27. Точка на поверхности

Задать точку на поверхности можно с помощью определителя поверхности (прямой или окружности). Точка А принадлежит главному меридиану, точка В – экватору сферы (Рис. 4), эти точки находятся без дополнительных построений. Точки М, К (Рис. 2) и С, D (Рис. 4) - произвольные и их находят с помощью определителя.

Рис. 4

28. Сечение поверхностей плоскостями

В общем случае плоскость пересекает поверхность по некоторой плоской кривой, которую можно рассматривать, как множество точек, одновременно принадлежащих как плоскости, так и поверхности (Рис.5). Основным способом нахождения точек линии пересечения поверхности плоскостью является способ вспомогательных плоскостей посредников.

Плоскость посредник выбирается таким образом, чтобы в пересечении с заданными фигурами получались графические простые линии-прямые или окружности.

Рис. 5

Среди множества точек, принадлежащих линии пересечения имеются точки, которые обладают особыми свойствами, так называемые характерные или опорные точки. К ним относятся:

1. Экстремальные точки – это высшая и низшая точки сечения, самая ближняя и самая дальняя, самая левая и самая правая (по отношению к наблюдателю, стоящему лицом к П₂);

2. Точки – границы видимости – это точки, расположенные на очерковых линиях поверхности. Они разграничивают линию пересечения на видимую и невидимую части.

3. Все остальные точки относятся к произвольным или случайным. Если все случайные точки могут быть найдены общим приемом, то для нахождения опорных точек приходится каждый раз искать свой особый прием построения.

29. Конические сечения

Конические поверхности, а также цилиндрические и сферические, относятся к поверхностям второго порядка. При сечении этих поверхностей плоскостями получаются кривые второго порядка.

Кривые, получающиеся в сечении прямого кругового конуса, называются коническими сечениями.

В зависимости от расположения секущей плоскости по отношению к поверхности конуса могут образовываться конические сечения трех видов: эллипс, парабола, гипербола. Все кривые обладают директориальными и фокальными свойствами.

В зависимости от соотношения величин углов «α» и «φ» будем иметь (Рис. 6):

Рис. 6

1. ∠α > ∠φ. Кривая не имеет собственных точек (эллипс, плоскость Ω);

2. ∠α = ∠φ. Кривая имеет одну несобственную точку (парабола, плоскость Σ)

3. ∠α < ∠φ. Кривая имеет две несобственные точки (гипербола, плоскость Γ)

Частные случаи сечения: окружность - когда секущая плоскость θ располагается перпендикулярно оси вращения, образующие – когда секущая плоскость Ψ проходит через вершину конуса.

Эллипс – это множество точек, сумма расстояний от которых до двух фиксированных точек F́F ́́ ́называемых фокусами, есть величина постоянная:

r′+ r′′=2a (Рис. 7).

Рис. 7

На Рис. 8 построено сечение конуса фронтально-проецирующей плоскостью Σ.

Секущая плоскость пересекает все образующие конуса, в сечении эллипс, у которого большая ось АВ определяется проекцией А₂В₂ (А₂О₂=О₂В₂, О - центр эллипса. Для нахождения малой оси, проводим через точку О₂ горизонтальную плоскость Ω, которая пересечет конус по окружности R_Ω, а плоскость Σ по прямой CD, перпендикулярной П_2. В пересечении окружности с прямой мы получим точки, определяющие величину малой оси эллипса-C₁D₁. Промежуточные точки (например, E, H) находят аналогично нахождению точек C, D.

Рядом с фронтальной проекцией конуса показано построение натуральной величины сечения по его осям ∣АВ∣=∣А₂В₂∣ и ∣CD∣=∣C₁D₁∣. На осях, как на диаметрах, строим окружности. Эти окружности делим радиусом на 12 или 16 частей. Из точек К пересечения радиуса с большой окружностью проводим прямые, параллельные CD, а из точек L пересечения с малой окружностью – прямые, параллельные АВ. Полученные точки М соединяем по лекалу. Кривая должна пройти через точки А₁С₁В и D.

Рис. 8

Парабола – это множество точек, расстояние от которых до некоторой фиксированной точки F, называется фокусом, и до некоторой фиксированной прямой, называемой директрисой, равны: ∣KM∣=∣FM∣ (Рис. 9).

Точки М параболы можно построить засечками из F на прямой, параллельной d, радиусами, равными расстоянию между директрисой и параллельной ей прямой FM=KM.

Рис. 9

На Рис. 10 построено сечение конуса фронтально-проецирующей плоскостью Σ.

Плоскость параллельна образующей конуса, в сечении – парабола. Горизонтальная проекция параболы построена по вершине А1 и промежуточным точкам В1В1′ и т.д. Фронтальная проекция параболы – совпадает со следом Σ2. Рядом с фронтальной проекцией конуса показано построение натуральной величины сечения с помощью «пучка прямых». Ось ∣AD∣=∣A2B2∣, а отрезки ∣BD∣=∣B1D1∣.

Отрезки AL и BL разбиваем на одинаковое число частей. Из этих точек деления прямых AL, проводим прямые, параллельные AD. Из точек деления прямых BL проводим «пучок прямых» в точку А. Пересечение одноименных прямых дает точки параболы, которые соединяют по лекалу.

Рис. 10