
та α2(х)
нескінченно малі функції при х→х0,
тобто
та
.
Введемо такі означення 2.10:
1)
функції α1(х)
та α2(х)
називають нескінченно
малими одного порядку
при х→х0,
якщо
;
2)
функції α1(х)
називають нескінченно
малою вищого порядку,
ніж α2(х)
при х→х0,
якщо
;
3)
функції α1(х)
називають нескінченно
малою нижчого порядку, ніж
α2(х)
при х→х0,
якщо
;
4)
функції α1(х)
називають нескінченно
малою к-го порядку
відносно α2(х)
при х→х0,
якщо
;
5) нескінченно малі функції α1(х) та α2(х) називають непорівнянними при х→х0, якщо в точці х0 не існує границі їхнього відношення.
Аналогічно порівнюються нескінченно великі величини.
Приклад 6.
Порівняти нескінченно малі величини при х→0:
а) α1(х)=х та α2(х)=sin5x в) α1(х)=1-cos4х та α2(х)= x
б) α1(х)=х2 та α2(х)=tgx г) α1(х)=х та α2(х)=x sin(1\x)
Розв'язання.
Знаходимо границю відношення нескінченно малих величин
а)
,
томуα1(х)
та α2(х)
нескінченно малі одного порядку.
б)
,
томуα1(х)
нескінченно мала вищого порядку, ніж
α2(х).
в)
томуα1(х)
є нескінченно малою 2-го порядку.
г)
не існує, томуα1(х)
та α2(х)
є непорівнянними.
Означення
2.11. Функції
α1(х)
та α2(х)
- нескінченно малі функції при х→х0
називають еквівалентними
нескінченно малими,
якщо
,
позначаютьα1(х)
~ α2(х).
Властивості еквівалентних нескінченно малих функцій.
Теорема 2.9. Нескінченно малі функції α1(х) та α2(х) еквівалентні при х→х0 тоді і тільки тоді, коли різниця α1(х)-α2(х) є нескінченно малою вищого порядку, ніж кожна з функцій α1(х) та α2(х).
Доведення.
Необхідність.
Нехай α1(х)
та α2(х)
еквівалентні при х→х0,
тобто
,
тоді
Аналогічно
.
Отжеα1(х)-α2(х)
є нескінченно малою вищого порядку, ніж
кожна з функцій
α1(х)
та α2(х).
Достатність.
Нехай α1(х)-α2(х)
є нескінченно малою вищого порядку, ніж
кожна з функцій
α1(х)
та α2(х),
тобто
.
Якщо
,
то
звідки
,
тобтоα1(х)
та α2(х)
еквівалентні при х→х0
. Якщо
,
то
звідки
,
тобтоα1(х)
та α2(х)
еквівалентні при х→х0
. Що й
треба було довести.
Теорема
2.10. Нехай
α1(х)
та α1'(х),
α2(х)
та α'2(х)
еквівалентні при х→х0
. Якщо
існує
,
то існує й
,
які рівні між собою.
Доведення. Маємо:
Що й треба було довести.
Ця теорема дає змогу при знаходженні границі відношення двох заданих нескінченно малих функцій кожну з них (або тільки одну) заміняти іншою нескінченно малою, яка еквівалентна заданій. Справедливим є такі еквівалентності:
якщо
х→0, то
,
.
Теорема 2.11. Сума скінченого числа нескінченно малих функцій різних порядків еквівалентна доданку нижчого порядку.
Доведення.
Доведемо
для двох функцій.
α1(х)→0
та α2(х)→0
при х→х0
, причому
α1(х)
нескінченно мала функція вищого порядку,
ніж α2(х)
при х→х0,
тобто
,
тоді
,
отже,α1(х)+α2(х)~α2(х),
х→х0 .
Що й треба
було довести.