- •Международный консорциум «Электронный университет»
- •Оглавление
- •Тема 1.
- •Цель изучения – ознакомление с различными направлениями и методологией исследования операций
- •1.1. Основные определения
- •1.2. Этапы исследования операций
- •Время, требуемое на обработку каждой модели в каждом цехе
- •Тема 2.
- •Цель изучения – выработать навыки решения систем линейных алгебраических уравнений.
- •2.1. Алгебра матриц
- •2.1.1. Виды матриц
- •2.1.2. Действия над матрицами
- •2.2. Вычисление определителей
- •2.3. Решение систем алгебраических уравнений
- •2.3.1. Основные понятия и определения
- •2.3.2. Формулы крамера и метод обратной матрицы
- •2.3.3. Метод жордана–гаусса
- •2.4. Векторное пространство
- •2.4.2. Размерность и базис векторного пространства
- •2.5. Решение задач линейной алгебры с помощью ms Excel
- •Тема 3.
- •3.1. Постановки задачи линейного программирования
- •3.1.1. Общая постановка задачи линейного программирования
- •3.1.2. Основная задача линейного программирования
- •3.1.3. Каноническая задача линейного программирования
- •3.2. Графический метод решения злп
- •3.3. Анализ решения (модели) на чувствительность
- •3.4. Решение линейных моделей Симплекс-методом
- •3.5. Двойственный симплекс-метод (р-Метод)
- •3.6. Решение злп двухэтапным Симплекс-методом
- •Тема 4.
- •Теория двойственности в линейном программировании
- •Цель изучения – получить представление о теории двойственности и осознать ее экономическую значимость.
- •4.1. Определение и экономический смысл двойственной злп
- •4.2. Основные положения теории двойственности
- •Получение оптимального плана двойственной задачи на основании теоремы 4.4.
- •4.3. Решение злп с помощью Ms Excel
- •4.4. Анализ решения злп на основе отчетов ms excel
- •Тема 5.
- •Целочисленные модели исследования операций
- •Цель изучения – получить представление о специальных задачах линейного программирования, об особенностях решения зцлп.
- •5.1. Метод ветвей и границ решения целочисленных задач линейного программирования (цзлп)
- •X1, х2 0, целые.
- •5.2. Задача коммивояжера
- •Применение метода ветвей и границ для решения задачи коммивояжера
- •Ветвление
- •Построение редуцированных матриц и и вычисление оценок снизу
- •Формирование списка кандидатов на ветвление
- •Тема 6.
- •Экономические задачи, сводящиеся к транспортной модели
- •Цель изучения – получить представление об особенностях решения транспортной задачи и задачи о назначении.
- •6.1. Транспортная задача линейного программирования
- •Методы составления первоначальных опорных планов
- •Метод потенциалов решения транспортной задачи
- •Проверка выполнения условия оптимальности для незанятых клеток
- •Выбор клетки, в которую необходимо поместить перевозку
- •Построение цикла и определение величины перераспределения груза
- •Проверка нового плана на оптимальность
- •Определение оптимального плана транспортных задач, имеющих некоторые усложнения в их постановке
- •6.2. Экономические задачи, сводящиеся к транспортной модели
- •Оптимальное распределение оборудования
- •Формирование оптимального штата фирмы
- •Задача календарного планирования производства
- •Модель без дефицита
- •Модель с дефицитом
- •6.3. Задача о назначениях
- •Венгерский алгоритм
- •Оптимальное исследование рынка
- •Оптимальное использование торговых агентов
- •Глоссарий
- •Список рекомендуемой литературы Основная
- •Дополнительная
Построение редуцированных матриц и и вычисление оценок снизу
Положим:
Искомая редуцированная матрица получается из с помощью описанной выше процедуры редуцирования. Сумма констант редуцирования равна при этом , а величина
= d(Х1) +
является оценкой снизу для целевой функции F(x) на множестве .
Рассмотрим теперь множество . Все маршруты из этого множества содержат дугу (r,s). Найдем максимальный связанный путь, который принадлежит всем маршрутам множестваХ1 и содержит дугу (r,s). Пусть этот путь начинается в городе m и заканчивается в городе t (может быть, m = r или t = s, или то и другое одновременно). Чтобы запретить подцикл, начинающийся и заканчивающийся в m, положим (t,m) = +∞. Остальные элементы матрицы полагаем равными соответствующим элементам матрицы , при этом строку, соответствующую городу r, и столбец, соответствующий городу s, в матрицу не включаем, поскольку все маршруты из содержат дуги (r,s).
Редуцированная матрица расстояний для вершины получается из матрицы с помощью операции редуцирования. При этом оценка снизу для функции F(x) на множестве вычисляется по формуле
= d(Х1) + ,
где – сумма констант редуцирования.
Формирование списка кандидатов на ветвление
После вычисления каждой из оценок (i = 1,2) следует проверить, не состоит ли множество из единственного маршрута. Если в каждой строке и в каждом столбце матрицы оказалось лишь по одному элементу, отличному от +, то множество содержит единственный маршрут, длина которого равна. В этом случае верхняя граница (наименьшее из уже вычисленных значенийF(x)) полагается равной минимуму из предыдущего значения Z0 и , т.е.
Z0 = min {Z0, }.
Если содержит более одного маршрута именьше текущего значенияZ0, то множество включается в число кандидатов на ветвление. Остановка производится, если наименьшая из оценок снизу кандидатов на ветвление не меньше текущего значенияZ0.
Пример 5.2. Решить методом ветвей и границ задачу коммивояжера с матрицей
Возьмем в качестве произвольного допустимого маршрута:
x0 = {(1,2), (2,3), (3,4), (4,5), (5,1)}.
Тогда F(x0) = 10 + 10 + 20 + 15 + 10 = 65 – текущее значение Z0 – (верхняя граница длин всех маршрутов).
Получим редуцированную матрицу .
0 0 9 12 0
Нижняя граница d(x) = 10 + 1 + 8 + 10 + 8 + 9 + 12 = 58. Данное значение является нижней границей длин всех маршрутов. Заметим, что в идеальном случае поиск решения заключался бы в выборе ровно одного нулевого элемента в каждой строке и каждом столбце. Другими словами, если бы такой маршрут нулевой длины мог быть найден, то длина оптимального маршрута равнялась бы 58. Исходя из верхней и нижней границ, можно заключить, что 58 ≤ F(x*) ≤ 65.
Выберем дугу (r,s) с помощью вычисления значений функции (,).
(1,2) = 0, (2,1) = 0, (3,1) = 0, (4,2) = 4, (1,5) = 1, (2,3) = 5, (3,4) = 2, (5,2) = 2.
Следовательно, (r,s) = (2,3). Осуществим разбиение (ветвление). Правое подмножество X2 будет содержать все маршруты, которые исключают дугу (2,3). Поэтому C2 (2,3) = +∞.
=
Оценка снизу для правого подмножества X2 определяется следующим образом:
d(X2) = d(X) + Θ(2,3) = 58 + 5 = 63 < Z0.
Левое подмножество X1 будет содержать маршруты, которые всегда включают дугу (2,3), и поэтому вторая строка и третий столбец в матрицу C1 не включаются. В результате будем иметь матрицу на единицу меньшего размера. Далее необходимо положить C1 (3,2) = +∞, чтобы запретить подцикл {(2,3),(3,2)}. В результате получим матрицу
C1 = =.
Оценка снизу для левого подмножества:
d(X1) = d(X) + = 58 + 0 = 58 < Z0,
где – константа приведения матрицы С1
В списке кандидатов на ветвление множества X1 и X2. Так как d(X1) < d(X2), будем производить ветвление множества X1. Выберем дугу (r,s) с помощью значений функции (,) для матрицы.
(1,2) = 0, (1,5) = 2, (3,1) = 2, (3,4) = 3, (4,2) = 4, (5,2) = 2.
Следовательно, (r,s) = 4, (r,s) = (4,2).
Правая подматрица:
C4 = =.
Оценка снизу для правого подмножества:
d(X4) = d(X1) + Θ(4,2) = 58 + 4 = 62 < Z0.
Левая подматрица. Левое подмножество X3 будет содержать маршруты, которые всегда включают дугу (4,2), и поэтому четвертая строка и второй столбец в матрицу C3 не включаются. В результате будем иметь матрицу на единицу меньшего размера. Далее необходимо положить C3 (3,4) = +∞, чтобы запретить подцикл {(4,2),(2,3),(3,4)}. В результате получим матрицу
C3 = =.
d(X3) = d(X1) + = 58 + 5 = 63 < Z0.
В списке кандидатов на ветвление множества X3, X4, X2.
Минимальная нижняя оценка оказалась у множества X4, следовательно, для дальнейшего разбиения выбираем множество X4.
Определим дугу (r,s) с помощью значений функции (,) для матрицы .
(1,2) = 0, (1,5) = 1, (3,1) = 0, (3,4) = 3, (4,1) = 1, (5,2) = 2.
Следовательно, (r,s) = 3, (r,s) = (3,4).
Правая подматрица:
C6 = =.
Оценка снизу для правого подмножества:
d(X6) = d(X4) + Θ(3,4) = 62 + 3 = 65 = Z0.
Следовательно, множество X6 исключаем из списка.
Левая подматрица. Левое подмножество X5 будет содержать маршруты, которые всегда включают дугу (3,4), и поэтому третья строка и четвертый столбец в матрицу C5 не включаются. В результате будем иметь матрицу на единицу меньшего размера. Далее необходимо положить C5 (4,2) = +∞, чтобы запретить подцикл {(2,3), (3,4), (4,2)}, однако это условие оказалось уже выполненным. В результате получим матрицу
C5 = =.
Оценка снизу для левого подмножества:
d(X5) = d(X4) + = 62 + 0 = 62 < Z0.
В списке кандидатов на ветвление множества X3, X5, X2.
Минимальная нижняя оценка оказалась у множества X5, следовательно, для дальнейшего разбиения выбираем множество X5. Определим дугу (r,s) с помощью значений функции (,) для матрицы .
(1,2) = 0, (1,5) = 1, (4,1) = 3, (5,2) = 2.
Следовательно, (r,s) = 3, (r,s) = (4,1).
Правая подматрица:
C8 = =.
Оценка снизу для правого подмножества:
d (X8) = d(X5) + Θ(4,1) = 62 + 3 = 65 = Z0.
Следовательно, множество X8 исключаем из списка.
Левая подматрица. Левое подмножество X7 будет содержать маршруты, которые всегда включают дугу (4,1), и поэтому четвертая строка и первый столбец в матрицу C7 не включаются. В результате будем иметь матрицу на единицу меньшего размера. Далее необходимо положить C7 (1,2) = +∞, чтобы запретить подцикл {(2,3), (3,4), (4,1), (1,2)}.
C7 = =.
Оценка снизу для левого подмножества:
d(X7) = d(X5) + = 62 + 0 = 62 < Z0.
В списке кандидатов на ветвление множества X3, X7, X2. Множество X7 содержит единственный маршрут с минимальной нижней оценкой, поэтому задача решена. X1 = =X*;
Z0= F(x*) = 10 + 8 + 10 + 20 + 14 = 62.
Представим процесс решения в виде дерева (см. рис. 5.7).
Рис. 5.7.
Контрольные вопросы
Запишите задачу целочисленного линейного программирования.
Сформулируйте алгоритм метода ветвей и границ.
Перечислите область применения ЗЦЛП.
С какими трудностями приходится сталкиваться при алгоритмизации методов решения ЗЦЛП?
Приведите классификацию методов решения ЗЦЛП.
Какая задача называется задачей с ослабленными ограничениями?
Сформулируйте принцип ветвления в методе ветвей и границ.
Какую задачу решает понятие границы в методе ветвей и границ?
Сформулируйте постановку задачи коммивояжера.
Сформулируйте алгоритм метода ветвей и границ для решения задачи коммивояжера.
Задание №14
Решите ЗЦЛП методом ветвей и границ.
1. max(3x1 + 4x2) 2. max(3x1 + 4x2)
4x1 + 5x2 20 x1 + 7x2 21
x1 + 6x2 12 x1 + x2 4
0 x1 5 0 x1 4
0 x2 4 0 x2 3
x1 , x2 0 x1 , x2 0
x1 , x2 – целые. ` x1 , x2 – целые.
3. max(x1 + x2) 4. max(4x1 + x2)
3x1 + 4x2 12 2x1 - 3x2 6
3x1 + 2x2 9 4x1 + 9x2 18
0 x1 4 0 x1 2
0 x2 2 0 x2 3
x1 , x2 0 x1 , x2 0
x1 , x2 – целые. x1 , x2 – целые.
5. max(3x1 + x2) 6. max(x1 + 2x2)
4x1 + 3x2 18 x1 + x2 5
x1 + 2x2 6 3x1 + 8x2 24
0 x1 5 0 x1 5
0 x2 3 0 x2 3
x1 , x2 0 x1 , x2 0
x1 , x2 – целые. x1 , x2 – целые.
7. max(2x1 + x2) 8. max(3x1 - 2x2)
5x1 + 2x2 30 2x1 + 3x2 6
3x1 + 8x2 48 x1 - x2 2
0 x1 6 0 x1 3
0 x2 6 0 x2 3
x1 , x2 0 x1 , x2 0
x1 , x2 – целые. x1 , x2 – целые.
9. max(3x1 + 2x2) 10. max(x1 + 2x2)
2x1 + x2 7 5x1 + 9x2 45
4x1 + 3x2 18 x1 + 3x2 12
0 x1 3 0 x1 9
0 x2 4 0 x2 3
x1 , x2 0 x1 , x2 0
x1 , x2 – целые. x1 , x2 – целые.
11. max(2x1 + 5x2) 12. max(4x1 + 6x2)
4x1 + 5x2 20 3x1 + 7x2 21
x1 + 6x2 12 x1 + x2 4
0 x1 6 0 x1 5
0 x2 5 0 x2 4
x1 , x2 0 x1 , x2 0
x1 , x2 – целые. x1 , x2 – целые.
13. max(2x1 + 3x2) 14. max(5x1 + 2x2)
3x1 + 4x2 12 2x1 - 3x2 6
3x1 + 2x2 9 4x1 + 9x2 18
0 x1 6 0 x1 3
0 x2 3 0 x2 3
x1 , x2 0 x1 , x2 0
x1 , x2 – целые. x1 , x2 – целые.
15. max(4x1 + 2x2) 16. max(2x1 + 5x2)
4x1 + 3x2 18 x1 + x2 5
x1 + 2x2 6 3x1 + 8x2 24
0 x1 6 0 x1 4
0 x2 4 0 x2 4
x1 , x2 0 x1 , x2 0
x1 , x2 – целые. x1 , x2 – целые.
17. max(3x1 + 2x2) 18. max(5x1 - 3x2)
5x1 + 2x2 30 2x1 + 3x2 6
3x1 + 8x2 48 x1 - x2 2
0 x1 7 0 x1 3
0 x2 6 0 x2 3
x1 , x2 0 x1 , x2 0
x1 , x2 – целые. x1 , x2 – целые.
19. max(4x1 + 3x2) 20. max(x1 + 3x2)
2x1 + x2 7 5x1 + 9x2 45
4x1 + 3x2 18 x1 + 3x2 12
0 x1 4 0 x1 8
0 x2 4 0 x2 3
x1 , x2 0 x1 , x2 0
x1 , x2 – целые. x1 , x2 – целые.
21. max(4x1 + 4x2) 22. max(3x1 + 3x2)
4x1 + 5x2 20 3x1 + 7x2 21
x1 + 6x2 12 x1 + x2 4
0 x1 6 0 x1 4
0 x2 5 0 x2 3
x1 , x2 0 x1 , x2 0
x1 , x2 – целые. x1 , x2 – целые.
23. max(2x1 + 3x2) 24. max(5x1 + x2)
3x1 + 4x2 12 2x1 - 3x2 6
3x1 + 2x2 9 4x1 + 9x2 18
0 x1 4 0 x1 2
0 x2 2 0 x2 3
x1 , x2 0 x1 , x2 0
x1 , x2 – целые. x1 , x2 – целые.
max(4x1 + x2)
4x1 + 3x2 18
x1 + 2x2 6
0 x1 5
0 x2 3
x1 , x2 0
x1 , x2 – целые.
Задание №15
Решите методом ветвей и границ следующую задачу коммивояжера:
1. 2.
3. 4.
5. 6.
7. 8.
9. 10.
11. 12.
13. 14.
15. 16.
17. 18.
19. 20.
21. 22.
23. 24.
25.