2.4. Векторное пространство

2.4.1. n-МЕРНЫЙ ВЕКТОР И ВЕКТОРНОЕ ПРОСТРАНСТВО

Определение. n-мерным вектором называется упорядоченная совокупностьn действительных чисел (x₁, x₂,…, x_n). Числа x₁, x₂,…, x_n называются компонентами вектора .

Определение. n-мерным векторным пространством R_n называют совокупность n-мерных векторов с действительными компонентами, рассматриваемая с определенными в ней операциями сложения векторов и умножения вектора на число.

2.4.2. Размерность и базис векторного пространства

Вектор называется линейной комбинацией векторов, если существуют такие действительные числа, не все одновременно равные нулю, что имеет место равенство.

Введем два эквивалентных определения линейной зависимости векторов.

Определение. Система векторов (k > 1) пространства R_n называется линейно зависимой, если хотя бы один из этих векторов является линейной комбинацией остальных векторов. В противном случае система векторов называется линейно независимой.

Определение. Система векторов (k > 1) пространства R_n называется линейно зависимой, если существуют такие числа , хотя бы одно из которых отлично от нуля, что имеет место равенство:. В противном случае система векторов называетсялинейно независимой.

Пример 2.13. Выяснить, является ли данная система векторов линейно зависимой.

.

Решение. Найдем решение эквивалентного равенства :

.

Задача сводится к решению однородной системы линейных уравнений

относительно неизвестных .

.

Система имеет бесконечное множество решений. Поэтому система векторов является линейно зависимой.

Общее решение имеет вид: .

Подставим общее решение в векторное равенство .

Полагая , получим:, откуда можно любой вектор выразить как линейную комбинацию остальных векторов. Например,или.

В пространстве R_n максимальное число линейно независимых векторов равно n. Любая система из n+1 вектора является линейно зависимой.

Определение. Совокупность n линейно независимых векторов пространства R_n называется его базисом.

Например, базис пространства R_n образуют n единичных векторов , причемi-я координата вектора e_i равна единице, а остальные координаты равны нулю. Данный базис принято называть естественным.

Пример 2.14. В естественном базисе заданы векторы= (1, 1, 0)^т, = (1, -1, 1)^т, = (-3, 5, -6)^т, = (4, -4, 5)^т. Показать, что векторы образуют базис. Выразить векторв базисеи найти связь между базисоми базисом.

Решение. Векторы образуют базис, если они линейно независимы. Решим векторное уравнениеотносительно неизвестных:

.

Решение данного уравнения единственное, а именно нулевое: . Следовательно, векторыобразуют линейно независимую систему векторов и составляют базис.

Выразим связь между базисами и определим координаты вектора в новом базисе:

Выпишем для данных систем расширенную матрицу

.

Коэффициенты при неизвестных х_ij, х_j (i,j = 1, 3) в системах совпадают. Поэтому методом Жордана–Гаусса находим одновременно решение четырех систем. Все вычисления представим в виде следующей таблицы:

Базис
	1 0 0	0 1 0	0 0 1	1 1 0	1 -1 1	-3 5 -6	4 -4 5
	1 -1 0	0 1 0	0 0 1	1 0 0	1 -2 1	-3 8 -6	4 -8 5
	1/2 1/2 -1/2	1/2 -1/2 1/2	0 0 1	1 0 0	0 1 0	1 -4 -2	0 4 1
	1/4 3/2 1/4	3/4 -3/2 -1/4	1/2 -2 -1/2	1 0 0	0 1 0	0 0 1	1/2 2 -1/2

Матрицу А, составленную из координат векторов , преобразуем в единичную матрицуЕ, тогда на месте единичной матрицы Е получим обратную матрицу А^-1. Матрица В преобразуется в матрицу А^-1В. Вектор в новом базисе выражается в виде следующей линейной комбинации векторов нового базиса:.

Связь между старым и новым базисами выражается следующим образом:

.

Проверка: