1 Линейные системы управления

1.1 Линеаризация нелинейных уравнений

На практике все системы управления нелинейные, однако в некоторых случаях нелинейности настолько малы, что их эффект незначителен, или при больших нелинейностях система работает на линейных участках.

Процесс замены нелинейных уравнений близкими к ним по динамическим свойствам линейными уравнениями называетсялинеаризацией.

Существует несколько приёмов линеаризации. В данном подразделе рассматривается линеаризация, в основе которой лежит разложение нелинейностей в ряд Тейлора. Ниже дается упрощенная процедура линеаризации.

Пусть дана функция

. (1.1.1)

Предполагается, что система работает в режиме стабилизации, т.е.

. (1.1.2)

В идеальном установившемся режиме

. (1.1.3)

В действительности имеют место отклонения от точки (2), т.е.

. (1.1.4)

Предполагается что на порядок меньше.

Подставим (4) в (1). Тогда

. (1.1.5)

Последним слагаемым в (5) вследствие малости можно пренебречь.

Вычтем из (5) (3). Получим

. (1.1.6)

Уравнение (6) линейно относительно новых переменных .

Геометрический смысл линеаризации представлен на рис 2.

Линеаризация путём разложения в ряд Тейлора представляет собой перенос начала координат из т. О в т. О₁ и переход от переменных к новым переменным . В этом случае нелинейная функция АВ заменяется на касательную, проведенную в точке О₁.

Рисунок 1.1.2 – Геометрический смысл линеаризации

1.2 Две формы записи линейных дифференциальных уравнений

Пусть дано уравнение

, (1.2.1)

, .

Введём обозначение оператора дифференцирования . Тогда

. (1.2.2)

Найдем оператор интегрирования или , или , откуда .– оператор интегрирования.

Запишем уравнение (1) в операторном виде

.(1.2.3)

Первая форма записи

В первой форме выходная переменная записывается в одной части уравнения, а входные переменные – в другой, причём коэффициент при самой выходной переменной ()должен быть равен единице. Введем обозначения

.

Тогда уравнения (1) и (3) перепишутся в виде

, (1.2.4)

. (1.2.5)

В первой форме записи коэффициенты при любых физических переменныхимеют размерность времени. Это обеспечивает универсальность данной формы записи. Коэффициенты называют коэффициентами передачи. Если коэффициенты безразмерные, то они называются коэффициентами усиления. Коэффициенты называютсяпостоянными времени. Коэффициент , стоящий при старшей производной, характеризует инерционность звена. Чем больше, тем инерционнее процессы.

Вторая форма записи

Решим уравнение (5) относительно выходной переменной

, (1.2.6)

где

(1.2.7)

, (1.2.8)

(1.2.9)

–передаточные функции.

Передаточная функция равна отношению выходного сигнала к входному при записи дифференциального уравнения в операторном виде. Если использовать преобразование Лапласа, то передаточная функция равна отношению преобразованного по Лапласу выходного сигнала к преобразованному по Лапласу входному сигналу при нулевых начальных условиях. Передаточная функция показывает, какие математические операции надо проделать с входным сигналом, чтобы получить выходной сигнал. Уравнение (6) представляет собой вторую форму записи дифференциального уравнения (1), то есть запись через передаточные функции.

Вторая форма записи позволяет представить дифференциальное уравнение и систему дифференциальных уравнений в графическом виде. Для этого вводятся следующие графические обозначения:

Рисунок 1.2.1 – Сумматор

Рисунок 1.2.2 – Компаратор

Уравнение (6) в графическом виде будет выглядеть так:

Рисунок 1.2.3 – Структурная схема уравнения (1)