- •Границя числової послідовності та функції однієї змінної.
- •Тема 1. Числова послідовність та її границя.
- •1. Числова послідовність та способи її задання.
- •Основні способи задання числової послідовності:
- •2. Обмежені та монотонні числові послідовності.
- •3. Границя числової послідовності.
- •Приклад 1
- •Приклад 2
- •4. Нескінченно малі числові послідовності
- •Властивості нескінченно малих послідовностей
- •Приклад 3.
- •Приклад 4.
- •5. Нескінченно великі числові послідовності
- •6. Арифметичні властивості збіжних числових послідовностей.
- •Приклад 5.
- •Приклад 6.
- •Приклад 7.
- •Приклад 8.
- •Приклад 9.
- •Тема 2. Границя функції неперервного аргументу.
- •1. Означення границі функції за Гейне і за Коші.
- •2. Властивості функцій, які мають границю в точці
- •3. Арифметичні властивості границь функції
- •Теореми про граничні переходи.
- •Приклад 1.
- •Приклад 2.
- •4. Границя функції на нескінченності
- •Приклад 3.
- •5. Перша важлива границя
- •Приклад 4.
- •6. Друга важлива границя
- •Приклад 5.
- •7. Порівняння нескінченно малих функцій. Еквівалентні нескінченно малі функції.
- •Приклад 6.
- •Властивості еквівалентних нескінченно малих функцій.
- •Приклад 7.
- •Тема 3. Неперервність функції.
- •1. Односторонні границі функції.
- •Приклад 1.
- •2. Означення неперервності функції в точці і на проміжку.
- •3. Арифметичні дії над неперервними функціями.
- •4. Одностороння неперервність. Точки розриву та їх класифікація.
- •Класифікація точок розриву
- •Приклад 2.
- •Приклад 3.
- •Приклад 4.
- •5. Властивості функцій, неперервних на відрізку.
- •Диференціальне числення функції однієї змінної.
- •Тема 1: Похідна.
- •1. Задачі, які приводять до поняття похідної.
- •Приклад 1.
- •Приклад 2.
- •2. Означення похідної. Спосіб знаходження похідної. Геометричний та механічний зміст похідної. Рівняння дотичної та нормалі до плоскої кривої.
- •Правило знаходження похідної за означенням.
- •Приклад 4.
- •3. Диференційовні функції. Зв’язок неперервності з диференційовністю
- •Приклад 5.
- •4. Таблиця похідних основних елементарних функцій
- •5. Правила диференціювання.
- •Приклад 6.
- •Приклад 7.
- •Приклад 8.
- •Приклад 9.
- •Приклад 1.
- •2. Властивості диференціала. Інваріантність форми диференціала.
- •Приклад 2.
- •3. Застосування диференціала.
- •Приклад 3.
- •4. Похідні та диференціали вищих порядків. Механічний зміст похідної другого порядку.
- •Приклад 4.
- •Приклад 5.
- •Приклад 6.
- •Тема 3. Теореми про середнє. Правила Лопіталя.
- •1. Теорема Ферма.
- •2. Теорема Ролля.
- •Приклад 1.
- •3. Теорема Лагранжа.
- •Приклад 2.
- •Приклад 3.
- •Приклад 1.
- •2. Локальний екстремум функції.
- •З’ясуємо умови існування локального екстремуму.
- •Приклад 2.
- •Приклад 3.
- •Приклад 4.
- •3. Найбільше і найменше значення функції.
- •Приклад 5.
- •Приклад 6.
- •4. Опуклість і вгнутість кривих. Точки перегину.
- •Приклад 7.
- •5. Асимптоти кривої.
- •Приклад 8.
- •6. Схема дослідження функції та побудова її графіка.
- •Приклад 9.
- •Інтегральне числення функції однієї змінної
- •Тема 1. Невизначений інтеграл
- •Поняття первісної та невизначеного інтегралу
- •Приклад 1.
- •Властивості невизначеного інтеграла (ні).
- •4. Основні методи інтегрування
- •4.1. Метод безпосереднього інтегрування (мбі)
- •Приклад 2.
- •4.2. Метод заміни змінної (мзз)
- •Приклад 3.
- •4.3. Метод інтегрування частинами (міч)
- •Приклад 4.
- •Цей метод використовують під час обчислення інтегралів виду
- •Приклад 5.
- •Загальне правило інтегрування раціональних дробів.
- •Приклад 6.
- •Він зводиться до інтеграла від раціональної функції підстановкою . Приклад 7.
- •Обчислити
- •Обчислити
- •Обчислити
- •Обчислити
- •4.6. Біноміальний диференціал
- •Приклад 8.
- •4.7. Інтегрування тригонометричних функцій
- •Приклад 10.
- •Поняття визначеного інтеграла.
- •2. Властивості визначеного інтеграла.
- •4. Теорема Ньютона-Лейбніца (н-л)
- •Приклад 1.
- •5. Методи знаходження ві.
- •5.1. Метод безпосереднього інтегрування
- •Приклад 2.
- •5. 2. Метод заміни змінної
- •Приклад 3.
- •Приклад 4.
- •5.3. Метод інтегрування частинами
- •Приклад 5.
- •Приклад 6.
- •Формули зведення. Формула інтегрування частинами
- •Приклад 7.
- •Приклад 2.
- •Приклад 3.
- •Площа криволінійного сектора
- •Приклад 4.
- •3. Обчислення довжини дуги
- •Приклад 5.
- •Приклад 6.
- •Обчислення тиску рідини на вертикальну пластину
- •9. Невласні інтеграли із нескінченним проміжком інтегрування
- •Приклад 10.
- •Приклад 11.
- •Обчислення невласних інтегралів від розривних (необмежених) функцій
- •Приклад 12.
Приклад 5.
Записати дріб у вигляді суми елементарних раціональних дробів: .
Розв’язання.
; ;.
Загальне правило інтегрування раціональних дробів.
Якщо дріб неправильний, то виділити цілу частину.
Розкласти знаменник правильного раціонального дробу на лінійні множники та квадратні з дискримінантом меншим нуля.
Замінити раціональний дріб сумою елементарних раціональних з невизначеними коефіцієнтами (використовуючи метод невизначених коефіцієнтів знаходимо невідомі числа)
Обчислюємо інтеграли від раціонального дробу як суму інтегралів.
Приклад 6.
Знайти інтеграл а) б)
Розв’язання.
а)
1) –правильний дріб
2)
3)
4)
б)
1)
2)
3)
, ,
4)
Інтегрування в скінченому вигляді.
Не завжди на відміну від похідної інтеграл від елементарної функції може бути виражений у вигляді елементарних функцій.
Наприклад:
- через елементарні функції виразити не можливо.
Метод інтегрування ірраціональних виразів (МІІВ)
Цей метод використовується для обчислення інтегралів виду
І. ,
де - дробові раціональні числа, а- раціональна функція від аргументів(іншими словами- це ірраціональні функції).Для розв’язання використовують підстановку , - найменше спільне кратне знаменників дробів.
ІІ.
інтеграл обчислюють за допомогою підстановки .
ІІІ.
Він зводиться до інтеграла від раціональної функції підстановкою . Приклад 7.
Знайти інтеграли
а) ; б); в).
Розв’язання.
а) Подамо інтеграл
у вигляді
. Розглянемо останній інтеграл і знайдемо найменше кратне знаменників дробів
та - є число 6=п.
Використаємо підстановку , тоді,, тому
, ,
Одержимо =
використаємо ділення кутом, отримаємо
Виділимо цілу частину дробу, одержимо
Таким чином отримаємо
=
б) Для інтеграла використаємо заміну:
, ,,,
, .
Одержимо
в) Нехай маємо . Застосуємо підстановку:
Знайдемо х і , до множимо на знаменник, згрупувавши і винісши за дужких, отримаємо , звідки
,
тому
.
Тоді виконуючи підстановку, одержимо
Інтегруємо частинами
.
Враховуючи, що перед інтегралом стоїть стала -4, отримаємо відповідь
.
Запишемо додаткові види приклади, які значно полегшать обчислення інтегралів на практиці.
І.
Обчислити
.
ІІ. .
Обчислити
.
ІІІ.
.
Обчислити
.
Підінтегральна функція після виділення повного квадрата і замінираціоналізується тригонометричними підстановками; при цьому, залежно від знака дискримінанту квадратного тричлена та знака коефіцієнтаа можливі такі випадки:
IV.
.
V. .
VI. .
Обчислити
Важливу роль в інтегруванні ірраціональних функцій відіграють підстановки ЕЙЛЕРА (названі в честь відомого математика).
Підстановки Ейлера, за допомогою яких завжди раціоналізується вираз виду , де— раціональна функція розрізняються, в залежності від функції, яка знаходиться під знаком радикала, натри основні види.
Перша підстановка :
.
Друга підстановка :
.
Третя підстановка :
або .
Обчислити інтеграл
Виокремити алгебраїчну частину з інтеграла , де— многочлен-го степеня, можна за формулою:
де — многочленn-го степеня, Коефіцієнти цьогомногочлена знайдемо за методом невизначених коефіцієнтів, а продиференціювавши останню рівність і потім помноживши на , дістанемо:
Звідси методом невизначених коефіцієнтів знайдемо .
Обчислити