Докажем б). Пусть

{xk }~ {x′k },

{yk }~ {yk′}.

Тогда

ρ(xk , yk ) ≤ ρ(xk , xk′ ) + ρ(xk′, yk′ ) + ρ( yk′, yk ), т.е.

ρ(xk , yk ) − ρ(xk′, yk′ ) ≤ ρ(xk , xk′ ) + ρ( yk′, yk ).

Аналогично

ρ(x′k , y′k ) − ρ(xk , yk ) ≤ ρ(xk , x′k ) + ρ( yk , yk′ ).

Значит,

ρ(xk , yk ) − ρ(xk , yk ) ≤ ρ(xk , xk ) + ρ( yk , yk ).

По условию

ρ(xk , x′k ) → 0,

ρ( yk , yk′ ) → 0 .

Значит,

lim ρ(xk′, yk′ ) − ρ(xk , yk ) = 0,

k→∞

т.е.

lim ρ(xk′, y′k ) = lim ρ(xk , yk ),

k→∞ k→∞

что и требовалось доказать в б).

Нужно еще проверить, что для ρ(~x, ~y) выполняются аксиомы 1-3 метрики

(см. определение 1.2). Пусть ρ(~x, ~y) = 0 ,

т.е. lim ρ(xn , yn ) = 0 , где {xn } ~x,{yn }~ ~y .

n→∞

Тогда {xn }~ {yn } и, следовательно ~x = ~y .

Остальные аксиомы легко получить предельным переходом из соответствующих аксиом для ρ(x,y).

Итак, мы построили новое метрическое пространство ~ .

X

22

Тогда

~ ~

n→∞

Но {xn } – фундаментальная последовательность, следовательно, ρ(xn , xk ) <ε

при n, k ≥ N(ε).

В каждом классе xn возьмем некоторую последовательность

{x1(n) , x2(n) ,..., xk(n) ,...}.

Так как эта последовательность фундаментальна, то для любого номера n > 0 можно выбрать такое kn , что для всех p > kn справедливо

ρ(x(pn) , xk(nn) )< 1n .

Рассмотрим теперь последовательность

{xk(1)1 , xk(2)2 ,..., xk(nn),...}

ипокажем, что она фундаментальна. Имеем

то найдется такой номер n0 , что при n, m ≥ n0 и достаточно большом p имеем

Из (2.2), (2.3) и (2.4) следует, что при n, m ≥ n0

ρ(xk(nn) , xk(mm) )<ε,

т.е. что последовательность {xk(nn) } фундаментальна.

23

Обозначим класс, содержащий последовательность {xk(nn) }, через x .

найдется n0 такое, что

пространства X доказана.

Теорема 2.2. Метрическое пространство ~ (пополнение метрического

X

пространства X) определяется однозначно с точностью до изометрии.

Доказательство.

полностью отображается на X ′.

24

ρ(~x, ~y) = lim ρ(xn , yn ).

n→∞

Докажем, что ρ′(x′, y′) = lim ρ(xn , yn ).

n→∞

Так как xn → x′, yn → y′, то

ρ(xn , yn ) ≤ ρ(xn , x′) + ρ(x′, y′) + ρ( y′, yn ),

или

ρ(xn , yn ) − ρ(x′, y′) ≤ ρ(xn , x′) + ρ( y′, yn ).

Если здесь переставить xn , x′ и yn , y′, то правая часть неравенства не

изменится, а левая поменяет знак, следовательно, предыдущие неравенства можно переписать в виде:

ρ(xn , yn ) − ρ(x′, y′) ≤ ρ(xn , x′) + ρ( y′, yn ) → 0,

т.е.

изометричные пространства мы условились не различать, то можно считать, что пополнение X единственно, и теорема доказана.

Упражнения.

Доказать, что:

1)полное подпространство Y метрического пространства X замкнуто в X;

2)в полном метрическом пространстве X любое замкнутое множество Y является полным подпространством.

Некоторые свойства полных метрических пространств.

Теорема 2.3 (о вложенных шарах). Если в полном метрическом пространстве дана последовательность вложенных друг в друга замкнутых шаров

S1 (a1 ,r1 ) S2 (a2,r2 ) Sn (an , rn ) ...

и

rn → 0, n → ∞,

то существует одна и только одна точка x X, принадлежащая всем шарам.

25

Доказательство.

Рассмотрим последовательность центров шаров {an } и докажем, что эта

последовательность фундаментальная.

По условию an ,an+1 ,an+2, Sn (an ,rn ). Поэтому ρ(an+p ,an ) ≤ rn . Но rn → 0 , т.е. для любого ε > 0 существует такое N(ε), что rn <ε при n > N(ε). Значит, последовательность {an } – фундаментальная, и она имеет предел, т.к. пространство X полное. Обозначим его a. Этот предел принадлежит всем

Упражнение.

Доказать, что метрическое пространство X полно тогда и только тогда, когда любая последовательность вложенных друг в друга замкнутых шаров, радиусы которых стремятся к 0, имеет непустое пересечение.

Определение 2.3. Множество M в метрическом пространстве X называется нигде не плотным в этом пространстве, если в каждом шаре S в пространстве X содержится другой шар S1 , не содержащий точек M.

Замечание 2.4. В определении 2.3 S1 можно заменить любым замкнутым шаром S1 .

Определение 2.4. Множество M в метрическом пространстве называется множеством первой категории, если оно есть объединение счетного числа нигде не плотных множеств. Если M нельзя представить в виде суммы счетного числа нигде не плотных множеств, то M называется множеством второй категории.

Замечание 2.5. Если M – нигде не плотное в X множество, то по определению 2.4 оно является множеством первой категории, т.к. его можно

остальные Ki являются пустыми множествами).

26

Упражнение. Доказать, что в E3 любая плоскость – нигде не плотное множество, а множество точек с рациональными координатами есть множество первой категории, плотное в E3 .

Теорема 2.4 (Бэра-Хаусдорфа). Всякое полное метрическое пространство есть множество второй категории.

Доказательство.

Предположим, что полное метрическое пространство X представимо в виде X = M1 M 2 M 3 , где каждое M j нигде не плотно. Возьмем какой-

принадлежащая всем Sk . С другой стороны, a не может принадлежать M1,

т.к. S1 ∩ M1= ; аналогично, a не может принадлежать M 2,M3 и т.д. Мы получили противоречие: a X и a не принадлежит ни одному из M j ; это доказывает теорему.

Упражнения.

Доказать, что в полном метрическом пространстве:

1)всякое непустое множество является множеством второй категории;

2)множество, дополнительное к множеству первой категории, всегда второй категории;

3)доказать, что в пространстве C[a,b] функции, обладающие конечной

производной хотя бы в одной точке, образуют множество первой категории (тогда, в силу полноты C[a,b] , будет доказано существование

вещественной функции, непрерывной на [a,b] и всюду недифференцируемой).

27

Отображения метрических пространств.

Определение 2.5. Пусть даны метрические пространства X и Y (в частности, они могут совпадать друг с другом). Будем говорить, что задано

отображение f пространства X в Y, если каждому x X поставлен в

соответствие элемент y Y, который обозначается: y = f(x). Отображение задает, таким образом, некоторую абстрактную функцию y = f(x) с аргументами x X и значениями y Y. Будем говорить, что f отображает X в Y, если получаются не обязательно все y Y, когда x пробегает все значения из X; f называют отображением на Y, если получаются все y Y. Вместо термина функция применяют термин оператор и пишут y = Ax вместо y = f(x). Если Y = X, то A называют оператором в X. Если дано отображение пространства X на числовое пространство Y, то говорят, что на X задан

функционал.

Определение 2.6. Отображение называется непрерывным, если из условия xn → x следует: A xn → A x .

Теорема 2.5 (принцип сжимающих отображений). Пусть X – полное метрическое пространство, y = A x – оператор в пространстве X, удовлетворяющий условию

x0 = A( x0 ) (т.е. существует одно и только одно решение уравнения A x = x).

Замечание 2.6. Так как q < 1, то расстояние между отображаемыми точками уменьшается; поэтому A называют сжимающим отображением или сжатием; точка x0 при отображении остается неподвижной.

Далее имеем:

ρ(xn+p , xn ) ≤ ρ(xn+p , xn+p−1 ) + + ρ(xn+1, xn ) ≤

≤ c(qn+p−2 + qn+p−3 + + qn−1 ).

28

Сумма в скобках представляет отрезок Коши для геометрической прогрессии со знаменателем q < 1. Значит ρ(xn+p , xn ) ≤ ε при n > N(ε). Итак,

{xn } – фундаментальная последовательность. Так как X – полно, то

существует lim xn = x0 .

n→∞

Отметим теперь, что любое сжимающее отображение непрерывно. Действительно, из xn → x и условия теоремы ρ(A x, A xn ) ≤ q ρ(x, xn ) следует, что

определена и непрерывна в параллелепипеде a ≤ t,τ ≤ b; x ≤ c , где c – заданная

константа;

2) при каждых фиксированных t и τ функция K (t,τ, x) удовлетворяет условию Липшица поx, т.е.:

K (t,τ, x2) − K (t,τ, x1 ) ≤ A0 x2 − x1

при всех a ≤ t,τ ≤ b; x1 ≤ c, x2 ≤ c , где A0 - постоянная, не зависящая от t и τ .

Теорема 2.6 (Немыцкого). Если выполнены условия 1) и 2), то при достаточно малом λ уравнение

(*) имеет в точности одно непрерывное решениеx(t), удовлетворяющее неравенству x(t) ≤ c.

Доказательство.

Возьмем в качестве метрического пространства X совокупность всех непрерывных функций, удовлетворяющих на [a,b] неравенству x(t) ≤ c. Это замкнутое подмножество полного пространства

и поэтому является полным. Рассмотрим оператор

A(x) = λ∫ab K (t,τ, x(τ))dτ.

В силу условия 1) функция K (t,τ, x) ограничена, т.е. K (t,τ, x) ≤ B , где B – некоторая константа.

29

Но

тогда существует в точности одно решение.

Упражнение.

Доказать, что условие (2.7) нельзя, вообще говоря, заменить более слабым

а именно: построить в X = E1 оператор, удовлетворяющий требованию (2.9) и не имеющий неподвижных точек.

Компактные множества в метрическом пространстве.

Определение 2.7. Пусть X полное метрическое пространство и M X . Множество M называется предкомпактным, если из каждой последовательности элементов множества M можно выделить фундаментальную подпоследовательность.

Определение 2.8. Множество M называется компактным, если оно предкомпактно и замкнуто.

Таким образом, компактность M означает, что из каждой последовательности элементов множества M можно выделить фундаментальную последовательность, сходящуюся к элементу из M. Любое замкнутое ограниченное множество в n-мерном пространстве есть компактное множество (это следует из теоремы Больцано-Вейерштрасса).

Теорема 2.7. Если f(x) – вещественный, непрерывный функционал на компактном множестве Q, то f(x) принимает на этом множестве наибольшее и наименьшее значение.

Доказательство.

30

Докажем, что f(x) ограничен сверху. Пусть f(x) не ограничен сверху; тогда найдется такое x1 Q, что

f ( x1) > 1.

Далее существует такое x2 Q, что f ( x2) > 2. Повторяя это рассуждение,

Существует подпоследовательность xk1 , xk2 , xki ,... → x0 Q (так как Q – компактно). Так как f (x) – непрерывен, то f (xk1 ), f (xk2 ), → f (x0 ) ; значит последовательность f (xk1 ), f (xk2 ), ограничена. Но, с другой стороны, в силу

(2.10) f (xkn ) > kn → ∞.

Мы пришли к противоречию. Это означает, что наше предположение о неограниченности f(x) неверно, то есть f(x) ограничен сверху.

Обозначим sup f (x) = M . Надо доказать, что эта точная верхняя граница

В силу компактности Q у последовательности { xn } существует такая

Т.о. доказано, что f(x) принимает наибольшее значение. Аналогично доказывается, что f(x) принимает наименьшее значение.

Пример замкнутого ограниченного некомпактного множества (в бесконечномерном пространстве). Пусть

M X = C[0,1],

M = {x(t) : x(0) = 0, x(1) =1, x(t) ≤1}.

(x(t) – действительные). Это множество ограничено и замкнуто.

Но интеграл квадрата вещественной непрерывной функции равен нулю только при x(t) ≡ 0 ; тогда

x(1) = 0 ≠ 1, что невозможно для x(t) M. Значит, рассматриваемый функционал не достигает нижней грани на M. Следовательно, M не компактно.

31

Прежде чем формулировать и доказывать критерии предкомпактности, введем некоторые определения.

Определение 2.9. Пусть M X . Множество ∑ε X называется

ε - сетью для множества M, если каждая точка множества M находится на расстоянии, меньшем ε от некоторой точки множества ∑ε . (Иначе говоря,

совокупность шаров с центрами в точках ∑ε и радиусами ε покрывает все

M).

Теорема 2.8 (Хаусдорфа). Множество M в метрическом пространстве X предкомпактно тогда и только тогда, когда для любого ε > 0 в X существует конечная ε - сеть (т.е. ∑ε - конечно).

Доказательство.

Необходимость. Пусть M предкомпактно и задано ε > 0; требуется доказать, что существует конечная ε - сеть. Берем x1 M. Может случиться,

что все другие элементы M находятся от x1 на расстоянии ρ(x, x1 ) < ε , x M . Тогда x1 уже есть ε-сеть. Пусть это не так. Тогда должен существовать такой

элемент x2 M, что ρ(x1 , x2 ) ≥ ε.

Может случиться, что для любого x M или ρ(x, x1 ) < ε , или ρ(x, x2 ) < ε . Тогда {x1,x2} - уже ε - сеть. Пусть это не так; тогда существует x3 M такой, что ρ(x3, x1 ) ≥ε, ρ(x3, x2 ) ≥ε . Повторяя это рассуждение, заключаем, что

либо процесс оборвется на некотором n-шаге и мы получим конечную ε - сеть {x1,x2, xn} M , либо процесс будет продолжаться бесконечно. Во

втором случае мы получим такую последовательность {xn} M , что ρ(xi , xk ) ≥ ε. Но это противоречит тому, что M предкомпактно, т.к. {xn} не

может содержать фундаментальную последовательность. Значит, конечная ε - сеть существует. Мы доказали также, что можно выбрать конечную ε -

сеть ∑ε M .

Достаточность. Пусть M – таково, что для любого ε > 0 в X существует конечная ε - сеть ∑ε для M. Возьмем εn →0 ; тогда для каждого εn

существует конечная εn - сеть, которую мы обозначим ∑n ={xn1 , xnkn }.

Чтобы доказать, что M предкомпактно, нужно взять произвольную последовательность и выделить из нее фундаментальную. Пусть {xn } M .

Возьмем ∑1 ={x11 , x12 , , x1k1 }, соответствующую ε1 ; тогда в каком-либо из

конечного числа шаров радиуса ε1 содержится бесконечное число элементов последовательности {xn }. Обозначим один из таких шаров через S1 и пусть

32

M1 – содержащаяся в S1 бесконечная часть данной последовательности;

Продолжая эти рассуждения, на n-ом шаге мы получим содержащуюся в Sn бесконечную часть M n множества и выберем так, что

mn > mn−1 > . Так как этот процесс можно продолжить сколь угодно, то мы выделим последовательность

{xm 1 , xm 2 , , xmn , } {x1 , x2 , } .

Докажем, что полученная таким образом последовательность фундаментальна. По построению xmn M n Sn , xmn+ p Sn+ p Sn и вся

последовательность {xmn , xmn+1 , } содержится в шаре радиуса εn . Отсюда

ρ(xmn , xmn+p ) ≤ ρ(сn , xmn ) + ρ(cn , xmn+ p ) < 2εn ,

ифундаментальность последовательности {xmn } доказана.

Заметим, что если, кроме того, X полно и M замкнуто, то M компактно.

Теорема 2.9. Множество M в метрическом пространстве предкомпактно тогда и только тогда, когда для любого ε > 0 в X для M найдется предкомпактная ε - сеть.

Доказательство.

Необходимость. Ясно, ибо для предкомпактного множества существует даже конечная ε – сеть согласно выше доказанной теореме.

теорема доказана.

33

Из доказанных теорем можно вывести два следствия; предварительно нам потребуются некоторые определения.

Определение 2.10. Множество M X называется ограниченным, если существует такая константа c > 0, что ρ(x,a) ≤ c для всех x M и

фиксированного a X.

Следствие 1.Предкомпактное множество ограничено. Доказательство. Пусть M – предкомпактно. Полагая в теореме ε = 1,

заключаем, что существует конечная

1 – сеть ∑1 ={x1 , x2, xm }. Пусть a – произвольный элемент из X и пусть

Следовательно, предкомпактное множество ограничено.

Следствие 2.Всякое предкомпактное множество M сепарабельно. Доказательство. Возьмем εn → 0 и построим для каждого εn конечную

Значит, для ε > 0 и x M всегда существует такой элемент xn ∑ , что ρ(x, xn ) < ε . Это и означает, что ∑ плотно в M.

Упражнения. Доказать, что для всего метрического пространства X следующие условия эквивалентны:

1)(свойство компактности) каждое бесконечное подмножество в X содержит сходящуюся к некоторому элементу из X последовательность;

2)(свойство Хаусдорфа) X полно и при любом ε > 0 существует в X конечная ε - сеть для X;

3)(свойство Бореля-Лебега) из любого открытого покрытия X можно

выделить конечное подпокрытие (открытым покрытием для X называется набор открытых множеств {G} такой, что G = X );

3`) всякий набор замкнутых множеств с пустым пересечением содержит конечное число замкнутых множеств с пустым пересечением;

34

3``) из любого счетного открытого покрытия X можно выделить конечное подпокрытие;

4)каждое бесконечное дискретное подпространство в X не замкнуто;

5)(свойство Кантора) каждая убывающая последовательность непустых замкнутых множеств в X имеет непустое пересечение ;

6)любая центрированная система замкнутых множеств в X имеет непустое пересечение (система множеств называется центрированной, если любая конечная подсистема имеет непустое пересечение);

7)любой непрерывный функционал на X ограничен и достигает на X наибольшего и наименьшего значения.

Критерий компактности в C[a,b].

Определение 2.11. Множество M C[a,b] называется равномерно ограниченным, если существует такая постоянная A, что x(t) ≤ A для всех

x(t) M и t [a,b].

Это обычная ограниченность в метрике C[a,b], т.к. при y0 = 0

ρ(x, y0 ) = ρ(x,0) = sup x(t) ≤ A.

a≤t≤b

Определение 2.12. Множество M C[a,b] называется равностепенно непрерывным, если для каждого ε > 0 существует такое δ(ε) > 0 , что

x(t) − x(t + h) < ε при h <δ(ε) для всех t, t+h [a,b] и всех x(t) M.

(Это определение отличается от определения равномерной

непрерывности тем, что δ выбирается одним и тем же для всех x(t) M.) Теорема 2.10 (Арцела). Для того, чтобы множество M C[a,b] было

предкомпактным, необходимо и достаточно, чтобы оно было равномерно ограниченным и равностепенно непрерывным.

Доказательство.

Неообходимость. Пусть M предкомпактно; тогда оно ограничено по

35

x(t + h) − x(t) ≤ x(t + h) − x j (t + h) + x j (t + h) − x j (t) + x j (t) − x(t) <

< 2ρ(x, x j ) + x j (t + h) − x j (t) < ε

при h <δ и t, t+h [a,b].

Достаточность. Пусть M равномерно ограничено и равностепенно непрерывно. Требуется доказать, что M предкомпактно. Для этого покажем,

что при каждом ε > 0 существует предкомпактная ε - сеть для M. Пусть задано ε > 0 и пусть δ - отвечающее ему число согласно определению 2.12.