Тема 1. Кратные интегралы.

Задача, приводящая к понятию двойного интеграла. Вычисление двойного интеграла в прямоугольной и полярной системах координат. Геометрические и физические приложения двойного интеграла. Тройной интеграл. Способы вычисления тройного интеграла. Приложение тройного интеграла.

Тема 2. Криволинейные интегралы.

Понятие криволинейного интеграла II рода. Способы вычисления криволинейного интеграла. Формула Остроградского-Грина. Приложения криволинейных интегралов.

Тема 3. Элементы теории поля.

Скалярное поле. Производная по направлению. Градиент. Векторное поле. Поток, дивергенция, циркуляция, ротор векторного поля. Специальные виды векторных полей.

Тема 4. Числовые и степенные ряды.

Основные понятия числовых рядов. Признаки сходимости числовых рядов. Знакочередующиеся ряды. Абсолютная и условная сходимость знакопеременных рядов. Степенные ряды. Интервал сходимости степенного ряда. Ряды Тейлора и Маклорена. Приложения степенных рядов.

Тема 5. Ряды Фурье.

Периодические функции и периодические процессы. Ряд Фурье. Разложение в ряд Фурье четных и нечетных функций. Представление непериодической функции рядом Фурье.

Тема 6. Элементы операционного исчисления.

Определение функции оригинала и функции изображения. Свойства преобразований Лапласа. Таблица оригиналов и изображений. Операционный метод решения линейных дифференциальных уравнений и их систем.

1. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

1.1 Двойной интеграл. Основные понятия. Геометрический смысл

Пусть в области DплоскостиOxyзадана непрерывная положительная функцияz=f(x, y).

Определение: Часть пространства, ограниченную снизу плоскостью Oxy, сверху поверхностьюz=f(x,y) и с боков цилиндрической поверхностью, образующая которой параллельна осиOz, направляющей служит контур областиD, называетсяцилиндрическим телом. Плоскую областьD называют основанием этого цилиндрического тела.

Р

Рис. 1

ассмотрим геометрическую задачу: вычислить объёмVцилиндрического тела, ограниченного снизу основаниемD, а сверху поверхностьюz=f(x,y), гдеf(x,y)>0(рис.1).

Р

Рис. 2

ешение: Известно, что объём цилиндра, ограниченного параллельными плоскостями, равен площади основания цилиндра умноженного на его высоту. В общем случае, когда цилиндр ограничен сверху произвольной поверхностью z=f(x,y), поступим следующим образом. Разобьём областьD (проекция поверхностиz=f(x,y)на плоскостьОxy) произвольным образом наn частей (областей)D_i , площади которых равны(рис.2). Рассмотрим цилиндрические столбики с основаниемD_i , ограниченные сверху кусками поверхностиz=f(x,y). В своей совокупности они составляют телоV ., - объем столбика с основаниемD_i,.

Возьмём на каждой площадке произвольную точку M_i(x_i,y_i) и заменим каждый столбик прямым цилиндром с тем же основаниемD_i, и высотойz_i=f(x_i,y_i) (рис. 3). Найдем объем каждого цилиндрического столбика:.

Т.о. построим цилиндрическое ступенчатое тело, объём которого можно считать приближенным значением искомого объема. . Это равенство тем точнее, чем больше числоn и чем меньше размеры областиD_i,.

Н

Рис. 3

ачнем неограниченно увеличивать число площадок. Диаметр (наибольшее расстояния между точками принадлежащими области D) будет стремиться к нулю, то есть каждая площадка будет стягиваться в точку. При этом ступенчатое тело будет всё плотнее заполнять данное цилиндрическое тело, а объёмV_n будет изменяться, стремясь к некоторому пределу. Естественно принять за величину объемаV данного цилиндрического тела тот предел, к которому стремитсяV_n при, то есть.

Отвлекаясь от геометрического смысла полученного предела, его называют двойным интегралом от функции z=f(x,y) по областиD и обозначают.

Итак, двойной интеграл определяется равенством

.

Величина двойного интеграла от неотрицательной функции равна объёму цилиндрического тела - геометрический смысл двойного интеграла.

Функцию z=f(x,y) называют подынтегральной функцией,D- область интегрирования,dxdy(илиds) - элемент площади.

Существует теорема, согласно которой для любой функции f(x,y)непрерывной в областиD , существует двойной интеграл, величина которого не зависит ни от способа разбиения областиD на части, ни от выбора точкиM_i(x_i,y_i) в каждой из частей.

Сравнивая определения двойного интеграла для функции двух переменных с определением определённого интеграла для функций одной переменной, нетрудно убедится в полной их аналогичности. Аналогичны и свойства этих интегралов.

Свойства двойного интеграла

1) константу можно выносить за знак интеграла

2) интеграл от алгебраической суммы двух функций равен сумме двух интегралов

3) если область D разбить линией на две областиD₁иD₂ такие, чтоD₁UD₂=D , то

4) т.к.