2.5 Некоторые приложения криволинейного интеграла II рода

1. Площадь плоской фигуры.

Площадь S плоской фигуры, расположенной в плоскостиОхуи ограниченной замкнутой линиейL, можно найти по формуле

Пример.

Найти площадь фигуры, ограниченной астроидой (рис. 25).

Кривая задана параметрическими уравнениями.

Н

Рис. 25

аходим ,, параметрt изменяется от 0 до 2π.

Составляем интеграл:

2. Работа переменной силы

Переменная сила на криволинейном участкеАВпроизводит работу, которая находится по формуле .

Пример: Найти работу силы вдоль кривойот очкиО(0;0)до точкиВ(1;1).

Вопросы для самоконтроля.

1. Задача, приводящая к понятию криволинейного интеграла.

2. Свойства криволинейных интегралов.

3. Вычисление криволинейных интегралов.

4. Между какими интегралами устанавливает связь формула Остроградского-Грина?

5. Условия независимости криволинейного интеграла II рода от пути интегрирования.

6. Приложения криволинейных интегралов.

Литература: [5] стр. 217-228, [6] стр. 407-418, [7] стр. 470-474.

Примеры : [2] стр. 47-52, [3] стр. 103-114, 119-127.

3. Элементы теории поля

Теория поля – крупный раздел физики, механики, математики, в котором изучаются скалярные, векторные, тензорные поля.

К рассмотрению скалярных и векторных полей приводят многие задачи физики, электротехники, математики, механики и других технических дисциплин. Изучение одних физических полей способствует изучению и других. Так, например, силы всемирного тяготения, магнитные, электрические силы – все они изменяются обратно пропорционально квадрату расстояния от своего источника; диффузия в растворах происходит по законам, общим с распространением тепла в различных средах; вид силовых магнитных линий напоминает картину обтекания препятствий жидкостью и т.д.

Рассмотрим скалярные и векторные поля.

3.1 Скалярное поле

Скалярным полемназывается область пространства, если каждой точкеМэтой области соответствует определенное числоU(М).

Другими словами: если в пространстве (х, y, z) имеется областьD, в которой задана функцияU=U(x,y,z), то говорят, что в областиDзадано скалярное поле.

Пример:

1. если U(x,y,z)– обозначает температуру в точке М, то говорят, что задано скалярное поле температур: в некоторой декартовой системе координат находится неравномерно нагретое тело и температура его в каждой точкеМ(x,y,z)известнаt˚=U(M). Тогда часть пространства, занятая телом, будет скалярным полем температур данного тела;

2. скалярное поле атмосферного давления, плотности (массы, воздуха), поле влажности;

3. скалярное поле солености воды (устье реки впадающей в море).

Если скалярная величина U(M)не зависит от времени то поле называетсястационарным(или установившимся).

Поле, которое меняется с течением времени, называется нестационарным.

Пример: поле температуры при охлаждении тела, поле влажности – нестационарное поле, поле плотности данного тела – стационарное.

Если функция зависит только от двух координат x иy, то поле функцииU(M)=U(x,y)называется плоскопараллельным.

Поверхности и линии уровня.

Рассмотрим скалярное поле, задаваемое функцией U=U(x,y,z).

Поверхностью уровняскалярного поля называется геометрическое место точек, в которых функцияU(M)принимает постоянное значение, т.е.U(x,y,z)=C (C–const).

Часто такие поверхности называются изоповерхностями.

Давая в уравнении U(x,y,z)=CвеличинеC различные значения, получим различные поверхности уровня, которые в совокупности как бы расслаивают поле. Через каждую точку проходит только одна поверхность уровня.

Для равномерно раскаленной нити поверхности уровня температурного поля (изотермические поверхности) представляют собой круговые цилиндры, общей осью которых служит нить.

В случае плоского поля U=U(x,y,z)равенствоU(x,y)=Спредставляет собой уравнениелинии уровня (изолинии).

На различных картах и схемах можно найти разнообразные изолинии - линии равных глубин или высот на географических картах, линии равного давления – изобары, линии равной температуры – изотермы на метеорологических картах.

Пример: 1) Для скалярного поля U=поверхностями уровня является множество концентрических сфер с центром в начале координат

=С

2) Дано скалярное поле. Построить линии уровня.

С=1- точка (0;0)

С=2=3 - окружность с радиусоми центром С(0;0)

С

Рис. 26

=3=8 - окружность с радиусоми центром С(0;0) (рис. 26)

Производная по направлению.

Для характеристики скорости изменения поляU=U(M)в заданном направлении введем понятие “производной по направлению”.

Возьмем в пространстве, где задано поле U=U(x,y,z)некоторую точкуМи найдем скорость изменения функции при движении точкиМв произвольном направлении (рис.27).

Пусть вектор имеет начало в точкеМ и направляющие косинусыcosα, cosβ, cosγ.

Приращение функции U возникающее при переходе от точкиМк точкев направлении вектораопределится как разность значений функцииUв точкахМиМ₁

Рис. 27

∆U=U()-U(M)или ∆U=U(x+∆x,y+∆y,z+∆z), тогда∆λ = .

Производной от функции U=U(x,y,z) в точкеМ по направлению называется предел

Рис. 27

Производная по направлению характеризует скорость изменения функции в точкеМпо этому направлению.

Если , то функция возрастает в этом направлении, если- убывает в направлении. Кроме того модульпредставляет величину мгновенной скорости изменения функцииUв направлениив точкеМ. Чем больше, тем быстрее изменяется функцияU. В этом состоит физический смысл производной по направлению.

Если функция U(x,y,z)дифференцируема в точкеМ, то производная по направлению=существует и находиться по формуле:

(3.1.1)

Замечание: понятие производной по направлению является обобщением понятия частных производных ,,. Их можно рассчитать как производные от функцииF по направлению координатных осейОx, Оy, Оz. Так, если совпадает с положительным направлением осиОх, то. Получаем.

Пример:

Найти производную функции в точкев направлении от этой точки к точке.

Решение:

Находим вектор {2;2;1} и направляющие косинусы:

, ,.

Находим частные производные:

=2х, =2у-4z,=-4y.

.

Находим производную по направлению по формуле (3.1.1)

функция в данном направлении убывает.

Градиент скалярного поля.

В каком направлении производнаяимеет наибольшее значение?

Можно заметить, что правая часть формулы для вычисления производной по направлению представляет собой скалярное произведение единичного вектора и некоторого вектора.

Вектор, координатами которого являются значения частных производных функций поля U(x,y,z)в любой точкеM(x,y,z)называютградиентом функциии обозначают.

(3.1.2) -величина векторная!

Свойства градиента:

1. градиент функции указывает направление наибыстрейшего возрастания функции.

Формулу (3.1.2) можно переписать в виде:

, , (3.1.3)

где - угол между вектороми направлением.

Из формулы (3.1.3) видно, если , то производная по направлениюдостигает максимального значения, а это значит,т.е. векторыи- совпадают.

2) наибольшая скорость изменения функции Uв точкеM равна

3) градиент направлен по нормали к поверхности уровня, проходящей через данную тучку в сторону возрастания функции.

4) единичный вектор нормали к поверхности уровня может быть вычислен как

Пример:

Найти скорость наибыстрейшего возрастания поля U=xyzв т.Р(1;2;-2)

Решение:

Скорость наибыстрейшего возрастания функции в точке равна модулю градиента в этой точке.

=yz

.

Отметим, что функция Uбудет убывать с наибольшей скоростью, если точкаPдвижется в направлении антиградиента.