§ 2. Использование систем линейных уравнений

Лекция № 4 Приложения линейной алгебры в экономике проф. Дымков М.П. 44

циональное управление производственными секторами национальных экономик.

Для простоты предположим, что изучаемое хозяйство (макроуровень) представляет собой n отраслей, каждая из которых производит свой однородный продукт. Мы предполагаем, что в одну отрасль объединены все производства одного продукта. Интуитивно ясно, что чем мельче «нарезка» производственного сектора национальной экономики на «отрасли», т.е. чем больше n, тем адекватнее можно описать существующие взаимосвязи. Но здесь имеется эффект «проклятие бесконечности», связанной с размерностью получаемых задач. В 1972 г. в

СССР, n = 112. Сейчас в Японии n = 2000. Чаще всего, используют n = 500 - 600. Процесс производства обычно изучается за некоторый период (год, например). Для обеспечения своего производства каждая отрасль нуждается в продукции других отраслей (производственное потребление) (например, тракторному заво-

yi ≥ 0.i =1,n.

Принцип баланса во взаимосвязях различных отраслей данного хозяйства состоит в том, что валовой выпуск i-ой отрасли должен равняться сумме объемов потребления в производственной и непроизводственной сферах. В самой простой форме (гипотеза линейности или простого сложения) балансовые соотношения имеют вид:

xi = xi1 + xi2 + + xin + yi , i =1, 2, , n (1)

Уравнение (1) называют соотношениями баланса.

Замечание. Поскольку продукция разных отраслей имеют разные измерения (метры, тонны, штуки, …), то в дальнейшем будем иметь в виду стоимостный баланс (в единых единицах измерения, например, млн. рублей).

Было установлено (первым, видимо, Леонтьевым В.В.) важное свойство: в течение длительного периода величины aij = xij xj ; i, j =1,n меняются очень слабо и

могут рассматриваться как постоянные числа. Это можно объяснить, например, тем, что технология производства остается на одном и том же уровне длительное время. Следовательно, объем потребления j-ой отраслью продукции i-ой отрасли при производстве своей продукции объема xj есть технологическая константа. В силу этого

факта можно сделать следующее допущение: для производства j-ой отрасли продукции объема xj нужно использовать продукцию i-ой отрасли в объеме aij xi , где

aij −const :

xj = aij xi .

При таком допущении технология производства принимается линейной (гипотеза линейности). При этом числа aij называются коэффициентами прямых

затрат или технологическими коэффициентами. Тогда уравнения баланса (1)

можно переписать в виде системы

Введем в рассмотрение векторно-матричные обозначения:

Обычно уравнение (3) называют уравнением линейного межотраслевого ба-

ланса, а описанную выше модель называют моделью Леонтьева.

Модель межотраслевого баланса можно использовать для различных целей, среди которых можно выделить две основные:

1)В первом, более простом случае, пусть известен вектор валового выпуска х и известна технологическая матрица А. Требуется рассчитать вектор конечного потребления у. Это решается просто y = x − Ax .

2)Во втором случае используется для решения следующие задачи: Для периода времени (например, на 1 год) Т задан вектор конечного потребления у. Требуется определить вектор х валового выпуска (при условии, что задана технологическая матрица А).

Вэтом случае надо решить систему уравнений

где у – задано, х – неизвестно.

Отметим, что система (4) имеет ряд особенностей, связанных с экономическим характером ее элементов: все элементы aij ≥ 0 , xi ≥ 0 , yi ≥ 0. Эти осо-

бенности усложняют задачу. Вообще говоря, не для всякого заданного наперед y ≥ 0 найдется решение системы (4), что x ≥ 0 .

В связи с этим дадим следующее определение Определение. Матрица А, все элементы которой ≥ 0 называется продук-

тивной, если для любого вектора y ≥ 0 существует решение х уравнения (4), причем x ≥ 0 .

Если существует обратная матрица (E − A)−1, то уравнение (4) имеет единственное решение x = (E − A)−1 y .

Матрица (E − A)−1 называется матрицей полных затрат.

Вопрос: Когда А – продуктивна? Например, когда сумма элементов по каждому столбцу (строке) ≤1.