Первообразная функции. Неопределенный интеграл и его свойства.

Таблица интегралов.

Ф

ункцияF(x)называется первообразной функцией для функцииf(x)на промежуткеХ,если в каждой точкехэтого промежутка.

Свойство первообразной.

Если F₁(x)иF₂(x)– первообразные для функцииf(x)в некотором промежуткеХ, то найдется такое числоС, что справедливо равенство:.

Совокупность всех первообразных для функции f(x)на промежуткеХ называется неопределенным интегралом от функцииf(x)и обозначается .

Согласно определению, .

Свойства неопределенного интеграла.

1. Производная от неопределенного интеграла равна подынтегральной функции:.

2. Дифференциал неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению: .

3. Неопределенный интеграл от дифференциала некоторой функции равен этой функции с точностью до постоянного слагаемого: .

4. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла: .

5. Интеграл от алгебраической суммы двух функций равен такой же сумме интегралов от этих функций:

6. .

Таблица интегралов:

;(прип¹–1);;

(приа > 0,a ¹0);

;;;

(при);

(приa¹0);

;

;

(приa¹0);.

Приемы интегрирования

Метод непосредственного интегрирования

Метод интегрирования, основанный на применении четвертого и пятого свойств неопределенного интеграла, называется методом разложения или методом непосредственного интегрирования.

Пример.Найдем:

1) , 2),

3) .

Решение.

1)Представим интеграл в виде суммы интегралов и, произведя вынесение коэффициентов за знак интеграла, сведем их к табличным:

2) Возведя в квадрат подынтегральное выражение, повторим операцию, рассмотренную в предыдущем примере:

3) Произведя почленное деление подынтегрального выражения на х³, получим:

Задание.Найти:

1. 

_____________________________________________________________________________

Ответ: х² + С

2. 

_____________________________________________________________________________

Ответ: - 3sinx + С

Метод замены переменной

Один из основных методов интегрирования – метод замены переменной (или метод подстановки), описывается следующей формулой:

.

Однако, новую переменную можно не выписывать явно (в таких случаях говорят о преобразовании функции под знаком дифференциала или о введении постоянных и переменных под знак дифференциала) на основании теоремы:

Теорема.ПустьF(x)– некоторая первообразная для функцииf(x). Тогда, гдеkиb– некоторые числа, причемk¹0.

Пример. Найдем 1), 2)

Решение.

1. Т

   .

   ак как аргумент экспоненты имеет сложный вид, введем новую переменную. Тогда

Произведя подстановку, получим:

2) Так как аргумент подынтегральной функции имеет вид , где, то, применяя вышеназванную теорему, получим:

Задание. Найти

Решение. ______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Ответ:

Интегрирование по частям*

Формула называется формулой интегрирования по частям для неопределенного интеграла. При ее применении фиксируется разбиение подынтегрального выражения искомого интеграла на два множителяииdv. При переходе к правой части первый их этих множителей дифференцируется, а второй интегрируется.

Пример.Найдем.

Решение.

Применим метод интегрирования по частям.

Положим, что . Тогда.

Подставляя выражения в вышеуказанную формулу, получим:

Задание*. Найти

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Ответ: