2.12 Теорема Котельникова

Эта теорема даёт условия, при выполнении которых цифровую систему можно рассматривать как непрерывную. Структурную схему цифровой САУ можно укрупненно представить в виде рис. 1.

Рисунок 2.12.1 – Укрупненная структурная схема САУ с экстраполятором

На рис. 1 сигнал как выходной сигнал ЦАП с экстраполятором нулевого порядка представляет собой ступенчатый сигнал(рис. 2), который можно разложить на две составляющие: непрерывный сигнал(рис. 2) и периодический сигналс частотой квантования, составленный из отрезков прямых (рис. 2). Звенослужит фильтром низких частот для сигнала. Если звено будет пропускать только непрерывный сигнал, то САУ можно рассматривать как непрерывную систему и использовать для ее разработки методы непрерывных систем. О фильтрующих свойствах звена можно судить по АЧХ (рис. 3).

Теорема. Если АЧХ объекта управления можно ограничить частотой и считать, что правее этой частоты АЧХ = 0, то систему можно рассматривать как непрерывную при частоте квантования.

Рисунок 2.12.2 – Разложение ступенчатого сигнала x на составляющие x₁, x₂

Рисунок 2.12.3 – АЧХ объекта управления

2.13 Устойчивость движения цифровых сау

Как и для непрерывных САУ (см. подраздел 1.9), необходимым и достаточным условием асимптотической устойчивости цифровых систем является затухание собственных движений, т.е.

, (2.13.1)

где – собственная и вынужденная составляющие движения.

Характер переходных процессов определяется корнями характеристического уравнения исследуемой системы. Пусть характеристическое уравнение имеет порядок и– простые корни характеристического уравнения. Теория разностных уравнений дает следующее решение разностного уравнения:

. (2.13.2)

Корни характеристического уравнения можно представить в виде

. (2.13.3)

Модуль функции .

Теорема. Для того чтобы цифровая система была асимптотически устойчива, необходимо и достаточно, чтобы модули всех корней ее характеристического уравнения были меньше единицы.

Для того чтобы цифровая САУ была неустойчива, достаточно, чтобы модуль хотя бы одного корня был больше единицы.

Для того чтобы цифровая САУ была на границе устойчивости, необходимо и достаточно, чтобы у части корней модули равнялись единице, причем среди них не должно быть кратных, а модули остальных корней должны быть меньше единицы.

Этой теореме можно дать геометрическую интерпретацию с помощью рис. 1 и дать другую формулировку.

Рисунок 2.13.1 – Области расположения корней на плоскости z

Теорема. Для того чтобы цифровая система была асимптотически устойчива, необходимо и достаточно, чтобы все корни ее характеристического уравнения находились внутри окружности единичного радиуса.

Для того чтобы цифровая система была неустойчива, достаточно, чтобы хотя бы один корень характеристического уравнения находился вне окружности единичного радиуса.

Для того чтобы цифровая система была на границе устойчивости, необходимо и достаточно, чтобы часть корней характеристического уравнения находилась на окружности единичного радиуса, причем среди них не должно быть совпадающих, остальные должны находиться внутри окружности.

Для исследования устойчивости цифровых систем очень удобно использовать -преобразование. Вводится новая переменная по зависимостям

. (2.13.4)

-преобразование переводит внутренность окружности единичного радиуса (А) (см. рис. 1) в левую полуплоскость комплексной переменной (см. рис. 2). Саму окружность (С) переводит в ось , а внешнюю область по отношению к окружности (В) – в правую полуплоскость. В результате этого для исследования устойчивости цифровой системы можно использовать все критерии устойчивости, разработанные для линейных непрерывных систем.

Рисунок 2.13.2 – Области расположения корней на плоскости w

Пример. Исследовать на устойчивость систему с характеристическим уравнением

. (2.13.5)

Сделаем -преобразование, получим

.

Приведем это уравнение к общему знаменателю

или

, (2.13.6)

где

. (2.13.7)

Для асимптотической устойчивости системы с характеристическим уравнением (6) необходимо и достаточно, чтобы выполнялись условия

. (2.13.8)

Построим область устойчивости в плоскости параметров А, В, используя соотношения (7), (8) (см. рис. 3). Цифровая система с характеристическим уравнением (6) будет иметь в качестве области устойчивости внутренность треугольника.

Рисунок 2.13.3 – Область устойчивости на плоскости параметров АВ

Для исследования цифровой системы частотными методами надо ее передаточные функции записать с помощью оператора сдвига . Затем воспользоваться-преобразованием (4). В результате получим передаточную функцию цифровой системы, выраженную через оператор, а для данных передаточных функций можно использовать частотные критерии устойчивости, разработанные для непрерывных систем.