пособие мат.моделирование

Линеаризация:

P; = 2 X Y - ( B + I ) , P; = X \

Q'x = B-2XY,Q 'y = - X \

Напомним, что особая точка является устойчивой, если дей­ ствительные части корней характеристического уравнения отри­ цательны. Из выражения (148) видно, что при В< 1 + А2 особая точка (142) устойчива. Если же В > 1 + А2, особая точка становится неустойчивой и у системы (137) появляется устойчивый предель­ ный цикл. Значение В = 1 + А2 является бифуркационным. Если

величина В лишь немного превосходит бифуркационный порог, автоколебания в системе носят квазигармонический характер.

Таким образом, брюсселятор при выполнении условия В > 1 + А2 является автоколебательной системой. Фазовый пор­ трет брюсселятора при разных значениях параметров изображен на рис. 61.

Рис. 61. Фазовый портрет системы брюсселятор при В > 1+ А2 (а)

иВ < 1+ А2 (б)

В1958 г. появилось первое сообщение о чисто колебатель­ ной химической реакции. Б. П. Белоусов наблюдал периодическое изменение окраски раствора, в котором происходило окисление лимонной кислоты бромат-ионом (ВЮ3) в присутствии ионов церия [8 ]. Реакция Белоусова — Жаботинского не только пред­

ставляет собой еще один классический пример автоколебаний в химической системе (и соответствующей точечной модели), но и демонстрирует образование пространственных структур в слу­ чае распределенной системы, когда кроме реакции в ней еще имеет место диффузия веществ.

Более подробный материал по моделям автоколебаний в био­ химических системах можно найти также в [18, 73].

6. МОДЕЛИ ТРАНСПОРТА ВЕЩЕСТВ ЧЕРЕЗ БИОМЕМБРАНЫ

6.1. Диффузия

6.1.1.Клеточные мембраны

Клетка — элементарная единица строения и жизнедеятельно­ сти всех живых организмов.

Существуют разные типы клеток, например, нервные, мышечные, эндокринные, почечные и т. д. Практически все клетки обла­ дают универсальными механизмами жизнедеятельности, но в то же время выполняют свою специфическую функцию. Клетки раз­ личаются по форме и размеру. Число клеток различно в разных тканях, наибольшее число — в тканях нервных. Некоторые клетки активно делятся, например, печеночные, почечные, а, например, сердечные и нервные практически не делятся. Начиная с постнатального периода происходит только увеличение размеров сердеч­ ных и нервных клеток, а их число почти не меняется.

С термодинамической точки зрения живая клетка представ­ ляет собой открытую систему. Она поглощает пищевые продукты извне, использует их для построения собственных структур и энер­ гообеспечения. Все живые клетки находятся вдали от термодина­ мического равновесия. Они могут быть в стационарном состоянии, но не в равновесном.

Клеточная мембрана (плазматическая мембрана) отделяет содержимое клетки от внешней среды, обеспечивая ее целостность, регулирует обмен веществ между клеткой и внешней средой.

На рис. 62 маленькие голубые и белые шарики соответствуют гидрофильным «головкам» липидов, а присоединенные к ним

Основные функции биомембран

1. Барьерная. Мембрана служит барьером для свободного потока веществ в клетку и из клетки. Таким образом мембрана обеспечивает регулируемый избирательный обмен веществ с окружающей средой. Избирательная проницаемость означает, что проницаемость мембраны для различных атомов или моле­ кул зависит от их размеров, электрического заряда и химических свойств, а также состояния самой мембраны. Избирательная про­ ницаемость обеспечивает отделение клетки от окружающей среды

иснабжение ее необходимыми веществами.

2.Транспортная. Через мембрану происходит транспорт веществ в клетку и из клетки. Транспорт через мембрану обеспе­ чивает доставку питательных веществ, удаление конечных продук­ тов обмена, создание ионных градиентов, поддержание в клетке соответствующей ионной концентрации. Например, транспорт ионов осуществляется через ионные каналы, которые представ­ ляют собой макромолекулы — белковые структуры.

3.Электрическая. Мембрана участвует в генерации элек­ трических потенциалов и проведении электрического сигнала от клетки к клетке. Различие количества ионов внутри и снаружи клетки создает разность потенциалов на мембране, которая может меняться специфическим образом, обеспечивая возбуждение, например, нервных или сердечных клеток.

Внутриклеточная и внеклеточная среда состоит из ионизо­ ванных водных растворов солей, преимущественно NaCl и КС1, которые в диссоциированном состоянии разлагаются на ионы Na+, К+ и СГ. Концентрации этих ионов, а также других ионов, напри­ мер Са2+, различны внутри и снаружи клетки (табл. 2). Концентра­ ции Na+ и Са24 внутри клетки меньше, чем снаружи клетки, а кон­ центрация К+ больше внутри, чем снаружи клетки. Поддержание такого неравновесного соотношения концентраций требует затрат энергии, которая, в частности, расходуется на транспорт ионов против градиентов концентрации.

* Таблица заимствована из монографии [56].

6.1.2. Вывод уравнения диффузии

Остановимся подробнее на транспортной функции мембран.

Транспорт веществ через мембрану разделяется на пассивный и активный.

Пассивный транспорт предполагает движение частиц (моле­ кул, ионов) из области с более высокой концентрацией в область с более низкой концентрацией («спуск с горы»), поэтому он не требует дополнительных затрат энергии. К пассивному транспорту относятся следующие виды транспорта веществ:

1 ) диффузия — свободное перемещение частиц вещества в силу броуновского движения по градиенту концентрации;

2 ) облегченная диффузия — диффузия в свободной и связан­ ной с молекулами переносчика форме;

3)переносчиком опосредованный транспорт (carrier-mediated transport) — перенос вещества через мембрану в результате вза­ имодействия транспортируемого вещества с переносчиком и кон­ формации комплекса;

4)осмос — диффузия растворителя через полупроницаемые мембраны из области с меньшей концентрацией раствора в область

сбольшей концентрацией.

Активный транспорт переносит вещества из области низкой концентрации в область высокой концентрации («подъем в гору»), такой транспорт требует затрат энергии.

Рассмотрим основной вид пассивного транспорта вещества без затрат энергии, диффузию, — перенос частиц разной при­ роды, обусловленный хаотическим тепловым движением молекул (атомов).

В соответствии с законом сохранения вещества скорость изменения количества вещества = транспортный приход — рас­ ход + локальная продукция в единицу времени.

6.1.3. Одномерная диффузия

Рассмотрим одномерный случай, когда перенос вещества происходит вдоль некоторой оси, с которой сопряжена простран­ ственная координата х. Вначале будем предполагать, что внутрен­ ние источники вещества отсутствуют (продукция равна нулю), так что изменение количества вещества происходит только за счет диффузии.

Пусть и{jc, t) — концентрация вещества U, меняющаяся во вре­ мени t и пространстве х.

Рассмотрим тонкую длинную трубку (поперечное сечение трубки — 5), в которой частицы вещества могут свободно дви­ гаться (63).

Далее, заметим, что по формуле Ньютона — Лейбница спра­ ведливо равенство

хь Q

J{xa, t ) - J ( x h,t) = - \ — J(x, t)dx

и соответственно

Выпишем равенство соответствующих интегралов

^ д д

[ — и(х, t)dx = - [ — J(x , t)dx

и, перейдя от равенства интегралов к равенству подынтегральных выражений, получим закон связи скорости изменения концентра­ ции вещества и диффузионного потока в точке х:

Используем закон Фика, согласно которому поток вещества пропорционален градиенту концентрации:

Знак «-» означает, что вещество движется из области с более высокой концентрацией в область с более низкой концентрацией,

т.е. поток имеет обратный знак градиента концентрации.

Озаконе Фика и коэффициенте диффузии. Заметим, что

закон Фика не является таким основополагающим (constitutive), как закон сохранения вещества, а представляет собой один из феноменологических законов типа рассмотренного нами ранее закона действующих масс.

Понять его суть можно, изучив следующее приближе­ ние. Рассмотрим диффузию через тонкий фрагмент стержня

длиной е, окружающий сечение стержня в точке JC, т. е. интервал

Рис. 64. Диффузия через тонкий фрагмент стержня длиной 8 , окружающий сечение стержня в точке jc, т. е. интервал (jc -e /2 , jc + e / 2 )

Количество молекул вещества, пересекающих границу этого интервала слева, можно считать пропорциональным концентра­ ции и{х - е / 2 ), а количество молекул вещества, выскакивающих за пределы рассматриваемого интервала, пропорционально концен­ трации на правом конце и(х + г / 2 ), при этом вероятность проско­ чить сечение х обратно пропорционально расстоянию до него, т. е. длине интервала е.

Таким образом, можно записать, что поток через сечение стер­ жня в точке х пропорционален следующей дроби:

8

откуда, переходя к пределу при е —►0 , получим

дх

а коэффициентом пропорциональности является коэффициент диффузии D в формуле Фика (150).

Рассмотрим размерность коэффициента диффузии D.

Поток имеет размерность количество/площадь/время, т. е. г г 1 моль

И = см2 - с Градиент концентрации имеет размерность количество/объем/

моль

длина: [н^]