Распределение часов по темам и видам учебных занятий.

Список учебной литературы.

Обязательная литература.

1.И.В.Асташова, В.А.Никишкин. Функциональный анализ. Учебное пособие. М.: МЭСИ, 2011.

2.Бородин П.А., Савчук A.M., Шейпак И.А. Задачи по функциональному анализу. Части I, II. - М.: Издво ЦПИ, 2009.

3.Л.А. Люстерник, В.И. Соболев. Краткий курс функционального анализа. С.-Пб.: Лань, 2009.

Дополнительная литература.

4.И.В.Асташова, В.А.Никишкин. Геометрия и топология. Учебное пособие. М.: МЭСИ, 2011.

5.А.А. Кириллов, А.Д. Гвишиани. Теоремы и задачи функционального анализа. М.: Наука, Физмалит, 1988.

6.П.Н.Князев. Функциональный анализ. М.: УРСС, 2009.

7

7.А. Н. Колмогоров, С.В. Фомин. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Наука, Физмалит, 2006.

8.Л.Д. Кудрявцев. Курс математического анализа, т. 1, 2. М.: Дрофа,

2003.

9.П.И.Лизоркин. Курс дифференциальных и интегральных уравнений с дополнительными главами анализа. М.: Наука, 1981.

10.С.Г.Михлин. Лекции по линейным интегральным уравнениям. М.: Физматгиз, 1959.

11.С.М. Никольский. Курс математического анализа. М.: Наука, т. 2,

1991.

12.У. Рудин. Функциональный анализ. С.-Пб.: Лань, 2005.

13.Сборник задач по математике для ВТУЗов. Часть 4. Методы оптимизации. Уравнения в частных производных. Интегральные уравнения. (под ред. Ефимова А.В.). М.: Наука, 1990.

14.С.Л. Соболев. Некоторые применения функционального анализа в математической физике. М.: Наука, Физмалит, 1988.

15.В.А. Треногин. Функциональный анализ. М.: Наука, Физмалит, 2007.

16.В.А. Треногин, Б.М. Писаревская, Т.С. Соболева. Задачи и упражнения по функциональному анализу. М.: Наука, Физмалит, 2002.

17.И.Г. Арманович, В.И. Левин. Уравнения математической физики. М.: Наука, Физмалит, 1969.

18.В.А. Садовничий. Теория операторов. М.: Дрофа, 2004.

19.М.Л.Краснов, А.И.Киселев, Г.И.Макаренко. Теория функций комплексного переменного. Операционное исчисление. Теория устойчивости. М.: Наука, Физмалит, 1971.

8

Тема 1. Основные пространства: метрические, линейные, нормированные, банаховы, топологические, гильбертовы. Сепарабельные пространства. Определения. Примеры.

Определение 1.1. Пространства, элементами которых являются функции или числовые последовательности, называются функциональными про-

странствами.

Метрические пространства

Определение 1.2. Множество X называется метрическим пространством, если каждой паре его элементов x и y поставлено в соответствие некоторое неотрицательное действительное число ρ(x,y), удовлетворяющее следующим условиям:

1.ρ (x,y) = 0 тогда и только тогда, когда x = y (аксиома тождества).

2.ρ (x,y) = ρ (y,x) (аксиома симметрии).

3.ρ(x,y) ≤ ρ (x,z) + ρ (y,z) (неравенство треугольника).

Примеры метрических пространств.

1.Числовая прямая. Пусть X = R. Если x, y R , то полагаем

ρ(x,y) = x − y .

2.Евклидово пространство. Пусть Xn — арифметическое n–мерное пространство, т.е. множество всех упорядоченных систем из n действительных чисел. Если x = (ξ1, ξ2,…ξn ) и y = (η1,η2,… ηn ), то метрика определяется формулой

n

ρ(x, y) = ∑(ξi −ηi )2 .

i=1

3.Пространство непрерывных функций C[-1,1] с равномерной метрикой. Пусть X — множество непрерыв-

ных функций, заданных на отрезке [-1, 1]. Введем метрику, полагая

ρ(x, y) = max x(t) − y(t).

[−1,1]

4. Пространство c сходящихся числовых последовательностей x = (ξk )1∞, y = (ηk )1∞ таких, что

5.Пространство M [0, 1] ограниченных вещественных функций на отрезке [0,1], где

ρ(x, y) = sup x(t) − y(t).

[0,1]

9

Линейные пространства

Определение 1.15. Множество E элементов x, y, z, … называется линейным пространством, если в нем определены две операции:

I. Каждым двум элементам x, y E поставлен в соответствие определенный элемент x + y E, называемый их суммой.

II. Каждому элементу x E и каждому числу (скаляру) λ поставлен в соответствие определенный элемент λ x E — произведение элемента x на скаляр λ . При этом должны быть выполнены следующие свойства (аксиомы) для любых элементов x, y, z E и любых скаляров λ , µ :

1)x + y = y + x ;

2)x + ( y + z) = (x + y ) + z ;

3)существует единственный элемент 0 E такой, что x + 0 = x ;

4)существует единственный элемент –x, такой, что x + (–x)=0;

5)λ ( µ x) = ( λ µ )x ;

6)1· x = x , 0 · x = 0 (слева 0 - скаляр, а справа - элемент множества E) ;

7)λ ( x + y) = λ x + λ y;

8)( λ + µ )x = λ x + µ x.

Под разностью элементов x–y будем понимать сумму x + (–y).

В качестве числовых множителей (скаляров) λ , µ , … в линейном про-

странстве берутся вещественные или комплексные числа. В первом случае E называется вещественным (действительным) линейным пространством, во втором - комплексным линейным пространством*). В первом случае говорят, что X – линейное пространство над полем действительных чисел, а во втором

– над полем комплексных чисел. Всякое действительное пространство можно включить в комплексное. Действительно, рассмотрим совокупность фор-

*) В дальнейшем мы будем говорить просто «линейное пространство», если утверждение верно как для в е- щественного, так и для комплексного случая. Если же утверждение верно лишь для вещественного пространства (или лишь для комплексного пространства), то это будет специально оговорено.

11

мальных сумм: z = x + i y , где x и y принадлежат заданному действительному пространству. Если также z1 = x1 +i y1 , то по определению

z + z1 = (x + x1 ) +i( y + y1 ),

(α + βi)(x +i y) = (αx −β y) +i(α y + β x) .

Таким образом, мы построили комплексное линейное пространство. Очевидно, все z = x + i 0 с операцией умножения на α = α + i0 можно отожде-

ствить с исходным линейным пространством. Такое включение действительного пространства в комплексное называется его комплексификацией.

Примеры линейных пространств

1. Множество всевозможных векторов (в трехмерном пространстве, на плоскости или на прямой) со стандартными операциями сложения и умножения на число образует линейное пространство.

скольку произведение многочлена на вещественное число и сумма двух многочленов являются многочленами и удовлетворяют аксиомам 1) –7) (проверьте это!), мы получаем линейное пространство многочленов.

3. Пространство непрерывных функций C[a, b]. Пусть D =[a, b]. Берем всевозможные непрерывные на [a, b] функции x (t), y (t). Так как x (t)+y (t) непрерывна на [a, b], как сумма непрерывных функций, и λ x(t) также непрерывна, то C[a, b] является линейным пространством. Возможны вещественный и комплексный случаи.

4. Пространство C k [a, b] (k – натуральное число) – пространство k раз непрерывно дифференцируе-

мых функций. Поскольку λ x (t) C k [a, b], если x (t) C k [a, b], и x(t) + y(t) C k [a, b], если x (t) и y (t)

C k [a, b], то C k [a, b] – линейное пространство.

Определение 1.16. Если линейное пространство является в то же время метрическим пространством, то оно называется линейным метрическим про-

странством.

Нормированные пространства

Определение 1.17. Линейное пространство E называется нормированным пространством, если каждому x E поставлено в соответствие неотрицательное число x (норма x) так, что выполнены следующие три аксиомы:

1) x ≥0; x = 0 в том и только том случае, когда x = 0;

В нормированном пространстве можно ввести расстояние между любыми двумя его элементами по формуле

ρ(x, y) = x − y .

12

Нетрудно проверить, что все аксиомы расстояния выполнены, следовательно, всякое нормированное пространство одновременно является метрическим.

Примеры нормированных пространств

1. В вещественном линейном пространстве m-мерных столбцов x = {ξi , i =1,...,m} R m введем норму

1/ 2

xc = ∑m ξi2 .

i=1

Полученное нормированное пространство в линейной алгебре известно как евклидово пространство и обозначается E m .

2. Пространство c(m) – пространство R m с нормой

x = max ξi .

1≤i≤m

3. Пространство непрерывных функций C[a, b]. Рассмотрим линейное пространство всех непрерывных на [a, b] функций. Нормувведем так:

x = max x(t) .

[a,b]

Определение 1.18. Сферой Sr (x0 ) с центром в точке x0 радиуса r называется совокупность точек {x : x − x0 = r}.

Рассмотрим в нормированном пространстве E последовательность эле-

ментов {x n }.

Определение 1.21. Элемент x E называется пределом последовательности {x n }, если ||x n - x||→ 0 при n → ∞. Если x есть предел {x n }, то будем п и-

сать x = lim xn или x n → x при n → ∞ и говорить, что последовательность {x n }

n→∞

сходится к x или просто сходится.

Определение 1.22. Последовательность {xn} элементов нормированного пространства X называется фундаментальной, если для любого ε > 0 найдется номер такой N = N(ε), что для любых n, m ≥ N имеем ||x n - xm ||< ε.

Определение 1.23. Если в нормированном пространстве любая фундаментальная последовательность сходится к элементу этого пространства, то нормированное пространство называется полным.

13

Определение 1.24. Если линейное пространство является в то же время нормированным пространством, то оно называется линейным нормированным пространством (см. определение нормированного пространства 1.17).

Определение 1.25. Полное (в смысле сходимости по норме) нормирован-

ное пространство называется банаховым пространством (пространством Банаха).

Примеры банаховых пространств

1. n-мерное векторное пространство элементов x ={ξ1 ,ξ2 ,...,ξn }с обычными операциями суммы элемен-

Топологические пространства

Определение 1.26. Говорят, что в множестве Х определена топологическая структура, или просто топология, если в Х выделен класс подмножеств, содержащий вместе с каждым набором множеств их объединение и вместе с каждым конечным набором множеств — их пересечение, пустое множество и само множество Х. Множество, снабженное топологической структурой, называется топологическим пространством, его элементы —

точками, а множества отмеченного класса — открытыми множествами.

Любое открытое множество, содержащее точку x, называется окрестностью точки x.

Определение 1.27. Точка x топологического пространства называется пределом последовательности {xn}, если любая окрестность точки x содержит все точки последовательности, начиная с некоторого номера.

Определение 1.28. Топологическое пространство называется компактным, если всякое его открытое покрытие содержит конечное подпокрытие (Покрытием множества M называется такая система множеств Ai , i = 1,2,…,

14

что M Ai ). Например, конечное множество, наделенное произвольной то-

i

пологией, компактно, а бесконечное множество, наделенное дискретной топологией, не компактно (дискретная топология - топология, в которой открытыми множествами считаются все подмножества множества X).

Примеры топологических пространств

множествами являются открытые шары.

Пространства со скалярным произведением

Определение 1.29. Вещественное линейное пространство E называется евклидовым, если каждой паре его элементов x и y поставлено в соответствие вещественное число, обозначаемое (x, y) и называемое скалярным произведением, так, что выполнены следующие аксиомы:

1) (x, x) ≥0, x E ((x, x) = 0 в том и только в том случае, когда x = 0);

2)(x, y) = (y, x), x, y E ;

3)(λ x, y) = λ(x, y), x, y E, λ – скаляр;

4)(x + y, z) = (x, z) + (y, z), x, y,z E .

Понятие скалярного произведения естественным образом обобщает понятие скалярного произведения векторов. Всякое евклидово пространство можно превратить в нормированное пространство, определив в нем норму по формуле

||x|| = (x,x) .

Примеры пространств со скалярным произведением

1. Евклидово пространство E m . Введем в вещественном линейном пространстве E m скалярное произведение по формуле

m

(x, y) = ∑ξkηk .

k =1

Соответствующая норма имеет вид

15

∞

(x,y) = ∑ξkηk. .

k =1

Гильбертовы пространства

Определение 1.30. Гильбертовым пространством называется полное нормированное действительное пространство, в котором норма порождается скалярным произведением.

Примеры гильбертовых пространств

1.Евклидово пространство E m .

2.Пространство l2.

Сепарабельные пространства

Определение 1.31. Пространство X называется сепарабельным, если в этом пространстве существует счетное всюду плотное подмножество, т.е. существует такое счетное подмножество M X , что M = X .

Другими словами, это значит, что в пространстве X существует такая последовательность {x n }, что для любого элемента x из пространства X найдет-

ся подпоследовательность {xnk } последовательности {x n }, сходящаяся к x.

16

Если X — метрическое пространство, то определение сепарабельности можно сформулировать так: метрическое пространство X — сепарабельное, если в пространстве X существует такая последовательность {x n }, что для

любого ε > 0 и любого x из X найдется такой элемент x n последовательности

{x n }, что ρ (xn, x) < ε.

Примеры сепарабельных пространств

1. Евклидово пространство E. Действительно, множество, состоящее из всех точек этого про-

странства с рациональными координатами, счетно и всюдуплотно в E m .

2. Пространство C[0,1]. Рассмотрим в нем множество всех многочленов с рациональными коэффициентами. Убедимся, что оно всюду плотно в C[0,1]. Действительно, по теореме Вейерштрасса для любой функции x(t) C[0,1] существует такой многочлен p(t), что

где ε > 0 – заданное число. С другой стороны, очевидно, найдется другой многочлен p0 (t) с рациональны-

ми коэффициентами такой, что

maxt | p(t)− p0 (t)|< ε2 .

Отсюда следует, что

ρ(x, p0 ) = maxt x(t)− p0 (t) <ε,

что и требовалось доказать.

3. Пространство lp . Рассмотрим множество элементов x вида {r1,r2 ,...,rn ,0,0,...}, где ri – произвольные рациональные числа, а n – произвольное натуральное число. Это множество счетно. Легко показать, что это множество всюду плотно в lp . В самом деле, возьмем любой элемент x ={ξi } lp , и пусть задано любое ε > 0. Найдем сначала такое натуральное числоn, чтобы

Возьмем затем такой элемент x0 ={r1 ,r2 ,...,rn ,0,0,...}с рациональными коэффициентами, что

откуда

ρ(x,x0 ) <ε,

итребуемое доказано.

4.Пространство Lp [0,1]. Счетным всюду плотным множеством в этом пространстве является

множество всех многочленов с рациональными коэффициентами.

Пример несепарабельного пространства

17

Пространство m ограниченных числовых последовательностей. Рассмотрим множество элементов

[8]). Возьмем два различных элемента из этого множества. Тогда ρ(x,y) = supξi −ηi =1, и мы имеем

i

континуум элементов, находящихся друг от друга на расстоянии, равном единице. Допустим, что вm суще-

ствует счетное всюду плотное множествоE. Опишем около каждогоэлемента из E шар радиуса ε = 13 . То-

гда все элементы пространства m расположатся внутри всех этих шаров. Так как шаров счетное множество, то по крайней мере в одном из них должно быть два разных элемента x и y из рассмотренного выше множе-

ства мощности континуум. Пусть центр такого шара есть x0 . Тогда

1= ρ(x, y) ≤ ρ(x,x0 )+ ρ(x0 , y) ≤ 13 + 13 = 23 — противоречие. Следовательно, m несепарабельно.

18

Тема 2. Метрические пространства. Понятие о полном метрическом пространстве. Пополнение метрического пространства. Некоторые свойства полных метрических пространств. Отображения метрических пространств. Принцип сжимающих отображений. Компактные множества в метрическом пространстве. Критерий компактности в пространствеС[a,b].

Определение 2.1. Пусть имеется два метрических пространства: X с метрикой ρ (x, y) и Y с метрикой ρ′(x′, y′). Они называются изометрическими, если между их элементами можно установить взаимно-однозначное соответствие, сохраняющее расстояние, т.е. ρ′(x′, y′) = ρ (x,y) при условии,

что x′↔ x, y′↔ y.

Такое соответствие называется изометрией. Два изометрических пространства будем рассматривать как несущественно различные, т.е. будем считать их идентичными.

Определение 2.2. Пусть X – метрическое пространство, а Y X, тогда если ввести в Y метрику пространства X, то Y станет метрическим пространством, которое называется подпространством пространства X.

Замечание 2.1. Если M – произвольное множество, то его можно метризовать так: ρ (x,y) = 1, если x ≠ y и ρ (x,x) = 0. Легко проверить, что все аксиомы выполняются. Такое метрическое пространство называется

дискретным.

Замечание 2.2. Существуют метрические пространства, в которых аксиома 3 определения 1.3 выполняется в усиленной форме:

ρ(x, z) ≤ max[ρ(x, y); ρ( y, z)].

Такие пространства называются ультраметрическими.*)

Упражнения (на «патологические» свойства общих метрических пространств).

1)Сферой в абстрактном метрическом пространстве естественно

назвать множество всех x X, удовлетворяющих равенству ρ (a,x) = r (здесь a – центр сферы, r – ее радиус). Показать, что сфера с центром a может оказаться пустой (открытые и замкнутые шары с центром в a, разумеется, всегда не пусты при r > 0). (Указание: рассмотреть сферы в дискретном пространстве).

*) Пример ультраметрического пространства см. ниже в упражнении 2.

19

2)Для произвольного множества M обозначим через XM совокупность всех бесконечных последовательностей x = {xn} элементов множества M. Пусть для любых двух x = {xn}≠ y = {yn}

задано d(x, y)= min {n: xn≠ yn}. Положим ρ(x,y)= 1/d(x, y), если x ≠ y, и ρ(x,x) = 0. Доказать, что XM с такой метрикой является полным ультраметрическим пространством.

3)Показать, что в произвольном ультраметрическом пространстве: а) любой открытый шар S(x;r) является одновременно и открытым и замкнутым множеством; причем S(y;r) = S(x;r) для любого

y S(x;r); б) любой замкнутый шар тоже обладает свойством а); в) если два шара имеют общую точку, то один из них содержится в другом; г) последовательность {xn} фундаментальна тогда и только тогда, когда для любого p > 0

limρ(xn , xn+ p ) = 0.

n→∞

Замечание 2.3. Полезно сравнить это свойство с общим определением фундаментальной последовательности:

n mlim ρ(xn , xm ) = 0,

( , )→(∞,∞)

т.е. для любого ε > 0 существует такой номер N(ε), что при любом n > N(ε) и любом натуральном p > 0 выполняется ρ(xn, xn+p) < ε.

Пополнение метрического пространства.

Теорема 2.1. Всякое метрическое пространство X можно рассматривать

~

как подпространство некоторого полного пространства X , в котором X

Переход X→ ~ называется пополнением пространства X.

X

Доказательство.

Рассмотрим всевозможные фундаментальные последовательности {xk} элементов из X. Две такие последовательности {xn} и {yn} мы будем считать

{xn} ~ {yn}.

Соотношение «~» обладает следующими свойствами:

1.{xn} ~ {xn} (рефлексивность);

2.Если {xn} ~ {yn}, то {yn} ~ {xn} (симметричность);

3.Если {xn} ~ {zn}, {zn} ~ {yn}, то {xn} ~ {yn} (транзитивность).

Если среди элементов некоторого множества введено понятие эквивалентности одного элемента другому, обладающее свойствами

20

рефлексивности, симметричности и транзитивности, то все это множество так разбивается на классы, что

а) всякий элемент принадлежит одному и только одному из классов; б) каждые два элемента, принадлежащие одному и тому же классу,

эквивалентны; в) каждые два элемента, принадлежащие разным классам, не

эквивалентны.

Эти классы называются классами эквивалентности.

В нашем случае на классы распадается совокупность всех

Для того, чтобы доказать корректность такого определения, необходимо доказать,

а) что для любых фундаментальных последовательностей {xn} и {yn} этот

Докажем а). Заметим, что из неравенства треугольника следует

ρ(xn , yn ) ≤ ρ(xn , xm ) + ρ(xm , ym ) + ρ( ym , yn ) .

Отсюда

ρ(xn , yn ) − ρ(xm , ym ) ≤ ρ(xn , xm ) + ρ( yn , ym ) .

Поменяем местами m и n; тогда

ρ(xm , ym ) − ρ(xn , yn ) ≤ ρ(xn , xm ) + ρ( yn , ym ) .

Следовательно,

ρ(xm , ym ) − ρ(xn , yn ) ≤ ρ(xn , xm ) + ρ( yn , ym ) .

Для любого ε > 0 существуют такие N1(ε), N2(ε), что

ρ (xn, xm) < ε2 при n, m > N1(ε) и ρ (yn, ym) < ε2 при n, m > N2(ε).

Значит, при n, m > max { N1(ε), N2(ε)}

ρ(xm , ym ) − ρ(xn , yn ) < ε,

аэто означает, что числовая последовательность ρ(xn , yn ) фундаментальна и,

следовательно, существует lim ρ(xn , yn ).

n→∞

21