§ 3. Определитель матрицы

Для облегчения запоминания удобно воспользоваться правилом треугольников (или правило Саррюса)

4. Общее определение может быть дано следующим образом.

Определение. Определителем квадратной матрицы А n-го порядка называется алгебраическая сумма n!=1 2 n произведений n-го порядка

(т.е. каждое произведение содержит n сомножителей) элементов этой матрицы, причем в каждое произведение входит по одному элементу из каждой строки и каждого столбца данной матрицы. Знак каждого слагаемого определяется с помощью подсчета так называемых инверсий в перестановке чисел

(1, 2, …, n).

Как видно, при n > 3 правила (определения) вычисления определителя сложны для восприятия и их непосредственного применения. Однако, известны методы, позволяющие реализовать вычисление определителей высокого порядка на основе вычисления определителей низшего порядка. Один из таких методов основан на разложении определителя по элементам некоторого ряда (в дальнейшем строки и столбцы будем просто называть рядами). Этот способ вычисления определителей матриц будет показан ниже.

Вычисление определителей облегчает знание его основных свойств. Эти свойства легко проверить, например, при n = 2, 3.

Лекция № 2 Матрицы и матричное исчисление проф. Дымков М.П. 20

Основные свойства определителей.

1. det A = det AT .

2. Если строка (или столбец) матрицы A нулевые, то det A = 0 .

3. При перестановке местами двух строк (столбцов) матрицы определитель меняет знак (сохраняя при этом свое числовое значение по абсолютной величине).

4. Определитель матрицы, содержащий две одинаковые строки (столбца) равен 0. (Действительно, поменяв местами строки, имеем согласно предыдущего свойства, что ∆í î â = −∆ñò àð , а это возможно если только ∆ = 0 .)

5. Общий множитель любой строки (т.е. если все элементы имеют один и тот же множитель!) можно вынести за знак определителя.

6. Из свойств 4 – 5 следует, что определитель с двумя пропорциональными рядами равен 0. Например,

6. Если каждый элемент некоторой строки матрицы представлен в виде суммы двух слагаемых, то этот определитель равен сумме двух определителей.

Например, при n = 3

7. Определитель не изменится, если к элементам любой строки (столбца) прибавить соответствующие элементы другой строки (столбца), умноженные на любое число. (Это свойство есть следствие свойств 3) −7). Это свойство еще называют элементарным преобразованием определителя.

Замечание. Из перечисленных свойств следует, что определитель равен 0, если, по крайней мере, одна из строк (столбцов) является линейной комбинацией других его строк (столбцов). При этом, определение линейной комбинации аналогично данному ранее для векторов. Это естественно, так как каждую строчку (можно рассматривать как вектор (это же тоже набор чисел – только здесь разделяем их запятой)). Отсюда вытекает необходимое и достаточное условие равенства нулю определителя: определитель равен нулю тогда и

только тогда, когда его строки (столбцы) линейно зависимы.