пособие мат.моделирование

этой зависимости имеет характерный 5-образный характер и назы­ вается кривой Хилла [56] (рис. 32).

Рис. 32. Кривая Хилла для скорости ферментсубстратной реакции с двумя активными центрами связывания субстрата

Если концентрация s мала, то s2— величина большего порядка малости и в формуле (104) ею можно пренебречь:

Таким образом, при s ~ 0 формула (104) дает значения скоро­ сти реакции, близкие к скорости в классической формуле Михаэлиса — Ментен при отсутствии второго центра, т. е. кооператив­ ный эффект незначителен.

Когда s растет, роль слагаемых, содержащих s2, возрастает и максимальная скорость реакции пропорциональна константе скорости кл для преобразования комплекса с двумя присоединен­ ными молекулами субстрата:

v ~ e 0-k4.

Рассмотрим далее две пограничные ситуации.

1. Два активных центра связывают субстрат независимо друг от друга.

Обозначим константу скорости связывания молекулы субстрата с одним из активных центров &f, соответствующую константу рас­ пада — а константу скорости образования продукта — к .

Когда фермент свободен, то вероятность связывания с одним

из двух доступных центров в два раза больше по сравнению с к+,

т. е. к{ = 2 • к+(в соответствии со схемой вероятность одновремен­ ного связывания с двумя центрами полагается равной нулю). Рас­ суждая аналогично, имеем

кх= 2-к3=2-к+; к_ъ=2-к_х=2-к_\ к4 = 2-к2=2кр.

Подставим эти соотношения в выражения для констант

Михаэлиса:

== -----1 --------~ = 2 К,

кг К

где

к+кв

К= - р-

есть константа Михаэлиса для реакции с одним центром связыва­ ния субстрата.

Подставим эти выражения в формулу (104):

где vmax — максимальная скорость реакции с одним центром. Таким образом, скорость удваивается по сравнению со скоро­

стью реакции с одним местом связывания субстрата. То есть, если связывание одной молекулы субстрата не влияет на связывание другой, емкость фермента как бы увеличивается пропорционально количеству мест связывания субстрата.

2. Присоединение одной молекулы субстрата почти мгно­ венно влечет присоединение второй молекулы.

Положим, что к ъ, так что можно использовать следующие соотношения:

к х = 0; к ъ = оо; к х ' к ъ = const,

где последнее соотношение указывает на конечную константу ско­ рости образования комплекса с двумя присоединенными молеку­ лами субстрата. Тогда справедливы следующие соотношения:

Эта функция называется функцией Хилла с параметром Хилла я = 2 , равным степени концентрации s.

На рис. 33 кривая Хилла сравнивается с гиперболической

функцией v = vmax , соответствующей реакции с одиночным

K + s

центром (/1=1) при одинаковых значениях vmax. Видно, что при малых s гиперболическая функция близка к линейной, а кривая Хилла ближе к квадратичной функции и лежит ниже гиперболы. Точка пересечения кривых s = К, при s > К кривая Хилла лежит выше гиперболы. Асимптота в обоих случаях одна и та же: v = vmax. То есть при малых концентрациях s кооперативность ферментсубстратного взаимодействия приводит к снижению скорости реак­ ции, а при больших s, напротив, к ускорению реакции.

В общем случае, когда у молекулы фермента имеется п актив­ ных центров, формула скорости описывается следующей функ­ цией Хилла:

3.2.4. Ингибирование субстратом

Рассмотрим частный случай реакции (101), когда преобразо­ вание комплекса в продукт не происходит в случае двух присоеди­ ненных модекул субстрата, т. е. к4 = 0 [24].

Тогда скорость реакции выражается следующим образом:

Заметим, что, в отличие от всех рассмотренных выше при­ меров, где наблюдалась максимальная скорость насыщения при достаточных больших концентрациях субстрата s, в этом случае скорость реакции в пределе стремится к нулю. Таким образом, происходит ингибирование реакции при увеличении концентра­ ции субстрата s.

На рис. 34 представлен график скорости v. Видно, что при увеличении концентрации субстрата s достигается некоторое кри­ тическое значение, которому соответствует максимальная ско­ рость реакции. Дальнейшее увеличение концентрации s приводит к уменьшению скорости реакции, поскольку начинает преобладать форма комплекса с двумя связанными центрами, из которой не образуется продукт.

В природе такие механизмы могут играть регуляторную роль. Подобные процессы называются процессами с отрицательной обратной связью. Известны также реакции с ингибированием про­ дуктом. Так, например, если промежуточный или конечный про­ дукт реакции является ее ингибитором, будет наблюдаться само­ торможение реакции — скорость будет уменьшаться быстрее, чем уменьшаются концентрации реагентов.

Рис. 34. Скорость реакции при ингибировании субстратом

В следующем разделе мы рассмотрим реакцию с ингибирова­ нием субстратом в более реалистичных условиях, когда в системе предполагается динамический вход и выход субстрата, и увидим, к чему может приводить нелинейность в такой биохимической системе.

4. ТРИГГЕРНЫЕ СИСТЕМЫ В БИОЛОГИИ

4.1. Биохимический триггер

Важной особенностью биологических систем является их способность переключаться из одного режима функционирования

вдругой, что соответствует нескольким устойчивым стационар­ ным состояниям системы.

Продолжим рассматривать пример ферментсубстратной реак­ ции с ингибированием субстратом, рассмотренный в предыдущем разделе (схема реакции представлена ниже, см. (111)). Напомним, что в этом случае фермент имеет два активных центра связывания субстрата, но преобразование комплекса в продукт не происходит

вслучае двух присоединенных молекул субстрата.

к ъ >1Т к _ ъ

ESS

Как было показано в разделе 3, зависимость скорости реак­ ции v от концентрации субстрата s выражается следующей форму­ лой (рис. 35):

В отличие от рассмотренных ранее примеров реакций сде­ лаем систему открытой, т. е. добавим обмен субстрата с внешней средой (см. схему реакции (113)) [23, 24]. Положим, что субстрат поступает в поле реакции извне с некоторой постоянной скоро­ стью, часть субстрата выводится из поля реакции со скоростью, пропорциональной текущей концентрации субстрата. При этом будем предполагать, что концентрация субстрата во внешнем источ­ нике I настолько велика, что можно не учитывать ее изменений за счет притока-оттока субстрата из поля реакции. Поэтому полагаем I = const.

Выпишем уравнение для изменения концентрации s в поле реакции с учетом формулы (112). При этом в соответствии с псевдостационарными представлениями мы считаем, что скорость рас­ хода субстрата равна скорости образования продукта в соответст­

Найдем стационарные состояния системы. Для этого решим

где

v(s) = ------------- F; w(s) = p - 8 - s . l +s + y-s

Другими словами, в равновесном состоянии обмен субстрата с внешней средой должен уравновесить расход субстрата на обра­ зование продукта.

Зафиксируем параметры 5 и у, а параметр р, отвечающий за скорость притока субстрата в поле реакции, будем варьировать и наблюдать за изменением стационарных состояний системы в зависимости от р.

Решения стационарного уравнения легко находятся графиче­ ски. На рис. 36 видно, как меняется количество точек пересечения графиков функций v(s) и w(s), т. е. сколько решений имеет уравне­ ние (115) при различных значениях параметра р.

При р = 0, т. е. при отсутствии поступления субстрата в поле