2.7 Вычисление дискретной передаточной функции звена или группы звеньев по непрерывной передаточной функции

Непрерывную передаточную функцию разлагают на простейшие дроби методом неопределенных коэффициентов (см. (2.4.15), (2.4.16))

. (2.7.1)

Для каждого слагаемого находится функция веса или аналитически по соответствующему дифференциальному уравнению, или по таблице (справочники). По этим весовым функциям с помощью формулы z-преобразования

(2.7.2)

находится дискретная передаточная функция. В результате искомая передаточная функция находится в виде

. (2.7.3)

Существует и более простой метод с помощью таблиц, где для непрерывных передаточных функций типовых звеньев приведены соответствующие дискретные передаточные функции. В пакете Matlab имеются программы пересчета непрерывной передаточной функции в дискретную и обратно.

2.8 Системы с экстраполятором нулевого порядка

Интерполяция – построение функции в промежутке между известными её значениями.

Экстраполяция – прогноз поведения функции по её предыдущим значениям.

Различают экстраполяторы различных порядков (см. рис. 1).

В экстраполяторе нулевого порядка сохраняется значение импульса до поступления следующего импульса. В экстраполяторе первого порядка (линейная экстраполяция) вершины предыдущего и последующего импульсов соединяются прямой, которая продолжается до следующего импульса. В экстраполяторе второго порядка по трем последним импульсам строится парабола, которая продолжается до следующего импульса и т.д. По причине простоты в системах управления большее распространение получили экстраполяторы нулевого порядка. Роль экстраполятора выполняет ЦАП (см. рис. 2).

Рисунок 2.8.1 – Схема экстраполяций различных порядков

Рисунок 2.8.2 – Функциональная схема системы управления с ЦВМ

На рис. 2 АЦП – аналого-цифровой преобразователь;

СРП – счетно-решающий прибор (ЦВМ);

ЦАП – цифро-аналоговый преобразователь;

ОУ – объект управления.

На рис. 3 показаны входной (1) и выходной (2) сигналы ЦАП.

Рисунок 2.8.3 – Входной и выходной сигналы ЦАП

На рис. 4 представлена структурная схема ЦАП, где – передаточная функция формирователя.

Рисунок 2.8.4 – Структурная схема ЦАП

Если формирователь представляет собой экстраполятор нулевого порядка, то

.

Тогда импульс с постоянным сигналом на интервале времени (см. рис. 5а) можно сформировать как сумму сигналов, изображенных на рис. 5б и 5в. Графики можно рассматривать как весовые функции, т.е. весовая функция импульса длительностью может быть определена выражением

. (2.8.1)

Нас будет интересовать передаточная функция формирователя. Известно, что

. (2.8.2)

Подстановка (1) в (2) даёт

. (2.8.3)

Рисунок 2.8.5 – Последовательное формирование импульса длительностью T₀

В результате структурную схему, соответствующую функциональной схеме на рис. 2, можно представить в виде рис. 6. Для удобства все непрерывные передаточные функции объединяют в одну передаточную функцию , где

Рисунок 2.8.6 – Структурная схема САУ с экстраполятором нулевого порядка

. (2.8.4)

Найдём дискретную передаточную функцию для , при этом будем иметь в виду, что передаточная функциясоответствует сдвигу вправо на величину, т.е. . Тогда

Окончательно будем иметь

(2.8.5)

В качестве примера найдем дискретную передаточную функцию двигателя постоянного тока, управляемого по положению с экстраполятором нулевого порядка, по его непрерывной передаточной функции .

Решение.

Для каждого слагаемого в правой части по таблицам можно найти соответствующие дискретные передаточные функции. В результате получим

где, как и ранее, – такт счета.

В результате с гибридной (непрерывно-цифровой) структурной схемой рисунка 6 можно сопоставить дискретную структурную схему, представленную на рис. 7.

Рисунок 2.8.7 – Укрупненная дискретная структурная схема САУ с экстраполятором нулевого порядка

На рис. 7 z-преобразованные сигналы определены выражениями