4.2 Запись дифференциальных уравнений в пространстве состояний

Пусть задано уравнение

, (4.2.1)

где – выходной сигнал,– входной сигнал.

Представим это уравнение в виде системы дифференциальных уравнений первого порядка, разрешённых относительно производных (Форма Коши). В данном случае для уравнения (1) существует бесконечное количество представлений в пространстве состояний. Всё зависит от выбора вектора состояния системы. В качестве координат вектора состояния системы выберем следующие координаты:

. (4.2.2)

Согласно (1) и (2), вновь введенные переменные подчиняются системе уравнений

(4.2.3)

Представим эту систему в векторно-матричном виде, введя обозначения

(4.2.4)

С учетом обозначений (4) система уравнений (3), а, следовательно, и уравнение (1) представляются в виде

. (4.2.5)

Запись в виде (4) и (5) называется представлением уравнения (1) в пространстве состояний. Вектор называетсявектором состояния.

Рассмотрим систему дифференциальных уравнений, описывающих систему управления

(4.2.6)

где – выходные переменные;

– коэффициенты;

– входные переменные (управляющие воздействия).

Если считать, что полностью определяют состояние системы, то в качестве вектора состояния можно выбрать вектор

.

Представим систему (6) в векторно-матричном виде, введя обозначения

.

. (4.2.7)

4.3 Описание работы двигателя постоянного тока (дпт) независимого возбуждения (нв) в пространстве состояний

Структурная схема ДПТ представлена на рис. 1.

Рисунок 4.3.1 – Структурная схема работы ДПТ НВ

На рис. 1 – напряжение, прикладываемое к якорной цепи двигателя;

– ЭДС двигателя;

– электромагнитный момент двигателя;

– момент нагрузки;

– момент инерции ротора;

– угловая скорость ротора;

– угол поворота ротора;

– выходные сигналы измерительных датчиков, соответственно, тока, угловой скорости, угла поворота;

– погрешности измерения;

– коэффициенты передачи датчиков;

–ток якоря;

– сопротивление и постоянная времени якорной цепи;

– конструктивная постоянная двигателя;

– магнитный поток;

– оператор дифференцирования.

Запишем систему уравнений, соответствующую рис. 1. Имеют место соотношения

(4.3.1)

с учетом которых

, (4.3.2)

, (4.3.3)

. (4.3.4)

На ДПТ воздействуют два внешних воздействия: и. Представим систему уравнений (2)-(4) в векторно-матричном виде. Введём в рассмотрение вектор состояния и матрицы

(4.3.5)

С учетом обозначений (5) система (2)-(4) перепишется в виде

(4.3.6)

В соответствии с рис. 1 введём в рассмотрение вектор измерения

(4.3.7)

где – матрица измерения, – вектор погрешностей измерения. Тогда уравнение (7) можно представить в векторно-матричном виде

(4.3.8)

В случае измерения только матрицабудет состоять только из третьей строки. При измеренииив матрицуне будет входить вторая строка.

4.4 Модальное управление в пространстве состояний

Рассмотрим систему

(4.4.1)

(4.4.2)

где – вектор состояния системы,

– вектор управления,

– вектор измерения,

– матрица объекта управления,

– матрица управления,

– матрица измерений.

Закон управления (регулятор) представим в виде

, (4.4.3)

где – матрица коэффициентов закона управления.

Подставим (3) в (1). Тогда

(4.4.4)

Запишем уравнение (4) в операторном виде, получим

, (4.4.5)

где – единичная матрица.

Если бы определитель матрицы в скобках не был равен 0, то из уравнения (5) следовало бы . Этот случай не имеет физической сути, т.к. в переходных процессах. Для того чтобы уравнение (5) давало нетривиальное решение, определитель матрицы в скобках должен равняться 0.

. (4.4.6)

Левая часть уравнения (6) называется характеристическим определителем для уравнения (4). Раскрыв определитель в (6), получим характеристическое уравнение.

Уравнение (4) должно быть асимптотически устойчивым. Поэтому для асимптотической устойчивости можно воспользоваться любым критерием устойчивости, с помощью которого выбирается матрица , элементами которой являются коэффициенты закона управления. Для того чтобы обеспечить заданный переходный процесс, удобно воспользоваться модальным управлением, рассмотренным в подразделе 4.1, с помощью которого выбираются коэффициенты закона управления. Однако это можно сделать не всегда. Это можно сделать только в том случае, когда система (1) является полностью управляемой. Когда это так, то пара матриц () называется полностью управляемой.

Полная управляемость означает, что существует управляющее воздействие , переводящее объект из любого начального состоянияв любое наперёд заданноеза конечный промежуток времени.

Условием полной управляемости является равенство ранга матрицы управляемости порядку системы .

(4.4.7)