x = λ0e + z, где z L. Для вычисления λ0 умножим скалярно обе части равенства на e. Так как (z, e) = 0, получим (x, e) = λ0(e, e) = λ0.

Ортогональные и ортонормированные системы

Определение 5.5. Если L – подпространство гильбертова пространства H, то совокупность M всех элементов из H, ортогональных к L, называется

ортогональным дополнением к L.

Докажем, что M – тоже подпространство.

1) Из свойства 3) для ортогональных элементов вытекает, что M – линейное подмножество пространства H.

2) Пусть zn M и zn → z. По определению M zn y для любого y L, а по свойству 4) для ортогональных элементов имеем z y. Следовательно, z M и M замкнуто.

Для любого x H по теореме 5.3 существует единственное разложение

вида x = y + z, где y L, z M, т.е. подпространства L и M образуют

ортогональное разложение пространства H.

Лемма 5.1. Пусть задано конечное или счетное множество попарно ортогональных подпространств Ln и пусть элемент x H представим в виде

x = ∑yn , где y L. Тогда такое представление единственно и yn = PrLn x .

n

Определение 5.6. Система ортогональных подпространств Ln называется полной, если в пространстве H не существует ненулевого элемента, ортогонального всем Ln.

Определение 5.7. Конечная или счетная система элементов hn гильбертова пространства H называется ортогональной, если hn hm при n ≠ m. Определение 5.8. Ортогональная система hn называется ортонормированной, если ||hn|| = 1.

Определение 5.9. Ортогональная система hn называется полной, если не существует такого ненулевого элемента x H, что x hn при всех n.

Можно проверить, что ненулевые элементы ортогональной системы линейно независимы.

Примером полной ортонормированной системы в l2 является система всех координатных ортов.

83

Теорема 5.4. Если элемент x H может быть представлен в виде

x = ∑λn hn , то это представление единственно и коэффициенты λn равны

n

Это представление x называется разложением Фурье (ортогональным разложением) элемента x по элементам hn.

Теорема 5.5. Для того, чтобы любой элемент x H мог быть представлен своим разложением Фурье по элементам hn ортонормированной системы, необходимо и достаточно, чтобы эта система была полной.

Из этой теоремы следует, что в n–мерном гильбертовом пространстве полная ортонормированная система должна состоять из n элементов. С другой стороны, если в n–мерном гильбертовом пространстве задан произвольный базис, состоящий из попарно ортогональных элементов, то из теоремы 5.5 вытекает, что эта система полна.

Определение 5.10. Полная ортогональная система элементов называется

ортонормированным базисом гильбертова пространства.

Определение 5.11. Соотношение

84

Для произвольной ортонормированной системы {hn} следующие утверждения относительно элемента x H равносильны:

1)для элемента x H справедливо разложение Фурье (5.7);

2)элемент x H входит в подпространство, порожденное множеством элементов {hn};

3)для элемента x H выполнено уравнение замкнутости (5.8). Следствие. Из теорем 5.5 и 5.6 следует, что для того, чтобы ортонормированная система была полной, необходимо и достаточно, чтобы

для любого x H выполнялось уравнение замкнутости.

Теорема 5.7. Если элемент x H может быть представлен своим разложением Фурье (5.7) по элементам ортонормированной системы {hn}, то для любого y H справедливо

(x, y) = ∑αn βn ,

n

где αn – коэффициенты Фурье элемента x, βn – коэффициенты Фурье элемента y относительно системы {hn}.

Теорема 5.8. Конечномерное нормированное пространство сепарабельно. Теорема 5.9. Любое пространство со счетным базисом сепарабельно.

Из теорем 5.8 и 5.9 следует, что конечный или счетный ортонормированный базис может существовать только в сепарабельных пространствах.

Ортогонализация системы линейно независимых элементов

Пусть в гильбертовом пространстве H задана конечная или счетная система линейно независимых элементов g1, g2 , ... Построим ортонормированную систему элементов h1, h2 , ... так, что каждый hn имеет вид

Сначала построим ортогональную систему элементов f1, f2 , ... , полагая последовательно

k =1

85

Коэффициенты λik нужно подобрать таким образом, чтобы элементы f1, f2 , ... были попарно ортогональны. Пусть уже найдены коэффициенты λik для элементов f1, f2 , ..., fn-1. Тогда при i < n имеем

единице, то fn ≠ 0. Чтобы выполнялось условие ( fn, fi ) = 0, коэффициент λni должен определяться формулой

Ортогональную систему f1, f2 , ... мы построили. Теперь положим

Элементы h1, h2 , ... попарно ортогональны, || hn || = 1 и каждый элемент hn является линейной комбинацией элементов g1, g2 , ..., gn , следовательно, имеет требуемый вид (5.9). С другой стороны, из формулы (5.11) видно, что каждый gn есть линейная комбинация элементов f1, f2 , ..., fn , а значит, и элементов h1, h2 , ..., hn , т.е. имеет вид (5.10). Таким образом, мы получили требуемую ортонормированную систему.

При этом, если исходная система {gn} была бесконечной, то и процесс ортогонализации состоит из бесконечного множества шагов, а система {hn} также будет бесконечной. Если же исходная система состоит из m элементов, то и в полученной системе будет столько же.

Заметим, что из условий (5.9) и (5.10) следует совпадение линейных оболочек систем элементов {gn} и {hn}.

Если L – конечномерное подпространство пространства H, а g1, g2 , ..., gn – его произвольный базис, то, применяя к системе {gn} процесс ортогонализации, мы построим ортонормированный базис подпространства

L.

Изоморфизм произвольного сепарабельного гильбертова пространства с пространством l ²

Теорема 5.10. В сепарабельном гильбертовом пространстве Н, содержащем элементы, отличные от нуля, существует конечный или счетный ортонормированный базис.

86

Доказательство.

По определению сепарабельности в Н существует счетное всюду плотное множество А. Перенумеруем все элементы множества А. Выделим из А конечную или счетную систему В линейно независимых элементов, линейная оболочка которой совпадает с линейной оболочкой множества А. При этом все выброшенные из А элементы – это линейные комбинации элементов системы В. Систему В подвергнем процессу ортогонализации и построим конечную или счетную ортонормированную систему элементов hn . Докажем,

что она полна.

Пусть x H и х ортогонален всем hn . Так как элементы системы В – это линейные комбинации элементов hn , то x ортогонален всем элементам

системы В. Множество А отличается от В тем, что оно содержит еще некоторые элементы, представляющиеся в виде линейных комбинаций элементов системы В. Поэтому х ортогонален всем элементам множества А. Но так как А всюду плотно в Н, то х = 0 по свойству 5) для ортогональных элементов. Тем самым полнота системы элементов hn доказана.

Перенесем определения алгебраического изоморфизма и изометрии для евклидовых пространств, в любые нормированные пространства.

Определение 5.12. Два нормированных пространства Е и E1 называются

алгебраически изоморфными и изометричными, если между их элементами можно установить взаимнооднозначное соответствие так, что:

а) алгебраическим операциям над элементами из Е соответствуют те же операции над их образами в E1 ;

б) нормы соответствующих друг другу элементов из Е и из E1 равны.

Теорема 5.11. Всякое бесконечномерное сепарабелъное гильбертово пространство H алгебраически изоморфно и изометрично пространству l2 .

Доказательство.

По теореме 5.10 в Н существует счетный ортонормированный базис: h1 , h2 , ..., hn , .... По теореме 5.5 для любого x H справедливо разложение в

бесконечным множеством координат. Обозначим его через а. По следствию из теоремы 5.6 для любого x H выполнено уравнение замкнутости, а потому a l 2 и

87

∞

a = ∑αn2 = x. (5.12)

n=1

Вектор а и будем называть образом элемента х.

Если αn , суть коэффициенты Фурье элемента х, а βn – коэффициенты

сумме образов элементов x и y. Аналогично проверяется, что если а – образ элемента х, то λа — образ элемента λx. Значит, алгебраическим операциям над элементами из Н соответствуют те же операции над их образами в l 2.

Покажем, что каждый вектор а = {αn } l 2 является образом некоторого

∞

x H. Для этого по заданному а составим ряд ∑αn hn . Так как члены ряда

то по теореме 5.2 ряд сходится. Если через х обозначить его сумму, то по теореме 5.4 αn будут коэффициентами Фурье этого х, следовательно,

заданный вектор а будет его образом.

Теперь проверим, что установленное соответствие между элементами из Н и векторами из l 2 взаимнооднозначно. Действительно, если векторы а и b – образы элементов х и у, соответственно, то, по доказанному, а – b есть образ элемента х – у и по (5.12) a −b = x − y. Поэтому, если х ≠ у, то и а ≠ b.

Иными словами, если ортонормированная система полна, а два элемента х и у имеют соответственно одинаковые коэффициенты Фурье, то х = у. Для неполной системы это неверно.

Таким образом, мы установили соответствие между элементами из Н и векторами из l 2, которое представляет алгебраический изоморфизм и, по (5.12), изометрично. Теорема доказана.

Теперь докажем, что изоморфизм между Н и l 2 установлен также и с

сохранением величины скалярного произведения.

Теорема 5.12. При изоморфизме между пространствами Н и l 2, установленном в теореме 5.11, скалярное произведение любых двух элементов из Н. равно скалярному произведению их образов в l 2.

Доказательство. Пусть векторы а и b являются образами элементов х и у,

Учитывая теорему 5.7 и определение скалярного произведения в l 2, находим

88