пособие мат.моделирование

[В]’

т. е. К, будучи отношением констант скоростей распада (диссоциа­ ции) и образования В, дает оценку соотношения равновесных кон­ центраций исходного вещества А и продукта реакции В.

Рассмотрим теперь более интересный случай, когда веще­ ство С образуется при взаимодействии веществ А и В. Пусть для начала реакция является необратимой:

Л+В->С.

В системе, содержащей молекулы двух веществ Aw В, проис­ ходят соударения видов А + А ,В + В,А + В. При этом к химической реакции может привести только третий тип столкновений. Подсчи­ таем их число в единицу времени. Число столкновений, испытыва­ емых молекулами вещества А , должно быть пропорционально их концентрации. То же самое можно сказать и о веществе В. Таким образом, частота соударений третьего вида пропорциональна про­ изведению концентраций реагирующих веществ [Л], [5].

Это заключение и отражает суть закона действующих масс, который записывается в виде уравнения

Остановимся подробнее на смысле параметра к. Химиче­ ские реакции принято характеризовать скоростями, отнесенными к единичным концентрациям реагирующих веществ. Из уравне­ ния (61) видно, что константа скорости к, которая является фун­ даментальной характеристикой химической реакции, равна значе­ нию скорости реакции при единичных концентрациях реагентов. Обычно константы скорости пишутся в схемах реакции над соот­ ветствующими стрелками, указывающими направление реакции: к (см., например, схему ферментсубстратной реакции, приведенную выше (54)).

Размерность величины к определяется формой реакции. Так, в уравнении (56) для одномолекулярной реакции к имеет

размерность с-1, а в уравнении (61) для бимолекулярной реак­ ции — размерность Таким образом, константа скорости реакции не зависит ни от выбранного объема системы, ни от кон­ центрационных условий проведения реакции и является инди­ видуальной характеристикой реакции. Этот коэффициент про­ порциональности зависит от физико-химических свойств самих реагентов, а также от температуры среды (раствора).

Если реакция обратима и константы скорости прямой и обрат­ ной реакций к+и к соответственно, то схема реакции приобретает вид

Уравнение (62) позволяет получить соотношение для стаци­ онарных концентраций веществ. Приравняв правую часть к нулю (по аналогии с формулой (60)), получим

<«>

[С]*,

Здесь Kd — константа диссоциации, равная отношению кон­ стант скоростей диссоциации и образования комплекса и соот­ ветственно отношению произведения стационарных концентра­ ций реагентов к концентрации продукта. Это соотношение будет нами часто использоваться далее для выведения формул скоростей ферментсубстратных реакций. Обратная к Kd величина Ка = MKd называется константой сродства веществ A w В, характеризующей

вероятность образования комплекса С при взаимодействии этих веществ.

3.1.4.Ферментсубстратная реакция Михаэлиса — Ментен

Вернемся к ферментсубстратной реакции, схема которой была представлена выше (см. (54)). В соответствии с этой схемой суб­ страт S, взаимодействуя с ферментом Е, образует комплекс ES,

который претерпевает химическое превращение, в результате чего образуется продукт Р и высвобождается фермент Е. Таким обра­ зом, катализатор, прокручивая реакцию, не расходуется и через определенное время снова готов к последующим каталитическим циклам.

Для краткости обозначим концентрации реагентов малыми буквами: s = [S], е = [£], с = [£5], р = [Р].

Всоответствии с законом действующих масс и по аналогии

суравнениями (56), (62) выпишем систему уравнений реакции:

d s

= - k l e s + k _ ]c ,

d t

d e

= - k ]e ' S + k _ ]c + k 2c ,

~ d t

(64)

d c

= k {e s - k _ xc - k 2c ,

T t

d p

= k 2c .

d t

Рассмотрим следующие начальные условия для системы (64). Пусть в начальный момент времени имеем следующее распределе­ ние концентраций веществ:

Заметим, что последнее уравнение в системе (64) отличается от первых трех тем, что переменная р не входит в правую часть диффе­ ренциального уравнения, т. е. р может быть найдено прямым интег­ рированием функции, стоящей в правой части этого уравнения:

t

о

Таким образом, концентрация продукта р полностью опреде­ ляется концентрацией субстратферментного комплекса с.

Далее, поскольку фермент в реакции не расходуется и может находиться в одном из двух возможных состояний — свобод­ ном состоянииЕ или связанном с субстратомES, тов соответст­ вии с закономсохранения сумма концентраций е + с постоянная и в соответствии с выбранными начальными условиями равна начальной концентрации фермента е0:

Это же соотношение мы получим, если сложим второе и тре­ тье уравнения системы (64), правые части которых отличаются только знаками.

Постоянство общего количества фермента позволяет исклю­ чить одно из дифференциальных уравнений системы (64), заменив

алгебраическим:

е = е0 - с .

Следовательно, поведение всей системы может быть описано двумя существенными переменными: концентрацией расходуемого субстрата s и концентрацией субстратферментного комплекса с:

Ц- = - k ^ { e Q- c ) - s +k_x c,

Проведем обезразмеривание системы (68). В первом уравне­ нии поделим слагаемые слева и справа на s0eQkv

Перепишем уравнения системы (68) в виде

Второе уравнение аналогично делим на sQk {e0, кроме того, левую часть делим и умножаем на е0:

Введем новые безразмерные переменные и параметры:

Заметим, что в обезразмеренной системе переменные х и у изменяются в одинаковом диапазоне значений [0,1] независимо от соотношения концентраций субстрата и фермента в исходной системе.

В новых обозначениях получим следующую систему:

dx

= - ( \ - у ) х + а у ,

Поскольку реакция превращения ферментсубстратного ком­ плекса необратима, уже из схемы реакций ясно, что с течением времени весь субстрат будет превращен в продукт и в стационар­ ном состоянии концентрации субстрата и комплекса станут равны нулю: х = 0 , у = 0.

3.1.5, Редукция ферментсубстратной системы

Как следует из приведенного выше словесного анализа пове­ дения переменных х и у и как показано на рис. 23, jc(t) и у { т) асимп­ тотически стремятся к нулю при выбранных начальных условиях. При этом видно, что на относительно коротком начальном проме­ жутке времени y(i) меняется значительно быстрее, чем х(т).

Перепишем уравнение для^(т) в (73) в нормальной форме:

ния у(т), т. е. правая часть уравнения (74), благодаря множителю 1/г значительно превышает скорость изменения х(т) (здесь s — малый параметр). Другими словами, почти во всех точках фазовой пло­ скости (jc, у) вектор скорости (i, у) будет направлен почти верти­ кально (так как вторая координата значительно превышает первую по модулю). Исключения составляют только точки (х,у), в которых У близко к нулю, т. е. лежащие на или вблизи линии, определяемой равенством у = 0 в уравнении (74) или, что то же самое, в уравне­ нии (73):

Заметим, что линия (75) является изоклиной горизонтальных касательных для системы (73). Изоклина вертикальных касатель­ ных системы (73) (т. е. линия, вдоль которой х = 0) имеет похожий вид:

- ( \ - у ) - х + а - у = 0

или, в эквивалентной форме,

х

У= ------- •

х+ а

Изоклина вертикальных касательных лежит выше изоклины горизонтальных касательных (а < у), за исключением точки (0 ,0 ) — единственной точки покоя системы (73), где изоклины пересека­ ются в первом квадранте (рис. 24).

Следовательно, можно ожидать, что траектории (х(т), у(х)) в интересующей нас части фазовой плоскости имеют почти вер­ тикальные участки, по которым происходит движение изобража­ ющей точки вплоть до приближения к изоклине у - 0 (75). Затем движение изображающей точки продолжается по направлению к точке покоя вблизи этой изоклины, поскольку большие по абсо­ лютной величине значения у вне этой изоклины не дают фазовой точке (*(т), у (т)) от нее удаляться.

Фазовый портрет системы (73) изображен на рис. 24.

Рис. 24. Фазовый портрет модели ферментсубстратной реакции (системы (73))

Сопоставление рис. 23 и 24 показывает, что движение изобра­ жающей точки по почти вертикальным участкам фазовой траекто­ рии, например, соответствующим фазе нарастания величины у(т) на фазовых траекториях системы (73), выходящих из точек с коор­ динатами (jc0, 0 ), происходит в течение сравнительно коротких начальных интервалов времени по отношению ко времени после­ дующего движения вдоль изоклины у = 0 (75) в направлении точки покоя (0 ,0 ).

Все сказанное выше может быть строго обоснованно благо­ даря качественному анализу системы (73), исследованию харак­ тера ее точки покоя и определению характеристических времен изменения ее переменных.

Действительно, нетрудно убедиться, что система (73) имеет в первом квадранте единственную точку покоя (0,0). Анализ устой­ чивости этой точки покоя с использованием теоремы Ляпунова показывает, что она является устойчивым узлом.

При этом действительные отрицательные собственные числа < 0 и Х2 < 0 системы первого приближения в окрестности точки покоя имеют абсолютные величины существенно различных порядков, а именно, | X, |~ 1 для переменной JC( T ) и | Х2 1~ 1 / г для переменной у{т). В предположении малости е это означает, что переменная х медленная, а у — быстрая, с характеристическими

временами порядка 1 и г соответственно.

Решение системы первого приближения (линейной системы ОДУ) представляет собой линейную комбинацию экспоненциаль­ ных функций ехр(^,т) и ехр(>-2 т). Слагаемое, содержащее ехр(>*2 т), достаточно быстро затухает, значит, быстрая переменная вносит вклад в решение системы на относительно коротких интервалах времени (порядка г). Поведение решения системы первого при­ ближения на более продолжительных интервалах времени опре­ деляется в основном слагаемым, содержащим множитель ехр(Х,т),

т.е. определяется поведением медленной переменной. Естественно было бы ожидать подобного поведения и для

исходной нелинейной системы (73), по крайней мере в окрестно­ сти точки покоя. И действительно, как мы видели на рис. 23 и 24, на коротком промежутке времени после начала реакции поведение решения системы (73) в основном диктуется изменением быстрой переменной^ (вертикальные участки фазовых траекторий), а затем фазовая траектория проходит вблизи линии j^ = 0 и движение по ней определяется изменением медленной переменной х. Другими словами, начиная с некоторого времени (немного позже начала реакции), быстрая стадия образования ферментсубстратного комплекса в реакции (54) почти мгновенно отслеживает текущее

значение концентрации субстрата х, приводя концентрацию ферментсубстратного комплекса у в стационарное значение, удовлет­ воряющее равенству у = 0, т. е. соотношению (75) для данного х.

Система (73), в которой в одном из уравнений присутствует малый множитель при производной, является примером системы с сингулярным возмущением [30, 72].

Проведенный выше качественный анализ системы (73)

и использовать «квазистационарность» переменной^ (т. е. соотно­ шение (75)) при всех текущих значениях х.

Формально нам это позволяет сделать теорема Тихонова, которая устанавливает условия редукции системы дифферен­ циальных уравнений с малым параметром [30, 34] (условия замены дифференциальных уравнений для быстрых переменных алгебраическими).

Приведем здесь формулировку теоремы Тихонова. Пусть полная система имеет вид

%- = F(x,y),

at

e ^ =G(x,y). at

Второе уравнение этой системы называется присоединенным. Вырожденная (псевдостационарная или редуцированная)

система получается, если формально положить а = 0 в уравнении для быстрой переменной:

^j- = F(x,y), G(x,y) =0. at

Решение полной системы стремится к решению вырожденной системы при а —►0 , если:

1 ) решения полной и присоединенной системы единственны, а правые части непрерывны;