Асташова И.В., Никишкин В.А.

Руководство по изучению дисциплины «Функциональный анализ»

Москва 2011

1. Сведения об авторах

И.В.Асташова – профессор, доктор физико-математических наук; В.А.Никишкин – профессор, кандидат физико-математических наук.

2. Цель изучения дисциплины

Изучение методов и идей функционального анализа, которые широко используются в разделах непосредственно касающихся вопросов экономики: оптимального регулирования, оптимизации, вариационного и приближённого исчисления, дифференциальных уравнений, теории устойчивости, математической экономики.

3. Базовые знания

Для изучения данной дисциплины студенту достаточно знать основы курсов «Математический анализ», «Линейная алгебра», «Геометрия и топология», в особенности основы теории математических пространств.

Перечень основных тем и подтем

Тема 1. Введение в теорию пространств. Основные

Определения. Примеры. (лекций – 2 часа, семинаров - 4 часа)

Изучив Тему I, студент должен:

•Знать определение метрического, нормированного, линейного, банахова, гильбертова, топологического пространства.

•Уметь приводить примеры различных метрических

•Знать определение метрики, нормы, скалярного произведения, топологии.

•Уметь давать определение сепарабельного пространства, приводить примеры сепарабельных пространств.

Изучив Тему I, студент должен приобрести навыки в решении задач на все указанные в теме разделы, для чего необходимо:

а) Изучить Тему I методического пособия [1] и выполнить все упражнения из этой темы.

102

Тема 2. Метрические пространства. Понятие о полном метрическом пространстве. Пополнение метрического пространства. Некоторые свойства полных метрических пространств. Отображения метрических пространств. Принцип сжатых отображений. Компактные множества в метрическом пространстве. Критерий компактности в пространстве С [a,b]. (лекций – 4 часа, семинаров- 2 часа)

Изучив Тему 2, студент должен:

•Знать определение метрического пространства и аксиоматику для метрикиρ (x,y).

•Уметь приводить примеры различных метрических пространств и для них проверять выполнение аксиом метрикиρ (x,y).

•Знать определения открытого и замкнутого шара, фундаментальной последовательности, полного метрического пространства.

•Уметь доказывать теорему о пополнении и теорему Бэра– Хаусдорфа.

•Знать, что такое отображение пространств и принцип сжимающих отображений, его приложение к решению уравнений, в том числе интегральных.

•Знать определение компактного множества в метрическом пространстве и теорему Хаусдорфа и Арцела.

Изучив Тему 2, студент должен уметь:

•Приводить примеры метрических функциональных пространств.

•Приводить проверку аксиом для метрики, выведенной для каждого индивидуального пространства.

•Дать примеры замкнутых и открытых множеств. Дать примеры всюду плотных и нигде не плотных множеств.

•Привести примеры пространств, где функциональная последовательность фундаментальна, однако не сходится к элементу данного пространства, т.е. пространство не полное.

•Привести примеры полных функциональных пространств.

•Дать примеры, когда отображение пространства «сжимающее» и «не сжимающее».

103

•Сформулировать определение и привести примеры компактных множеств в метрическом пространстве.

•Доказывать теоремы о предкомпактных и компактных метрических пространствах.

•Дать примеры, когда отображение пространства «сжимающее» и «не сжимающее».

•Сформулировать определение и привести примеры компактных множеств в метрическом пространстве.

Изучив Тему 2, студент должен приобрести навыки в решении задач на все указанные в теме разделы, для чего необходимо изучить Тему 2 методического пособия [1] и выполнить все упражнения из этого раздела.

Задания и вопросы для самооценки:

1)Что такое метрическое пространство?

2)Перечислить аксиомы для метрики ρ (х, у) (расстояние между «точками» x и y).

3)Дать конкретный вид метрики для пространства непрерывных на

[a,b] функций {γ (t)}, t [a,b].

4)Замкнутое или открытое множество точек (рациональных отдельно и иррациональных отдельно) на [0,1]?

5)Дать примеры фундаментальных последовательностей.

6)Дать определение полного пространства и несколько примеров.

7)Сформулировать принцип сжимающих отображений.

8)Что такое компактное множество?

Тема 3. Линейные пространства. Операторы в линейных пространствах. Понятие о фактор-пространстве. Операторы в линейных пространствах. Линейные операторы. Действия над операторами. Обратный оператор. Выпуклые функционалы и выпуклые множества. (лекций – 2 часа, семинаров- 2 часа)

Изучив Тему 3, студент должен знать:

•Определение линейного пространства (аксиоматику).

•Определение оператора в линейном пространстве и определение линейного оператора и действия над ними.

•Определение обратного оператора.

•Определение и примеры выпуклых функционалов и выпуклых множеств.

104

Изучив Тему 3, студент должен уметь:

•Привести примеры линейного пространства.

•Привести ряд примеров операторов в линейных пространствах и линейных операторов.

•Привести примеры и дать определение выпуклых функционалов и выпуклых множеств.

Изучив Тему 3, студент должен приобрести навыки в выполнении упражнений и решении задач на все указанные в разделе темы, для чего необходимо изучить Тему 3 методического пособия [1] и выполнить упражнения из этой темы.

Задания и вопросы для самооценки.

1)Дать определение линейного пространства и его аксиоматику.

2)Какие линейные пространства называются изоморфными?

3)Определение подпространства.

4)Определение оператора в линейном пространстве.

5)Определить, что такое линейный оператор.

6)Дать определение обратного оператора и привести примеры.

7)Дать определение выпуклого функционала и выпуклого множества.

Тема 4. Нормированные пространства. Фактор-пространство нормированного пространства. Линейные функционалы в нормированном пространстве. Сопряженное пространство. Операторы в нормированном пространстве. График оператора. Замкнутые операторы. Признаки ограниченности оператора. Слабая сходимость функционалов. Спектр и резольвента оператора. (лекций – 2 часа, семинаров- 2 часа)

Изучив Тему 4, студент должен знать:

•Определение нормированного пространства.

•Определение ряда в нормированном пространстве и фактор – пространства.

•Определение сопряженного пространства. Примеры.

•Теоремы об операторах в нормированном пространстве.

•Признаки ограниченности оператора.

•Определение слабой сходимости функционалов.

•Определение спектра и резольвенты оператора, привести отдельные примеры.

105

Изучив Тему 4, студент должен уметь:

•Привести примеры нормированных пространств. Дать общее определение нормированного пространства.

•Привести примеры рядов в нормированном пространстве.

•Привести примеры сопряжённого по отношению к данному пространства. Дать общее определение сопряжённого пространства.

•Сформулировать и уметь доказать теоремы об операторах в нормированном пространстве.

•Привести примеры ограниченных операторов.

•Дать определение слабой сходимости функционалов и привести соответствующие примеры.

•Дать определение спектра и резольвенты оператора, проиллюстрировать определения примерами.

Изучив Тему 4, студент должен приобрести навыки в выполнении упражнений и решении задач на все указанные в разделе темы, для чего необходимо изучить Тему 4 методического пособия [1] и выполнить упражнения из этой темы.

Задания и вопросы для самооценки:

1)Что называют нормированным пространством?

2)Можно или нельзя в одном и том же пространстве вводить различные нормы?

3)Дать определение и ввести нормы в пространствахL1 ,L2 ,Lp (p > 2).

4)Дать определение полного нормированного пространства.

5)Дать определение ряда в нормированном пространстве.

6)Доказать теорему: в полном нормированном пространстве всякий абсолютно сходящийся ряд сходится.

7)Доказать, что пространство L¹ полно.

8)Дать определение сопряжённого пространства.

9)Дать определение графика оператора А.

10)Дать определение слабой сходимости функционалов.

11)Дать определение спектра и резольвенты оператора.

Тема 5. Гильбертово пространство. Скалярное

произведение. Понятие об ортогональном подпространстве.

ортогонализации. Пространства L2. Изоморфизм сепарабельных гильбертовых пространств. (лекций – 4 часа, семинаров- 4 часа)

Изучив Тему 5, студент должен знать:

•Определение евклидова и гильбертова пространства.

•Примеры гильбертовых пространств.

•Определение ортогонального подпространства.

•Определение ортогональных и ортонормированных систем.

•Определение пространств L2 .

•Определение изоморфизма пространств.

Изучив Тему 5, студент должен уметь:

•Привести примеры евклидовых и гильбертовых пространств.

•Осуществлять процесс ортогонализации.

•Доказать теорему об изоморфизме сепарабельных гильбертовых пространств.

Изучив Тему 5, студент должен приобрести навыки в выполнении упражнений и решении задач на все указанные в разделе темы, для чего необходимо изучить Тему 5 методического пособия [1] и выполнить упражнения из этой темы.

Задания и вопросы для самооценки:

1)Что называют евклидовым пространством?

2)Что называют скалярным произведением? Дать определение и ввести скалярное произведение в пространстве L2 .

3)Дать определение проекции элемента на подпространство.

4)Дать определение ортогонального дополнения.

5)Доказать теорему о разложении Фурье.

6)Дать определение ортонормированного базиса.

7)Доказать теорему о существовании конечного или счетного ортонормированного базиса в сепарабельном гильбертовом пространстве.

Тема 6. Интегральные уравнения. Интегральный оператор.

Ядро интегрального оператора. Уравнения Фредгольма 1-го и 2-го рода, уравнения Вольтерра 1-го и 2-го рода. Теоремы Фредгольма. (лекций – 4 часа, семинаров- 4 часа)

107

Изучив Тему 6, студент должен знать:

•Определение интегрального оператора.

•Общий вид уравнений Вольтерра 1-го и 2-го рода. Примеры.

•Общий вид уравнений Фредгольма 1-го и 2-го рода. Примеры.

•Формулировки теорем Фредгольма.

Изучив Тему 6, студент должен уметь:

• Сводить интегральное уравнение к задаче Коши для дифференциального уравнения и задачу Коши для дифференциального уравнения к интегральному уравнению.

•Решать интегральные уравнения методом последовательных приближений.

•Решать интегральные уравнения другими методами.

Изучив Тему 6, студент должен приобрести навыки в выполнении упражнений и решении задач на все указанные в разделе темы, для чего необходимо изучить Тему 6 методического пособия [1] и выполнить упражнения из этой темы.

Задания и вопросы для самооценки:

8)Что называют интегральным оператором?

9)Какое уравнение называют интегральным уравнением Вольтерра 1-го рода?

10)Какое уравнение называют интегральным уравнением Вольтерра 2-го рода?

11)Какое уравнение называют интегральным уравнением Фредгольма 1-го рода?

12)Какое уравнение называют интегральным уравнением Фредгольма 2-го рода?

Заключительное занятие. Контрольная работа. Тесты.

108