Матрица, все элементы которой равны 0, называется нулевой.

Если все ненулевые элементы диагональной матрицы равны 1, то такая квадратная матрица называется единичной, т.е., единичная матрица имеет вид

Квадратная матрица, у которой все элементы, лежащие ниже (или выше) главной диагонали, равны 0, называется треугольной (нижне-треугольной или верхне-треугольной).

Отметим, что единичная E и нулевая O матрицы играют в матричном исчислении роль, в некотором смысле близкую к роли 1 и 0 в арифметике.

Матрицу, состоящую из одной строки и n столбцов, называют иногда матри- цей-строкой. Аналогично говорят о матрице-столбце. Отметим здесь схожесть таких матриц с векторами. И поэтому их часто называют векторами.

Две матрицы А и В называются равными (и этот факт записывают как

А= В ), если они

1)имеют одинаковые размеры;

2)соответствующие элементы матриц равны, т.е.

aij = bij , i =1,...,m; j =1,...,n.

§2. Операции над матрицами

1.Сложение матриц вводится только для матриц одинаковых размеров. Суммой матриц A = (aij ) и Bm×n = (bij ) называется матрица Cm×n = (cij ), эле-

менты которой есть cij = aij +bij , i =1,m, j = 1,n. Кратко этот факт записывают как С = А + В.

Аналогично определяется разность матриц.

2. Умножение матрицы на число.

Произведение матрицы Am×n = (aij ) на действительное число λ называет-

ся матрица, каждый элемент которой получается умножением соответствующего элемента матрицы А на число λ

λ A = (λ aij ).

Лекция № 2 Матрицы и матричное исчисление проф. Дымков М.П. 15

7.0 Am×n = Om×n .

3.Произведение матрицы на матрицу.

!!!Операция умножения двух матриц вводится только для случая, когда число столбцов первой матрицы равно числу строк второй матрицы (или еще говорят, когда матрицы согласованные) !!!

Произведение матрицы Am×n = (aij ) на матрицу Bn×p = (bjk ) называется матрица Cm×p = (cik ), такая что

cik = ai1b1k + ai2b2k + + ainbnk , i = 1,m , k = 1,p ,

т.е. элемент i-ой строки и k-го столбца матрицы произведения С равен сумме произведений элементов i-ой строки матрицы А на соответствующие элементы k-го столбца матрицы B .

Схематично вычисление элементов матрицы С можно изобразить как

Другими словами, при перемножении строки матрицы А на столбец матрицы В осуществляется обычное скалярное произведение двух векторов, причем координатами первого вектора являются элементы строки, а координатами второго вектора – элементы столбца.

Отметим некоторые специфические особенности и свойства операции умножения матриц (при условии, что рассматриваемые там произведения матриц существуют), и которые легко проверить на примерах.

1. Для прямоугольных матриц А и В из того, что существует произведение АВ не следует, что существует произведение ВА. Но даже, если это так, то À ≠ÂÀ, вообще говоря. (Упр. Проверить ).

В связи с этим естественным является ввести следующее определение. Матрицы называют перестановочными, если АВ = ВА.

2. Если А и В – квадратные матрицы одного размера, то АВ и ВА существуют (как следует из предыдущего АВ ≠ ВА, вообще говоря). Степени квадратной матрицы определяются очевидным образом

Ak = A A, где k – целое число, А – квадратная матрица.

При этом, по определению полагают A0 = E, A1 = A

3.A (BC) = (AB) C , (если существуют указанные произведения).

4.(A + B) C = AC + BC .

5.α (AB) = (αA) B .

6.Роль единичной (квадратной) матрицы: умножение слева, справа на данную

матрицу не изменяют исходную матрицу

Em×m Am×n = Am×n

Am×n An×n = Am×n

(Em×m Am×m = Am×m Em×m = Am×n ).

7.Роль нулевой матрицы

(Om×m Am×n = Am×n On×n = Om×n ).

Отметим, что возможны случаи, когда AB = O , однако A ≠ O, B ≠ O