4.2 Признаки сходимости числовых рядов

Необходимый признак сходимости числового ряда. Гармонический ряд.

Теорема: (необходимый признак сходимости)

Если ряд сходится, то его общий членстремится к нулю при неограниченном возрастанииn, т.е.

Следствие: (достаточное условие расходимости ряда)

Если или этот предел не существует, то ряд расходится.

Пример: Исследовать сходимость ряда

ряд расходится.

Теорема дает необходимое условие сходимости ряда, но не достаточное, из условия , не следует, что ряд сходится.

Это означает, что существуют расходящиеся ряды, для которых .

Пример: гармонический ряд, но ряд расходится (доказательство позже).

Достаточные признаки сходимости знакопостоянных рядов.

Необходимый признак сходимости не дает, вообще говоря, возможности судить о том, сходится ли данный ряд или нет. Сходимость и расходимость ряда во многих случаях можно установить с помощью достаточных признаков.

Признаки сравнения рядов.

Сходимость или расходимость знакоположительного ряда часто устанавливается путем сравнения его с другим рядом, о котором известно, сходится он или нет.

Теорема 1.Пусть дан положительный ряд

, (4.2.1)

который нужно исследовать на сходимость. Пусть имеется также положительный ряд , (4.2.2)

о котором известно , что он сходится или расходится. Тогда:

1. если ряд (4.2.2) сходится и, начинается с некоторого значения n выполняется неравенство, то ряд (4.2.1) так же сходится (не превосходит);

1. если ряд (4.2.2) расходится и выполняется неравенство , то ряд (4.2.1) также расходится (члены рядане меньше соответствующих членов ряда).

Пример: Исследовать на сходимость ряд .

Сравним данный ряд с рядом геометрической прогрессии (ряд сходится т.к.). Имеем,(начиная с первого члена ряда), следовательно, данный ряд сходится.

Пример 2: Исследовать сходимость ряда .

Сравним с расходящимся гармоническим рядом . Имеем:. Следовательно, ряд расходится.

Теорема 2(предельный признак сравнения).

Пусть даны два знакоположительных ряда (4.2.1) и (4.2.2). Если существует конечный и отличный от нуля предел , то рядыисходятся или расходятся одновременно.

Пример: Исследовать сходимость ряда .

Общий член ряда . Сравним с гармоническим рядом. Составим предел:

т.к. гармонический ряд расходится, то расходится и исходный ряд.

Признак Даламбера.

В отличие от признаков сравнения, где все зависит от догадки и запаса известных сходящихся и расходящихся рядов, признак Даламбера позволяет часто решить вопрос о сходимости ряда, проделав лишь некоторые операции над самим рядом.

Теорема 3 (Признак Даламбера)

Если в ряде с положительными членами отношение (n+1)-го члена кn-му приимеет конечный пределр, т.е., то

1) ряд сходится, если ;

2) ряд расходится, если ;

3) если р=1,то ряд может как сходится, так и расходится.

4) ряд будет расходится и в том случае, если .

Замечание: признак Даламбера целесообразно применять, когда общий член ряда содержит выражение вида n!или .

Пример: - исследовать сходимость ряда.

Составляем предел

- ряд расходится.

Радикальный признак Коши.

Теорема 4. Пусть дан ряд с положительными членамии существует конечный предел, тогда

при ряд сходится;

при ряд расходится;

при р=1вопрос о сходимости остается открытым.

Пример:

Составим предел

Интегральный признак Коши

Теорема 5. Пусть члены рядаположительны и не возрастают, т.еи пустьf(x)- такая непрерывная и невозрастающая функция , что, тогда верны следующие утверждения:

1. если несобственный интеграл сходится, то сходится и ряд;

1. если указанный интеграл расходится, то расходится и ряд .

Замечание: вместо интеграла можно брать интеграл, где.

Отбрасывание kпервых членов ряда не влияет на сходимость (или расходимость) ряда.

Пример (доказательство расходимости гармонического ряда): исследовать на сходимость гармонический ряд .

Составим интеграл . Интеграл расходится. Следовательно, расходится и гармонический ряд.

Обобщенный гармонический ряд.

Рассмотрим ряд , гдедействительное число. Ряд называетсяобобщенным гармоническим рядом.

Для исследования ряда применим интегральный признак Коши. Рассмотрим функцию , функция непрерывна, монотонно убывает на промежуткеи, при

=

При р=1имеем гармонический ряд, который расходится. Таким образом, обобщенный гармонический рядсходится прии расходится при.

Пример: , ряд сходится.