Рекомендации по работе с математическим текстом

Любой математический текст является сложным, так как содержит определенное количество научных терминов, изученных ранее или новых. В нем также присутствуют формулы, их выводы, доказательства утверждений и теорем, что является наиболее затруднительным в восприятии.

Начиная самостоятельно изучать материал какого-либо математического текста, необходимо прочитать весь текст, не задерживаясь на трудном материале.

При повторном чтении следует обдумывать смысл каждой фразы. Затем необходимо составить план конспекта. Вывод формул, определения, формулировки и доказательства теорем записывать в тетрадь.

Изучение закончить повторением материала, приводя примеры и объясняя их. Материал можно считать усвоенным, если при его повторении не возникает необходимость заглянуть в РТ или конспект.

Если при изучении теоретического материала обучаемый встречает затруднения, которые он не может устранить самостоятельно, повторно изучая основную и дополнительную литературу, необходимо обратиться к преподавателю для получения устной или письменной консультации.

Рекомендации по конспектированию

Конспект — сложная запись содержания исходного текста, включающая в себя заимствования (цитаты, формулы, определения) наиболее примечательных мест в соответствии с планом источника, а также сжатый анализ записанного материала и выводы по нему.

Общий порядок работы над конспектом:

• определение структуры конспектируемого материала, при этом очень помогает составление плана по ходу изучения текста;

• отбор и последующая запись наиболее существенного содержания текста в форме цитат, доказательств или близкого изложения без потерь смысла;

• анализ записей и на его основе дополнение наиболее сложных элементов текста;

• комментарии (располагать их можно на полях или в виде сносок);

• завершение формулирования и запись выводов по каждой из частей текста, а также общих выводов в заключении.

Рекомендации по решению задач

Хорошее усвоение теоретического материала невозможно без решения задач. Многочисленные формулы запомнить трудно, в процессе же решения задач они запоминаются легче. Поэтому в каждой теме содержатся задачи и упражнения, рекомендованные для самостоятельного решения. Темы и задания, отмеченные * - повышенной трудности, выполняются по желанию студента.

Приступая к решению задачи, необходимо внимательно прочесть условие и, уяснив смысл, записать кратко, используя математические символы, условие и искомые результаты. Затем записать необходимые формулы и приступить к решению.

Результатом работы является Рабочая тетрадь с выполненными заданиями для самостоятельной работы, контрольными заданиями, которая сдается на проверку в электронном или печатном варианте.

Раздел 1. Теория пределов

В результате изучения раздела студент должен

знать:

• определение предела функции в точке;

• свойства предела функции в точке;

• формулы замечательных пределов;

• определение непрерывности функции в точке,

• свойства непрерывных функций;

уметь:

• вычислять пределы функций в точке и на бесконечности.

Предел последовательности

Определение предела последовательности

Определение. Если по некоторому закону каждому натуральному числу n поставлено в соответствие вполне определенное число а_п, то говорят, что задана числовая последовательность

Т.е. числовая последовательность – это функция натурального аргумента: . Числаа1, а2,…,апназываются членами последовательности, а числоап– общим илип– м членом последовательности. Определение. Последовательность (an) называется ограниченной, если существуют числа M и m такие, что для любого n выполняется неравенство: m £ (an) £ M. В противном случае она называется неограниченной.

Определение. Число А называется пределом последовательности (а_n), если для каждого положительного числа e найдется такое натуральное число N, что для любого n > N справедливо неравенство: . В этом случае пишутприили

Определение. Последовательность (a_n), имеющая предел А, называется сходящейся к числу А, не имеющая предела последовательность называется расходящейся.

Геометрический смысл сходимости можно выявить, преобразовав выражение :

Таким образом, все члены последовательности (a_n),сходящейся к числуА, имеющие порядковые номералежат в интервале (А– e; А + e), который называетсяe-окрестностью точкиА.

Величина может стремиться к своему пределу различными способами:

1) оставаясь меньше своего предела, 2) оставаясь больше своего предела, 3) колеблясь около своего предела и 4) принимая значения, равные своему пределу.

В

ыбор числаεпроизволен, но после того, как оно выбрано, никаким изменениям в дальнейшем оно не должно подвергаться.

Пример.Докажем, что последовательность с общим членомимеет предел, равный 1.

Решение. Выберем произвольно положительное числоε и покажем, что для него можно определить такое натуральное числоN, что для всех номеровп > Nбудет выполняться неравенство, рассмотренное выше, в котором надо взятьА = 1, т. е. неравенство

После приведения в скобках к общему знаменателю получим

или

Но если то и.

Из последнего неравенства следует, что , а.

Значит, если номер Nбольше, чем, то неравенствобудет выполняться.

Теперь надо решить вопрос о числе N, о котором идет речь в определении. За числоNможно принять наибольшее целое число, содержащееся в числе. Наибольшее целое число, содержащееся в числех, обозначается знакомЕ (х). На основании этого наибольшее целое число, содержащееся в численадо обозначить так:Итак, можно принять(предполагается, что, иначеNне будет натуральным и его надо брать равным 1).

Таким образом, по произвольно заданному положительному числумы нашли такое натуральное числоN, что для всех номеровn>Nнеравенстводействительно выполняется, а этим и доказано, что 1 является пределом последовательности с общим членом.

Проиллюстрируем это числовым примером.

Пусть, например,. Тогда приполучаем изследующее значение:или

Таким образом, для членов последовательности с номером большим, чем 99, выполняется неравенство:

Пусть п= 97; тогда, так как, то, а

если п= 98, тои, а

Из этих расчетов видно, что когда номер пчлена последовательности меньше 99 неравенствоне выполняется, т.е.Если взять номер, превышающий 99, например,п= 101, то получими, а.

если п= 98, тои, а

Полученный результат можно записать так: . Иначе можно сказать, что последовательностьсходится к 1.

Мы употребили запись , которую следует понимать так: переменная величина п становится все большей и большей и не существует предела для ее возрастания. Какое бы большое число мы ни задали, п в процессе своего возрастания его превзойдет. Для того чтобы коротко описать этот характер изменения п, принято говорить «эн стремится к бесконечности» и записывать это так: . Символпроизносится «бесконечность» и применяется для сокращенной записи слова «бесконечность».

Символ ни в коем случае не может рассматриваться как число, а потому бессмысленной является запись, так какп может равняться числу и не может быть равно символу, введенному только для сокращенной записи и сокращенного произношения фразы, которой заранее был придан определенный, указанный выше, смысл.

Очевидно, что последовательность может быть записана таким образом:

видно, что она стремится к своему пределу 1, возрастая и оставаясь меньше 1.

Пример. Докажем, что последовательность 3, З², 3³,3⁴,..., 3"... не имеет предела.

Решение. Мы докажем требуемое, если установим, что общий член этой последовательности превзойдет любое наперед заданное число.

Пусть Атакое число. Возьмем.

Т

огдаи подавно, или 3^п> А. Тем самым показано, что 3^пможет превзойти любое числоА. Если бы существовал предел переменной, и был бы равенА, то для любого> 0 можно было бы подобрать такоеN, что при номерахп > Nвыполнялись бы неравенстваa, т. е., а это противоречит доказанному, так как 3^пприпревзойдет любое числоА, а тем самым и числоa+, меньше которого оно должно оставаться. Это противоречие и доказывает, что данная последовательность предела не имеет. Этот пример иллюстрирует утверждение: не всякая последовательность имеет предел.

Свойства пределов последовательностей

Если две последовательности иимеют пределы, равные соответственноАиВ, то:

1. Последовательность имеет предел, равный:

Это свойство распространяется на случай любого фиксированного числа слагаемых,

2. Последовательность имеет предел, равный, т. е.

Это свойство распространяется также на случай любого фиксированного числа сомножителей.

Постоянный множитель можно выносить за знак предела:

при любом постоянном k.

3. Последовательностьимеет предел, равный, т. е.

.

при условии, что все у_пне равны нулю и.

Пример. Найдем предел последовательности:.

Решение. Очевидно, что числитель и знаменатель данной дроби имеют бесконечные пределы, т. е. представляют собой расходящиеся последовательности. Для разрешения проблемы произведем тождественное преобразование дроби, почленно разделив ее на наибольшую из степеней п(в данном случае, на). Предел полученной дроби найдем, определив значение предела каждого слагаемого в отдельности и учитывая, чтопри условии, чтосиk– постоянные, причемkбольше 1. Помните, что предел постоянной величины есть сама величина, поскольку последовательность, все члены которой равны, имеет предел, равный ее общему члену. После этих подробных рассуждений укажем, как следует расположить записи:

Здесь применена теорема о пределе дроби.

Ответ:–2.

Пример.Найдем.

Р

ешение.

Ответ:

Задание. Вычислите предел последовательности:

Решение:

__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Ответ: