![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •Границя числової послідовності та функції однієї змінної.
- •Тема 1. Числова послідовність та її границя.
- •1. Числова послідовність та способи її задання.
- •Основні способи задання числової послідовності:
- •2. Обмежені та монотонні числові послідовності.
- •3. Границя числової послідовності.
- •Приклад 1
- •Приклад 2
- •4. Нескінченно малі числові послідовності
- •Властивості нескінченно малих послідовностей
- •Приклад 3.
- •Приклад 4.
- •5. Нескінченно великі числові послідовності
- •6. Арифметичні властивості збіжних числових послідовностей.
- •Приклад 5.
- •Приклад 6.
- •Приклад 7.
- •Приклад 8.
- •Приклад 9.
- •Тема 2. Границя функції неперервного аргументу.
- •1. Означення границі функції за Гейне і за Коші.
- •2. Властивості функцій, які мають границю в точці
- •3. Арифметичні властивості границь функції
- •Теореми про граничні переходи.
- •Приклад 1.
- •Приклад 2.
- •4. Границя функції на нескінченності
- •Приклад 3.
- •5. Перша важлива границя
- •Приклад 4.
- •6. Друга важлива границя
- •Приклад 5.
- •7. Порівняння нескінченно малих функцій. Еквівалентні нескінченно малі функції.
- •Приклад 6.
- •Властивості еквівалентних нескінченно малих функцій.
- •Приклад 7.
- •Тема 3. Неперервність функції.
- •1. Односторонні границі функції.
- •Приклад 1.
- •2. Означення неперервності функції в точці і на проміжку.
- •3. Арифметичні дії над неперервними функціями.
- •4. Одностороння неперервність. Точки розриву та їх класифікація.
- •Класифікація точок розриву
- •Приклад 2.
- •Приклад 3.
- •Приклад 4.
- •5. Властивості функцій, неперервних на відрізку.
- •Диференціальне числення функції однієї змінної.
- •Тема 1: Похідна.
- •1. Задачі, які приводять до поняття похідної.
- •Приклад 1.
- •Приклад 2.
- •2. Означення похідної. Спосіб знаходження похідної. Геометричний та механічний зміст похідної. Рівняння дотичної та нормалі до плоскої кривої.
- •Правило знаходження похідної за означенням.
- •Приклад 4.
- •3. Диференційовні функції. Зв’язок неперервності з диференційовністю
- •Приклад 5.
- •4. Таблиця похідних основних елементарних функцій
- •5. Правила диференціювання.
- •Приклад 6.
- •Приклад 7.
- •Приклад 8.
- •Приклад 9.
- •Приклад 1.
- •2. Властивості диференціала. Інваріантність форми диференціала.
- •Приклад 2.
- •3. Застосування диференціала.
- •Приклад 3.
- •4. Похідні та диференціали вищих порядків. Механічний зміст похідної другого порядку.
- •Приклад 4.
- •Приклад 5.
- •Приклад 6.
- •Тема 3. Теореми про середнє. Правила Лопіталя.
- •1. Теорема Ферма.
- •2. Теорема Ролля.
- •Приклад 1.
- •3. Теорема Лагранжа.
- •Приклад 2.
- •Приклад 3.
- •Приклад 1.
- •2. Локальний екстремум функції.
- •З’ясуємо умови існування локального екстремуму.
- •Приклад 2.
- •Приклад 3.
- •Приклад 4.
- •3. Найбільше і найменше значення функції.
- •Приклад 5.
- •Приклад 6.
- •4. Опуклість і вгнутість кривих. Точки перегину.
- •Приклад 7.
- •5. Асимптоти кривої.
- •Приклад 8.
- •6. Схема дослідження функції та побудова її графіка.
- •Приклад 9.
- •Інтегральне числення функції однієї змінної
- •Тема 1. Невизначений інтеграл
- •Поняття первісної та невизначеного інтегралу
- •Приклад 1.
- •Властивості невизначеного інтеграла (ні).
- •4. Основні методи інтегрування
- •4.1. Метод безпосереднього інтегрування (мбі)
- •Приклад 2.
- •4.2. Метод заміни змінної (мзз)
- •Приклад 3.
- •4.3. Метод інтегрування частинами (міч)
- •Приклад 4.
- •Цей метод використовують під час обчислення інтегралів виду
- •Приклад 5.
- •Загальне правило інтегрування раціональних дробів.
- •Приклад 6.
- •Він зводиться до інтеграла від раціональної функції підстановкою . Приклад 7.
- •Обчислити
- •Обчислити
- •Обчислити
- •Обчислити
- •4.6. Біноміальний диференціал
- •Приклад 8.
- •4.7. Інтегрування тригонометричних функцій
- •Приклад 10.
- •Поняття визначеного інтеграла.
- •2. Властивості визначеного інтеграла.
- •4. Теорема Ньютона-Лейбніца (н-л)
- •Приклад 1.
- •5. Методи знаходження ві.
- •5.1. Метод безпосереднього інтегрування
- •Приклад 2.
- •5. 2. Метод заміни змінної
- •Приклад 3.
- •Приклад 4.
- •5.3. Метод інтегрування частинами
- •Приклад 5.
- •Приклад 6.
- •Формули зведення. Формула інтегрування частинами
- •Приклад 7.
- •Приклад 2.
- •Приклад 3.
- •Площа криволінійного сектора
- •Приклад 4.
- •3. Обчислення довжини дуги
- •Приклад 5.
- •Приклад 6.
- •Обчислення тиску рідини на вертикальну пластину
- •9. Невласні інтеграли із нескінченним проміжком інтегрування
- •Приклад 10.
- •Приклад 11.
- •Обчислення невласних інтегралів від розривних (необмежених) функцій
- •Приклад 12.
1. Задачі, які приводять до поняття похідної.
а)
Задача про
швидкість руху.
Нехай матеріальна точка рухається
нерівномірно вздовж деякої прямої
(рис.8) і за час t
проходить відстань S,
що дорівнює відрізку ОМ.
Відстань рухомої точки є деякою функцією
часу:
.Треба знайти
величину миттєвої швидкості руху точки
М.
Нехай з моменту t
пройшов
деякий час ∆t.
За час ∆
t рухома
точка перейде в положення М1
і пройде шлях, який позначимо через ∆S.
Отже, за час
t+∆t
матеріальна
точка пройде шлях S+∆S=S(t+∆t),
тому
.
Середньою
швидкістю vc
руху точки за проміжок часу ∆t
називають відношення приросту шляху
до приросту часу: vc=.
Зрозуміло,
що чим менший проміжок ∆t
часу після
t
пройшов, тим точніше середня швидкість
відображає швидкість руху точки у даний
момент часу (миттєву швидкість). Тому
миттєвою
швидкістю руху точки називають
границю середньої швидкості за умови,
що ∆t
0:v=
(1.1)
Приклад 1.
Закон руху точки виражається формулою S=t2+4t. Знайти середню швидкість руху на проміжку часу від t0=1 с до t1=3 с та миттєву швидкість в момент часу t0=1 с.
Розв'язання.
Знайдемо
приріст шляху ∆S
за проміжок
часу ∆t:
=(t+∆t)2+4(t+∆t)-
-( t2+4t)=t2+2t∆t+∆t2+4t+4∆t-t2-4t=2t∆t+4∆t+∆t2=(2t+4)∆t+∆t2.
Середня
швидкість за час ∆t
vc=
==2t+4+∆t.
Проміжок
часу ∆t=3-1=2
с, тому vc=2·1+4+2=8
м/с. Знайдемо миттєву швидкість у
будь-який момент часу t:
v=
=2t+4.
Зокрема, для t0=1
с маємо v=2·1+4=5
м/с.
б)Задача про
дотичну до плоскої кривої. Розглянемо
криву L
і на ній точки М
та М0.
Пряма, яка перетинає лінією у цих двох
точках називається січною. На рисунку
9
-січна.
Нехай точкаМ,
рухаючись по кривій, наближається до
точки М0.
Тоді січна
повертатиметься
навколо точкиМ0,
а довжина відрізка
прямуватиме
до нуля. Якщо при цьому і
величина кута ММ0Т прямує до нуля, то пряму М0Т називають граничним положенням січної ММ0. Пряму М0Т, яка є граничним положенням січної ММ0, називають дотичною до кривої L в точці М0.
Розглянемо
випадок, коли крива в прямокутній системі
координат задана рівнянням
,х є Х,
-
неперервна на множиніХ,
має в точці М(х;у)
не вертикальну дотичну. Розглянемо
задачу про знаходження кутового
коефіцієнта цієї дотичної. Нехай х0
є Х. Надамо
аргументу х0
приросту
х.
Тоді точка М(х0+
х;
f(х0+
х)).
Проведемо січну М0М,
яка утворює з додатним напрямом осі Ох
кут β (рис.10).
З графіка видно, що
tg
β=.
Якщо
х
0,
то точка М
прямує до
точки М0
вздовж кривої
,
а січнаММ0,
повертаючись навколо точки М,
переходить в дотичну М0Т.
Кут β при
цьому прямує до деякого граничного
значення σ. Отже, кутовий коефіцієнт
дотичної дорівнює tgσ=
(1.2)
Приклад 2.
Знайти кутовий коефіцієнт дотичної до графіка функції f(x)=x2-3x+4 у точці з абсцисою х0=1.
Розв’язання.
Знайдемо
приріст функції в точці х0=1.
f(x0)=
f(1)=f(1+
x)-f(1)=(1+
x)2-3(1+
x)+4–(12-3+4)=1+2
x+
x2-3-3
x+4-2=
x2-
x=
x(
x-1).
Тоді кутовий коефіцієнт дотичної
дорівнює tgσ=
.
Пропонуємо самостійно розглянути задачі про силу струму, про густину неоднорідного стержня та інші.
Незважаючи на різний зміст розглянутих задач, всі вони приводять до знаходження границь одного і того самого виду – границі відношення приросту функції до приросту аргументу. Цю границю в математиці називають похідною функції.