Производные и дифференциалы высших порядков

Производной второго порядка, или второй производной, функции называется производная от ее производной(которую называют первой производной).

Обозначения второй производной: ,

Механический смысл второй производной: если – закон прямолинейного движения точки, то– ускорение этого движения в момент времениt.

Путем многократного дифференцирования можно получить производную любого порядка. Производная п– го порядка обозначается так:и так далее.

Пример.Вычислим, если

Решение. Найдем производную первого порядка:

Продифференцируем полученное выражение еще раз и, упростив выражение, получим:

Пример.Вычислим, если.

Найдем производную первого порядка:

Продифференцируем полученное выражение еще раз:

Продифференцировав выражение в третий раз, получим:

Задание.Вычислить, если.

Решение. _______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Ответ:

Дифференциал от дифференциала функции называется вторым дифференциалом или дифференциалом второго порядка и обозначается:

Дифференциал п-го порядка вычисляется следующим образом:

Пример.Вычислим, если.

Р

ешение. Воспользуемся результатами решения предыдущего примера и найдем:

Пример.Вычислим, если.

Р

ешение. Воспользуемся результатами решения предыдущего примера и найдем:

.

Задание. Вычислите, если

__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Ответ:

Исследование функции при помощи дифференциального исчисления

Общая схема исследования функции и построения ее графика.

1. Найти область определения функции.

2. Исследовать функцию на четность – нечетность.

3. Исследовать вид разрыва в точках разрыва (если они есть).

4. Найти вертикальные асимптоты. (Для этого определяются значения левосторонних и правосторонних пределов в точках разрыва и выясняется, конечные они или бесконечные. Если пределы бесконечны, то прямая х =х₀– вертикальная асимптота).

5. Исследовать поведение функции в бесконечности, найти горизонтальные или наклонные асимптоты (для этого определяются пределы функции на бесконечности. Если , тоу=b– горизонтальная асимптота. Если, то прямаяявляется наклонной асимптотой графика функции).

6. Найти экстремумы и промежутки монотонности функции:

• найти производную функции,

• найти критические точки функции, в которых производная равна нулю или не существует,

• исследовать знаки производной слева и справа от каждой критической точки и сделать вывод о характере монотонности и наличии экстремумов функции (если производная на некотором интервале принимает положительные значения, то функция на этом интервале возрастает; если производная отрицательна, то функция убывает; если при переходе через критическую точку производная функции меняет свой знак с минуса на плюс, то данная точка является точкой минимума; если при переходе через критическую точку производная функции меняет свой знак с плюса на минус, то данная точка является точкой максимума).

7. Найти интервалы выпуклости функции и точки перегиба:

• найти вторую производную функции ,

• найти точки, в которых вторая производная равна нулю или не существует,

• исследовать знаки второй производной слева и справа от каждой из найденных точек и сделать вывод об интервалах выпуклости и наличии точек перегиба функции (если вторая производная функции на некотором интервале положительна, то функция выпукла вниз на этом интервале; если вторая производная функции на некотором интервале отрицательна, то функция выпукла вверх на этом интервале; если вторая производная при переходе через некоторую точку меняет свой знак, то эта точка является точкой перегиба).

• найти значения функций в точках перегиба.

8. Найти точки пересечения с осями координат, промежутки знакопостоянства и, возможно, некоторые дополнительные точки, уточняющие график.

Схема может варьироваться (например, для тригонометрических функций вводится исследование на периодичность), ее «шаги» могут меняться местами, однако их смысл при этом не меняется.

Пример.Исследуем функцию и построим эскиз ее графика:

Решение.

1. Определим область существования этой функции. Функция существует при всех значенияхх, кроме, при котором знаменатель дроби обращается в нуль. Значит, функция определена в интервалах (—, —1)(—1, +).

2. Исследуем вопрос о наличии центра симметрии к оси симметрии. Проверим для этого, выполняются ли равенстваили.

Непосредственная подстановка убеждает нас, что ни одно из этих равенств не выполняется, так что ни центра, ни оси симметрии график функции не имеет.

3. Определяем точки разрыва. Числитель и знаменатель дробно-рациональной функциипредставляют собой непрерывные функции и, следовательно, функцияубудет непрерывной при всех значенияхх, кроме, при котором знаменатель дроби обращается в нуль.

4. Переходим к определению асимптот графика.

а) Вертикальные асимптоты найдем, приравняв знаменатель нулю:

2(х+1)²= 0; отсюда.

Вертикальная асимптота одна: ее уравнение .

б) Горизонтальные асимптоты находим так: отыскиваем

,

а это означает, что горизонтальных асимптот нет.

в) Наклонные асимптоты:

Наклонная асимптота одна:

5 и 6. Определяем интервалы возрастания и убывания функции и экстремум функции.

Находим первую производную: . Определим критические точки:

1) Решаем уравнение , т. е. уравнениеи находим, что.

2) Определяем значения х,при которых. Таким значением являетсяНо это значение не должно подлежать рассмотрению, так как оно не входит в область определения функции. Критические точки, подлежащие рассмотрению:и точка– разделяют область существования функции на такие интервалы:.

В каждом из этих интервалов производная сохраняет знак: в первом — плюс, во втором — минус, в третьем — плюс, в четвертом — плюс (в этом можно убедиться, взяв в каждом интервале произ­вольное значение хи вычислив при нем значениеу'). Последовательность знаков первой производной запишется так: +, —, +, +. Значит, в интервалефункция возрастает, в интервале– убывает, в интервалахфункция возрастает.

При функция имеет максимум и. Так как знаки во втором и третьем интервалах различны, то можно было бы предположить, что приесть экстремум. Но такое предположение неверно, так как призаданная функция не существует. Итак, функция имеет единственный экстремум (максимум) при.

7. Определяем интервалы выпуклости и вогнутости графика функции и точек перегиба.

Находим, что и определяем критические точки второго рода:

1) решаем уравнениеи находим, что;

2) определяем значения х, при котором. Таким значением является. Как уже было отмечено выше, это значение рассматриваться не должно, так как при нем не существует заданной функции.

Критическая точка второго рода разделяет интервалы (—, —1) и (—1, +). существования функции на интервалы:,и.

В каждом из этих интерва­лов вторая производная конеч­на и сохраняет знак: в первом – минус, во втором – минус, в третьем – плюс, и мы имеем такое чередование знаков вто­рой производной в этих интер­валах: —, —, +.

Значит, в интервалах икривая выпукла, а в интервале

(0, + ∞) — вогнута. При вторая производная равна нулю, а при переходе из второго интервала в третий она поменяла знак. Это указывает на то, что при, кривая имеет точку перегиба. Координаты точки перегиба (0, 0) — это начало координат.

Рис. 9

8. Определение точек пересечения графика с осями координат и исследование промежутков монотонностипроизведите самостоятельно. График функции пересекает оси координат в единственной точке. Функция отрицательна на промежуткахиположительна на промежутке.

Все полученные сведения наносим на чертеж и получаем эскиз кривой (см. рис. 9).

Пример.Исследуем функцию и построим эскиз ее графика:

1. Определим область существования функции. Прежде всего, определим, при каких значенияххзнаменательобращается в нуль. Приравняем знаменатель к 0 и решив уравнениеполучим, что ни при одном вещественном значениих знаменатель дроби в нуль не обращается. Дробь, представляющая собой отношение двух непрерывных функций, будет функцией непрерывной при всех значенияхх,за исключением тех, при которых знаменатель дроби обращается в нуль. В нашем случае числитель и знаменатель — функции, непрерывные на всей оси. То есть, заданная функция непрерывна при любомх(мы выяснили, что ни при одном вещественном х знаменатель в нуль не обращается), и областью ее определения является вся осьОх,т. е. интервал (– ∞, + ∞).

2. Определим, нельзя ли отнести данную функцию к классу четных или нечетных функций. Проверим для этого, выполняются ли равенстваили.Заключаем, что ни одно из этих равенств не выполняется, т. е. нашу функцию нельзя отнести ни к классу четных, ни к классу нечетных функций, и график функции не имеет ни оси, ни центра симметрии.

3. Определим теперь асимптоты графика:

а) вертикальных асимптот нет, так как нет тех конечных значений х, при которыху→ ∞;

б) найдем горизонтальные асимптоты:

.

Так как конечный предел отсутствует, то горизонтальных асимптот нет;

в) находим наклонные асимптоты, уравнение которых :

Значения kиbкак при, так и приодни и те же. Наклонная асимптота одна:.

1. Теперь определим интервалы возрастания и убывания функциии ее экстремум.

.

Определим критические точки функции:

1) Решаем уравнение у' = 0, т. е. уравнение.Производная обращается в ноль только при.

2) Ни при одном действительном значении хпервая производная не принимает бесконечно больших значений. Таким образом, имеется одна критическая точка. Область существования функции – интервал (- ∞, + ∞) она разделяет на два интервала:и. Выбирая в каждом из них произвольное значениехи вычислив при нему', мы получим такую последовательность знаков первой производной: + , + .

Так как в рассматриваемых двух соседних интервалах у'имеет один и тот же знак, то в критической точкеэкстремума нет: во всей области существования функция возрастает.

2. Определяем точки перегиба:.

Приравниваем вторую производную к нулю:

Полученные точки разделяют область существования функции – интервал

(- ∞, + ∞) на интервалы ,,,. Для определения знака второй производной в каждом из этих интервалов достаточно определить ее знак в произвольной точке этого интервала, так как при всех значенияхх из данного ин­тервала она имеет один и тот же знак. Последовательность зна­ков второй производной записывается так: - , + , - , + и так как в каждом из двух соседних интервалов вторая производная имеет различные знаки, то найденные три критические точки вто­рого рода – точки перегиба графика функции. Их координаты для удобства построения эскиза графика функции вычисляются приближенно:

(–16,2; –18,2); (–1,8; –2,64); (0, 0).

Прежде чем приступить к построению эскиза графика функ­ции, определим взаимное расположение кривой и асимптоты.

Выясним, не пересекает ли кривая асимптоту. Для этого решим систему их уравнения:

Исключая у, получим, что, откуда

Подставляя это значение во второе уравнение системы, получим, что . Асимптота пересекает кривую в точке (–6, –8).

Рис. 10.

6. Определение точек пересечения графика с осями координат и исследование промежутков монотонностипроизведите самостоятельно. График функции пересекает оси координат в единственной точке. Функция отрицательна на промежутке, положительна на промежутке. Все полученные сведения наносим на чер­теж и получаем эскиз кривой (см. рис. 10).

Задание. Исследовать на экстремум функцию

Решение. Применить пункт 6 общей схемы исследования функции.

_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Ответ: y=y(-1) = -2,y=y(1) = 2.

Задание*.

Исследовать функцию и построить эскиз ее графика.