![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •Границя числової послідовності та функції однієї змінної.
- •Тема 1. Числова послідовність та її границя.
- •1. Числова послідовність та способи її задання.
- •Основні способи задання числової послідовності:
- •2. Обмежені та монотонні числові послідовності.
- •3. Границя числової послідовності.
- •Приклад 1
- •Приклад 2
- •4. Нескінченно малі числові послідовності
- •Властивості нескінченно малих послідовностей
- •Приклад 3.
- •Приклад 4.
- •5. Нескінченно великі числові послідовності
- •6. Арифметичні властивості збіжних числових послідовностей.
- •Приклад 5.
- •Приклад 6.
- •Приклад 7.
- •Приклад 8.
- •Приклад 9.
- •Тема 2. Границя функції неперервного аргументу.
- •1. Означення границі функції за Гейне і за Коші.
- •2. Властивості функцій, які мають границю в точці
- •3. Арифметичні властивості границь функції
- •Теореми про граничні переходи.
- •Приклад 1.
- •Приклад 2.
- •4. Границя функції на нескінченності
- •Приклад 3.
- •5. Перша важлива границя
- •Приклад 4.
- •6. Друга важлива границя
- •Приклад 5.
- •7. Порівняння нескінченно малих функцій. Еквівалентні нескінченно малі функції.
- •Приклад 6.
- •Властивості еквівалентних нескінченно малих функцій.
- •Приклад 7.
- •Тема 3. Неперервність функції.
- •1. Односторонні границі функції.
- •Приклад 1.
- •2. Означення неперервності функції в точці і на проміжку.
- •3. Арифметичні дії над неперервними функціями.
- •4. Одностороння неперервність. Точки розриву та їх класифікація.
- •Класифікація точок розриву
- •Приклад 2.
- •Приклад 3.
- •Приклад 4.
- •5. Властивості функцій, неперервних на відрізку.
- •Диференціальне числення функції однієї змінної.
- •Тема 1: Похідна.
- •1. Задачі, які приводять до поняття похідної.
- •Приклад 1.
- •Приклад 2.
- •2. Означення похідної. Спосіб знаходження похідної. Геометричний та механічний зміст похідної. Рівняння дотичної та нормалі до плоскої кривої.
- •Правило знаходження похідної за означенням.
- •Приклад 4.
- •3. Диференційовні функції. Зв’язок неперервності з диференційовністю
- •Приклад 5.
- •4. Таблиця похідних основних елементарних функцій
- •5. Правила диференціювання.
- •Приклад 6.
- •Приклад 7.
- •Приклад 8.
- •Приклад 9.
- •Приклад 1.
- •2. Властивості диференціала. Інваріантність форми диференціала.
- •Приклад 2.
- •3. Застосування диференціала.
- •Приклад 3.
- •4. Похідні та диференціали вищих порядків. Механічний зміст похідної другого порядку.
- •Приклад 4.
- •Приклад 5.
- •Приклад 6.
- •Тема 3. Теореми про середнє. Правила Лопіталя.
- •1. Теорема Ферма.
- •2. Теорема Ролля.
- •Приклад 1.
- •3. Теорема Лагранжа.
- •Приклад 2.
- •Приклад 3.
- •Приклад 1.
- •2. Локальний екстремум функції.
- •З’ясуємо умови існування локального екстремуму.
- •Приклад 2.
- •Приклад 3.
- •Приклад 4.
- •3. Найбільше і найменше значення функції.
- •Приклад 5.
- •Приклад 6.
- •4. Опуклість і вгнутість кривих. Точки перегину.
- •Приклад 7.
- •5. Асимптоти кривої.
- •Приклад 8.
- •6. Схема дослідження функції та побудова її графіка.
- •Приклад 9.
- •Інтегральне числення функції однієї змінної
- •Тема 1. Невизначений інтеграл
- •Поняття первісної та невизначеного інтегралу
- •Приклад 1.
- •Властивості невизначеного інтеграла (ні).
- •4. Основні методи інтегрування
- •4.1. Метод безпосереднього інтегрування (мбі)
- •Приклад 2.
- •4.2. Метод заміни змінної (мзз)
- •Приклад 3.
- •4.3. Метод інтегрування частинами (міч)
- •Приклад 4.
- •Цей метод використовують під час обчислення інтегралів виду
- •Приклад 5.
- •Загальне правило інтегрування раціональних дробів.
- •Приклад 6.
- •Він зводиться до інтеграла від раціональної функції підстановкою . Приклад 7.
- •Обчислити
- •Обчислити
- •Обчислити
- •Обчислити
- •4.6. Біноміальний диференціал
- •Приклад 8.
- •4.7. Інтегрування тригонометричних функцій
- •Приклад 10.
- •Поняття визначеного інтеграла.
- •2. Властивості визначеного інтеграла.
- •4. Теорема Ньютона-Лейбніца (н-л)
- •Приклад 1.
- •5. Методи знаходження ві.
- •5.1. Метод безпосереднього інтегрування
- •Приклад 2.
- •5. 2. Метод заміни змінної
- •Приклад 3.
- •Приклад 4.
- •5.3. Метод інтегрування частинами
- •Приклад 5.
- •Приклад 6.
- •Формули зведення. Формула інтегрування частинами
- •Приклад 7.
- •Приклад 2.
- •Приклад 3.
- •Площа криволінійного сектора
- •Приклад 4.
- •3. Обчислення довжини дуги
- •Приклад 5.
- •Приклад 6.
- •Обчислення тиску рідини на вертикальну пластину
- •9. Невласні інтеграли із нескінченним проміжком інтегрування
- •Приклад 10.
- •Приклад 11.
- •Обчислення невласних інтегралів від розривних (необмежених) функцій
- •Приклад 12.
2. Властивості функцій, які мають границю в точці
Теорема
2.1. Якщо
функція
має границю в точціх0,
то ця границя єдина.
Теорема
2.2. (про
граничний перехід у нерівностях).
Якщо в деякому околі точки х0,
крім, можливо, самої точки
х0,
виконується нерівність f(x)≥0
і існує границя,
тоВ≥0.
Доведення.
Припустимо, що В<0,
тоді при
маємо
,
тому
,
тобто
,
що суперечить умові. Теорема доведена.
Наслідок.
Якщо в деякому околі точки х0,
крім, можливо, самої точки
х0,
виконується нерівністьі функції
,
мають скінченні границі в точціх0,
тоді
.
Теорема
2.3. (про
границю проміжної функції).
Нехай функції
,
,
визначені в околі Х точких0,
крім, можливо, самої точки
х0,
і
(2.1)
та виконується нерівність
.
Тоді
має границю в точціх0
і ця границя дорівнює числу
А.
Доведення.
З рівності (2.1) випливає, що для довільного
ε>0
існують два околи точки х0,
в одному з яких виконуються нерівності
,
а в другому:
.
З (2.2) знаходимо, що
,
тому в меншому з околів виконуються
нерівності
.
Звідси
,
тобто
.
Що й треба було довести.
Теорема
2.4. (про
границю монотонної функції).
Якщо функціямонотонна і обмежена приx<x0
або при x>x0,
то існує відповідно її ліва границя
або її права границя
.
3. Арифметичні властивості границь функції
Теорема
2.5. Границя
сталої функції в будь-якій точці дорівнює
сталій:
Теорема
2.6. Нехай
функції
і
мають скінчену границю в точціх0,
тоді
,
,
,
теж мають скінчену границю в точціх0
і виконуються рівності:
при
Доведення.
Нехай
,
тоді затеоремою
1.3. маємо
f(x)=А+α1(x),
g(x)=В+
α2(x),
де
α1(x)→0,
α1(x)→0
при х→х0.
Звідси маємо:
За властивостями нескінченно малих величин вирази у квадратних дужках є нескінченно малими при х→х0:
,
,
,
тому застосувавши до останніх трьох рівностей теорему 1.3., отримаємо те, що треба було довести.
Наслідки:
1)- сталий множник можна виносити за знак
границі.
2.
,
Теореми про граничні переходи.
1.
Якщо число а>0, а функція f(х) має скінчену
границю при х→х0,
то має місце формула
2.
Якщо число а>0, а функція f(х) приймає
лише додатні значення і має границю при
х→х0,
що не дорівнює нулю, то має місце формула:
,
тобто можна переходити до границі під
знак логарифма.
3.
Якщо функція f(х) має скінчену границю
при х→х0,
то має місце формула:
,
тобто можна переходити до границі під
знак кореня (у випадку парного числа т
припускають, що f(х)>0 і корінь шукається
арифметичний).
4.
Якщо існують границі
,
причому
,
то існує границя
,
яка обчислюється за формулою:
Правило.
Границя цілої
раціональної функції в заданій точці
х0
дорівнює значенню цієї функції в цій
точці, тобто, якщо F(х) = аnхn
+ аn-1xn-1
+ … + а1x+a0,
то
Наприклад:
1)
2)
В результаті підстановки граничного значення аргумента, може виникнути невизначенності таких видів:
1)
відношення двох нескінченно великих
величин – ();
2)
різниця двох нескінченно великих величин
– ();
3)
добуток нескінченно малої функції на
нескінченно велику – ();
4)
відношення двох нескінченно малих
величин -
;
5) невизначеність виду 00, ∞0, 1∞.
Правило. При обчисленні границі дробово-раціональної функції необхідно в аналітичний вираз функції замість аргумента підставити його граничне значення, якщо при цьому знаменник не перетвориться на нуль.
Правило
(розкриття
).
Для того щоб
обчислити границю дробово-раціональної
функції у випадку, коли при х→х0
чисельник та знаменник дробу мають
границі, що дорівнюють нулю, необхідно
чисельник та знаменник дробу розділити
на (х - х0)
та перейти до границі.
Якщо і після цього чисельник та знаменник нового дробу мають границі рівні нулю при х→ х0, то необхідно виконати повторне ділення на (х – х0) (це правило спирається на наслідок з теореми Безу).