Рис. 29

На прямой линии m выбираем произвольную точку K, задав на эпюре её проекции K1, K2.

Определяем натуральную величину отрезка СK путём построения пря- моугольного треугольника (задача 11). Через С1 проводим горизонтальную прямую и отмечаем расстояние до неё от точки K1. Это есть превышение K1 над С1. Из K2 проводим перпендикуляр к m2 и откладываем на нём найденное ранее превышение. Получаем точку K. Гипотенуза С2K – натуральная вели- чина отрезка СK.

На гипотенузе откладываем отрезок С2D длиной 80 мм. Из точки D опускаем перпендикуляр на m2 и получаем проекцию D2. При помощи линии связи определяем D1. С1D1 и С2D2 – проекции отрезка длиной 80 мм.

2.2. Свойства плоских фигур

Каждая фигура обладает характерными присущими только ей свойст- вами. Все свойства можно разделить на три группы.

К первой группе относятся те её свойства, которые сохраняются при проецировании. Они называются аффинными. Такими являются параллель-

ность и пропорциональность отрезков.

Ко второй группе относятся свойства, которые в ортогональных проек- циях сохраняются только при определённых условиях. Таким является пер- пендикулярность. Прямой угол будет проецироваться без искажения, когда хотя бы одна из его сторон параллельна плоскости проекций (на основании

26

теоремы о проецировании прямого угла). Если это условие не выполняется, то перпендикулярность можно использовать через геометрическое множест- во.

Свойства третьей группы вообще не сохраняются при проецировании. Такими являются равенство сторон и углов. Но если по ходу решения опре- деляется натуральная величина отрезка, то возникает вероятность использо- вания равенства сторон при построении проекций фигуры. Равенство углов, как правило, не учитывается.

Отметим характерные свойства некоторых плоских фигур, которые мо- гут использоваться при выполнении задания. Сначала указываются аффин- ные свойства, затем − второй и третьей группы. Равенство противоположных сторон отдельно не выделяется там, где оно является следствием их парал- лельности.

П р я м о у г о л ь н ы й т р е у г о л ь н и к (рис. 30а) – катеты взаимно перпендикулярны (АВ ВС); катет, лежащий против угла в 30°, равен поло- вине гипотенузы (│АВ│ = 1/2 │АС│); в треугольнике с углом 45° катеты равны.

Р а в н о с т о р о н н и й т р е у г о л ь н и к (рис. 30б) – высота, опу- щенная из каждой вершины на противоположную сторону, является одно- временно медианой треугольника, т. е делит сторону пополам (BD AC, AD = DC); точка пересечения высот треугольника делит каждую высоту в отно- шении 1:2 (OD : OB = 1:2); все стороны равны между собой (АВ = ВС = СD).

Р а в н о б е д р е н н ы й т р е у г о л ь н и к (рис. 30в) – высота, опу- щенная на основание, делит его пополам (LN KM, KN = NM); боковые сто- роны равны (KL = LМ).

Рис. 30

П р я м о у г о л ь н и к (рис. 31а) − противоположные стороны попар- но параллельны (AB ║ DC, BC ║ AD); диагонали, пересекаясь, делятся попо- лам (АО = ОС, ВО = ОD); смежные стороны взаимно перпендикулярны (AB

BC СD AD).

27

К в а д р а т (рис. 31б) – противоположные стороны попарно парал- лельны (KL ║ NM, LM ║ KN); диагонали, пересекаясь, делятся пополам (KО = ОM, LО = ОN); смежные стороны взаимно перпендикулярны (KL LM MNNK); диагонали взаимно перпендикулярны (KM LN); все стороны равны

(KL = LM = MN = NK).

парно параллельны (AB ║ DC, BC ║ AD); диагонали, пересекаясь, делятся пополам (АО = ОС, ВО = ОD).

Р о м б (рис. 32б) − противоположные стороны попарно параллельны (KL ║ NM, LM ║ KN); диагонали, пересекаясь, делятся пополам (KО = ОM, LО = ОN); диагонали взаимно перпендикулярны (KM LN); все стороны равны (KL = LM = MN = NK).

Примечание. Следует иметь в виду, что не обязательно все перечислен- ные свойства фигуры могут использоваться при решении конкретной задачи.

28

2.3. Геометрические множества точек и прямых линий

Рассмотрим геометрические множества, которые также могут приме- няться при конструировании плоской фигуры.

Множество точек или прямых, удовлетворяющих одному и тому же условию, называется геометрическим местом точек (ГМТ) или геометриче- ским множеством прямых (ГМП).

Вот некоторые из них.

1. ГМТ, равноудалённых от двух данных точек, является плос- кость, проходящая через середину отрезка, соединяющего эти точки, перпендикулярно к нему (рис. 33).

На рис. 33а представлен пространственный рисунок, а на рис. 33б – комплексный чертёж (эпюр) этого ГМТ.

Рис. 33

Так как пропорциональность на эпюре сохраняется, делим любую про- екцию отрезка АВ пополам и переносим полученную точку по линии связи в другое поле. Таким образом, находим середину отрезка АВ – точку О. Далее, используя теорему о перпендикуляре к плоскости, решаем задачу 9.

Через О1 проводим f1 A1B1 и h1 ║x12, через О2 – f2 ║х12, h2 A2B2. Плоскость Σ определена линиями уровня f и h.

2. ГМП, проходящих через точку перпендикулярно заданной пря- мой, является плоскость, проходящая через эту точку и перпендикуляр- ная к заданной прямой (рис. 34).

29

Из курса геометрии средней школы известно, что если прямая перпен-

дикулярна плоскости, то она перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости. Поэтому, если τ b (рис. 34а), то все прямые плоскости τ, проведённые через точку K, будут перпендикулярны прямой b. Одна из них пересечёт b, остальные с ней скрещивающиеся. На эпюре (рис. 34б) такая плоскость задаётся линиями уровня. Это задача 10 (см. рис. 27).

Рис. 34

3. ГМП, проходящих через данную точку параллельно заданной плоскости α, является плоскость β, параллельная α (рис. 35а).