![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •Высшая математика
- •Тема 1. Кратные интегралы.
- •1.2 Вычисление двойного интеграла в декартовых координатах
- •1.3 Вычисление двойного интеграла в полярных координатах
- •1.4 Приложения двойного интеграла
- •1.5 Тройной интеграл
- •1.6 Вычисление тройного интеграла в декартовых координатах
- •1.7 Замена переменных в тройном интеграле.
- •1.8 Геометрические и физические приложения тройных интегралов
- •2. Криволинейные интегралы
- •2.1 Криволинейные интегралы второго рода. Основные понятия
- •2.2Вычисление криволинейных интегралов второго рода
- •2.3 Формула Остроградского – Грина.
- •2.4 Условия независимости криволинейного интеграла II рода от пути интегрирования
- •2.5 Некоторые приложения криволинейного интеграла II рода
- •3. Элементы теории поля
- •3.1 Скалярное поле
- •3.2 Векторное поле
- •3.3 Специальные виды векторных полей
- •3.4 Оператор Гамильтона. Векторные дифференциальные операции
- •4. Числовые и степенные ряды
- •4.1 Числовые ряды. Основные понятия.
- •4.2 Признаки сходимости числовых рядов
- •4.3 Знакочередующиеся ряды и знакопеременные ряды
- •4.4 Степенные ряды
- •4.5 Ряды Тейлора и Маклорена
- •4.6 Разложение некоторых элементарных функций в ряд Маклорена
- •4.7 Некоторые приложения степенных рядов
- •5. Ряды фурье
- •5.1 Периодические функции и процессы
- •5.2 Тригонометрический ряд Фурье
- •5.3 Разложение в ряд Фурье четных и нечетных функций
- •5.4 Разложение в ряд Фурье функций произвольного периода
- •5.5 Представление непериодической функции рядом Фурье
- •6. Элементы операционного исчисления
- •6.1 Оригиналы и их изображение
- •6.2 Свойства преобразований Лапласа
- •6.3 Отыскание оригиналов по изображениям
- •6.4 Операционный метод решения линейных дифференциальных уравнений и их систем
- •98309 Г. Керчь, Орджоникидзе, 82
3.3 Специальные виды векторных полей
Соленоидальное поле.
Поле вектора
называетсясоленоидальным или
трубчатым, если во всех его точках
дивергенция поля равно нулю:div
=0(нет источников и стоков).
Отличительная особенность соленоидального поля состоит в том, что в таком поле векторные линии нигде не кончаются и нигде не начинаются. Они уходят в бесконечность или замыкаются. Поле электрической напряженности точечного заряда является соленоидальным, векторными линиями являются лучи, выходящие из точки размещения заряда и уходящие в бесконечность.
В соленоидальном поле поток вектора через любую замкнутую поверхность равен нулю, а поток соленоидального поля через любое поперечное сечение векторной трубки имеет одно и то же значение, называющееся интенсивностью трубки.
Потенциальное поле
Векторное поле
называетсяпотенциальным(или безвихревым или
градиентным), если во всех точках поля
ротор равен нулю,
.
Основные свойства потенциального поля:
Циркуляция потенциального поля
по любому замкнутому контуру в этом поле равна нулю.
Для силового потенциального поля это означает, что работа силы по любому замкнутому контуру равна нулю; в поле скоростей текущей жидкости, равенство Ц=0означает, что в потоке нет замкнутых струй, т.е. нет водоворотов. В потенциальном поле отсутствуют вихри.
В потенциальном поле
криволинейный интеграл
вдоль любой кривойLс началом в точке
и концом в точке
зависит только от положения точек
и
и не зависит от формы кривой.
Потенциальное поле является полем градиента некоторой скалярной функции U(x,y,z), т.е. если
, то функцияU(x,y,z)такая, что
Потенциальное поле определяется заданием одной скалярной функции
U=U(x,y,z) – его потенциал.
Потенциал векторного поля может быть найден по формуле
Пример: Установить
потенциальность поля
и найти его потенциал.
В качестве фиксированной точки (х0, y0, z0) возьмем точку (0;0;0)
U(x,y,z)=
Примером
потенциального поля является электрическое
поле напряженности
точечного зарядаq.
Гармоническое поле
Векторное поле
называетсягармоническим, если оно
одновременно является потенциальным
и соленоидальным, т.е. если
и
.
Примером гармонического поля является поле линейных скоростей стационарного безвихревого потока жидкости при отсутствии в нем источников и стоков.
3.4 Оператор Гамильтона. Векторные дифференциальные операции
Основными
дифференциальными операциями (действиями)
над скалярным полем U=U(x,y,z)и векторным полемявляются
,
и
.
Действия взятия градиента, дивергенции
и ротора называются векторными операциями
первого порядка (в них участвуют только
первые производные). Эти операции удобно
записывать с помощью так называемогооператора Гамильтона(читается
«набла»)
Этот символический вектор называется ещё оператором набла . Этот оператор приобретает определенный смысл лишь в комбинации со скалярными или векторными функциями.
Умножение вектора
на
скалярную функциюU
и вектор
производится
по обычным правилам векторной алгебры,
а умножение символов
на величиныU, P,
Q, R
означает взятие соответствующей
частной производной от этих величин.
Применяя оператор Гамильтона, получим дифференциальные операции первого порядка:
Векторные дифференциальные операции второго порядка.
После применения оператора Гамильтона к скалярному или векторному полю получается новое поле, к которому можно снова применить этот оператор. В результате получаются дифференциальные операции второго порядка.
диф. операции 1-го порядка диф. операции 2-го порядка
U(M) |
|
grad U(M) |
|
div grad U(M) |
|
rot grad U(M) | |||
|
|
|
|
|
|
|
div
|
|
grad
div |
|
|
|
|
div
rot |
|
|
rot
|
|
rot
rot |
Существует пять дифференциальных операций второго порядка. Запишем некоторые формулы для дифференциальных операций 2-го порядка:
div grad U=
Наряду с оператором
Гамильтона в векторном анализе и его
приложениях используется оператор
Лапласа, обозначаемый символом ∆.
Оператор Лапласа определен следующей
формулой -
или
.
Выражение для div grad U можно записать следующим образом
div
grad U=
Применяя оператор Гамильтона легко получить
, т.к. векторное произведение двух одинаковых векторов равно нулю. Это означает, что поле градиента есть безвихревое поле.
, т.к. смешанное произведение трех векторов, из которых два одинаковые, равно нулю. Это означает, что поле вихря – соленоидальное, не имеет источников и стоков.
Вопросы для самоконтроля.
1. Что такое скалярное поле? Привести примеры скалярных полей.
2. Привести примеры нестационарных и стационарных скалярных полей.
3. Что такое линии уровня и как их найти?
4. Производная по направлению, градиент скалярного поля.
5. Какое поле называется векторным? Привести примеры векторных полей.
6. Поток и дивергенция векторного поля.
7. Как вычислить циркуляцию векторного поля?
8. Понятие ротора, связь между циркуляцией и ротором векторного поля.
9. Как называется векторное поле, если дивергенция равна нулю, если ротор равен нулю?
Литература: [4] стр. 272-275, [6] стр. 499-524.
Примеры : [4] стр. 303, [1] стр. 192-201.