Замечание. Ясно, что всякая бесконечно большая последовательность является неограниченной, но не наоборот.

Пример.

1) {n}−неограниченная последовательность и бесконечно большая;

Связь бесконечно больших и бесконечно малых последовательностей

устанавливает следующее утверждение:

Если последовательность {xn} бесконечно большая, и все xn ≠ 0, то последо-

Если дана последовательность {xn}, и из некоторого подмножества ее

членов образована новая последовательность, порядок следования членов в которой такой же, как и в исходной последовательности, то она называется под-

последовательностью и обозначается {xnk }, k N , nk1 < nk2 , k1 < k2 .

ходной последовательности.

Простейшие свойства бесконечно малых последовательностей

1.Алгебраическая сумма любого конечного числа бесконечно малых последовательностей есть бесконечно малая последовательность

2.Произведение бесконечно малой последовательности на ограниченную последовательность есть бесконечно малая последовательность.

3.Всякая бесконечно малая последовательность является ограниченной.

4.Произведение конечного числа бесконечно малых последовательностей есть бесконечно малая последовательность.

§ 2. Предел последовательности. Свойства сходящихся последовательностей

Введем фундаментальное понятие сходящейся последовательности.

Определение. Последовательность {xn} называется сходящейся, если существует такое вещественное число а, что последовательность {xn − a} явля-

ется бесконечно малой. При этом, вещественное число а называется пределом последовательности {xn}. Символически данный факт (то что последова-

тельность сходящаяся и ее предел есть а) записывается так

Используя определение бесконечно малой последовательности, мы можем дать другое эквивалентное определение сходящейся числовой последовательности предела.

Определение. Число а называется пределом числовой последовательности {xn}, если для любого ε > 0(сколь мало оно не было) найдется номер N (за-

висящий, вообще говоря, от ε, т.е. N = М (ε)) такой, что при всех n ≥ N элементы xn этой последовательности удовлетворяют неравенству

Последовательность, имеющая конечный предел называется сходящейся, в противном случае – расходящейся.

Из условия (*) следует, что верны следующие неравенства xn − a <ε a −ε < xn < a +ε n ≥ N

Это позволяет дать следующую геометрическую иллюстрацию

Пример. {xn}= 1n . Покажем, что число a = 0 −предел этой последова-

что требуемое число есть N = 1 +1, где [ r ] означает целую часть числа r .

ε

Упр. Построить отрицание к определению предела числовой последовательности.

Часто в теории пределов пользуются понятием ε – окрестности точки. Множество точек, удаленных на расстоянии не более, чем ε от данной точки а, т.е множество x : x − a <ε , называется ε – окрестностью точки а.

Тогда определение сходящейся последовательности можно перефразировать следующим образом: последовательность {xn} сходится к числу а, если любая

ее ε –окрестность содержит бесконечно много членов последовательности и лишь конечное число членов последовательности находится вне этой окрестности.

Приведенное определение удобно при исследовании свойств последовательностей

Свойства сходящихся последовательностей

10. Сходящаяся последовательность имеет единственный предел.

Доказательство. От противного. Пусть а и b, a ≠ b два предела. Т.к. а – предел для {xn}, то вне интервала (a −ε, a +ε) (т.е., вне ε–окрестности) долж-

но находится лишь конечное число членов последовательности. Значит, отсюда следует, что b не может быть пределом последовательности {xn}, если выбрать

ε достаточно малым , например, ε = b +2 a (т.к. тогда окрестность точки «b» со-

держит лишь конечное число членов – см. геометрическую иллюстрацию).

20. Всякая подпоследовательность сходящейся последовательности сходится к тому же пределу, что и исходная последовательность.

Доказательство. Если a = lim{xn}, то вне окрестности точки а находить конечное число членов последовательности {xn}, а значит и любой ее подпоследовательности {xnk }.

Лекция № 8-9 Основы математического анализа проф. Дымков М.П. 70

50. («о двух милиционерах»)

Пусть имеются последовательности {xn},{yn},{zn}, такие что xn ≤ yn ≤ zn и nlim→∞ xn = a , nlim→∞ zn = a . Тогда nlim→∞ yn = a .

Арифметические операции над сходящимися последовательностями Теорема. Если {xn}→ a , {yn}→b при n → ∞, то

1)lim(xn ± yn )= lim xn ± lim yn = a ±b ;

2)limcxn = clim xn = c a ;

3)lim xn yn = lim xn lim yn = a b ;

§ 3. Монотонные последовательности

Определение. Числовая последовательность {xn} называется неубывающей, если x1 ≤ x2 ≤ ≤ xn ≤ xnn ≤ , (строго возрастающей, если неравенства выполняются как строгие неравенства).

Аналогично определяются невозрастающие и строго убывающие последовательности (с соответствующим изменением направления в неравенствах).

Возрастающие и убывающие, неубывающие и невозрастающие последовательности иногда объединяют одним названием – монотонные последовательности.

Монотонная возрастающая последовательность всегда ограничена снизу своим первым членом, монотонно убыв. – сверху первым членом.

По свойству 30 необходимым условием сходимости последовательности является ее ограниченность. Однако обратное неверно, т.е. просто ограниченность последовательности не гарантирует ее сходимость.

Пример. ( 1)n не является сходящейся, хотя является ограниченной. (Упр. – доказать).

Оказывается, для монотонных последовательностей их ограниченность является уже и достаточным условием сходимости.

Теорема (Вейерштрасса) (критерий сходимости монотонных последова-

тельностей). Для того, чтобы монотонная последовательность сходилась необходимо и достаточно, чтобы она была ограниченной.

Как быть с произвольной (не монотонной) последовательностью?.

Теорема (критерий сходимости Коши). Для сходимости числовой по-

следовательности xn необходимо и достаточно, чтобы они были последовательностью Коши.

§ 4. Число е и его экономическая иллюстрация. Применение пределов в экономических расчетах

Рассмотрим последовательность

1 n

{xn}= 1+ n .

Докажем, что эта последовательность имеет предел. Нам понадобится следу-

ющее неравенство Бернулли

т.е. доказали , что yn−1 ≥ yn .

Итак, имеем , что последовательность {yn} :

1)монотонно убывает;

2)ограничена снизу числом 2.

Тогда, по критерию Вейерштрасса последовательность {yn} сходится (т.е. имеет конечный предел).

Лекция № 8-9 Основы математического анализа проф. Дымков М.П. 73

Заметим, что

Отметим, что е – иррациональное число, оно играет важную роль в математике, его называют еще числом Эйлера (в знак признания его заслуг).

Соотношение (**) называют еще замечательным пределом.

К этому замечательному пределу (и, следовательно, к числу е) приводят многие задачи, связанные с непрерывным ростом какой-либо величины – например, рост процентов по вкладам, рост населения, размножения бактерий, радиоактивный распад.

Рассмотрим пример (Я.Н.Перельман), дающий интерпретацию числа е в

задаче о сложных процентах.

В сбербанках процентные деньги присоединяются к основному капиталу обычно ежегодно. Если присоединение (капитализация) совершается чаще, то капитал растет быстрее.

Возьмем чисто теоретический (упрощенный) пример. Пусть в банк положили 100 руб. под 100% годовых. Если процентные деньги будут присоединены к основному капиталу лишь по истечении года, то к этому сроку 100 руб.

превратятся в 100 +100100 100% =100(1+1) = 200 руб.

Посмотрим теперь, во что бы превратились наши 100 руб., если бы процентные деньги присоединяли к основному капиталу каждые полгода (при той

Лекция № 8-9 Основы математического анализа проф. Дымков М.П. 75