2. ЗАДАНИЕ № 2. КОНСТРУИРОВАНИЕ ПЛОСКОЙ ФИГУРЫ

Цель выполнения задания

1)Закрепление теоретического материала по теме «Точка, прямая, плоскость, их взаимное расположение».

2)Приобретение навыков конструирования простейших геометриче- ских фигур.

3)Развитие логического и творческого мышления.

Содержание задания

1)Проанализировать условие задания и составить поэтапный план его выполнения, сопровождаемый рисунками.

2)Построить проекции плоской фигуры без применения способов пре- образования чертежа.

Оформление задания

Каждый студент выполняет индивидуальное задание на листе формата А3 (297 × 420). Номер варианта задания (см. прил. 2) соответствует порядко- вому номеру фамилии студента в журнале. Лист расположить вертикально. Провести рамочку на расстоянии 20 мм от края листа слева и по 5 мм со всех других сторон. Перечертить условие по координатам точек, приняв за начало координат левый нижний угол рамочки и совместив ось х с нижней, ось у с левой её стороной. В верхней части формата шрифтом № 10 написать «Зада- ние № 2. Конструирование плоской фигуры». Внизу тем же шрифтом указать фамилию, инициалы и группу.

Исходные данные вычертить простым карандашом сплошной толстой линией, вспомогательные построения – сплошной тонкой линией, искомые элементы выделить цветным карандашом. Все вершины и точки построения подписать стандартным шрифтом № 3,5 или № 5. Координаты вершин и раз- мерные числа указывать не нужно.

Ниже приведены задачи и теоретические сведения, которые необходи- мо хорошо усвоить, прежде чем приступить к выполнению задания.

2.1. Задачи, используемые при построении плоской фигуры

.

Задача 1. Плоскость Σ задана тремя точками А, В, С. Дана проекция m1 прямой m. Построить проекцию m2, если известно, что m лежит в плоскости Σ

(рис. 15).

Если прямая лежит в заданной плоскости, то она либо пересекает другие прямые этой плоскости, либо им параллельна.

Построение. Для того чтобы с плоскостью легче было работать, соеди- ним точки А, В, С. На эпюре получим проекции треугольника АВС. «Заце- пим» проекцию m1 за элементы первого поля, отметив точки пересечения её

16

со сторонами треугольника: m1∩А1С1=11, m1∩В1С1=21. По линиям связи на

сторонах А2С2→А1С1 и В2С2→В1С1 находим точки 12 и 22. Соединив 12 и 22 прямой линией, получим проекцию m2.

Задача 2. Плоскость τ задана двумя параллельными прямыми а и b. Дана проекция K2 точки K. Построить проекцию K1, если известно, что K ле- жит в плоскости τ (рис. 16).

Если точка лежит в плоскости, то она принадлежит какой-либо пря- мой этой плоскости.

Построение. «Зацепим» проекцию K2 за элементы второго поля. Для этого проведём через K2 произвольную прямую линию m2, пересекающую прямые плоскости τ. Отметим точки пересечения прямых линий: m2∩a2=12,

По линиям связи на а1 и b1 находим точки 11 и 21. Соединив 11 и 21, по- лучим m1. Так как K2 m2, то K1 m1. Проводим через K2 линию связи и на пересечении её с m1 получаем искомую точку K1.

Задача 3. Дана плоскость Σ(АВС) и точка K, не принадлежащая Σ (рис. 17). Провести через точку K плоскость τ, параллельную Σ.

Если две пересекающиеся прямые одной плоскости параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости, то такие плоскости взаимно параллельны.

17

Рис. 17

Построение выполняем на основании сформулированного выше признака па- раллельности двух плоскостей.

Проведём через К1 прямые линии m1║A1B1, n1║B1C1 и через К2 – m 2║A2B2, n2║B2C2. Плоскость τ, определённая прямыми m и n, будет параллельна за-

данной плоскости Σ.

Задача 4. Построить линию пересечения двух плоскостей Σ и τ, одна из которых проецирующая (рис. 18).

Построить линию пересечения двух плоскостей − значит построить линию, принадлежащую одновременно каждой из заданных плоскостей.

На рис. 18а Σ (АВС), τ π2.

Поскольку плоскость τ горизонтально проецирующая, то проекция l2 искомой линии пересечения совпадает со следом τ2: l2≡τ2. Проекцию l1 стро- им как недостающую проекцию прямой линии, лежащей в плоскости Σ (зада- ча 1). Отмечаем точки пересечения l2 c A2C2 и В2С2 − l2∩А2С2=12, l2∩B2C2=22. По линиям связи находим точки 11 и 21. Соединив их, получим проекцию l1.

На рис. 18б Σ π1, τ(m║n).

Поскольку плоскость Σ – фронтально проецирующая, то проекцию l1≡Σ1; l2 определяем как недостающую проекцию линии, лежащей в плоско- сти τ (задача 1). Последовательность построения показана стрелочками.

18

Рис. 18

Задача 5. Построить линию пересечения двух плоскостей Σ и τ общего положения.

Задачу решаем методом вспомогательных секущих плоскостей. Алгоритм решения задачи.

На рис. 19 показано пространственное изображение плоскостей Σ и τ. Линию пересечения строим в следующей последовательности.

1.Проводим вспомогательную секущую плоскость α так, чтобы она пе- ресекла каждую из заданных плоскостей.

2.Строим линию пересечения α с каждой из заданных плоскостей:

α∩Σ=а, α∩τ=b.

3.Отмечаем точку пересечения построенных прямых: a∩b=K. Она ле-

19

Рис. 20

1.Проводим вспомогательную плоскость α π1.

2.Строим линию пересечения α с плоскостью Σ (задача 4). Пусть α ∩

Σ=а, тогда а1≡α1, а2 проходит через точки 12 →11 и 22 →21. Затем строим ли- нию пересечения α с плоскостью τ: α∩τ=b b1≡α1; так как b1║n1, то b2 пройдёт через точку 32→31 параллельно n2.

3.Отмечаем точки пересечения а2 с b2: a2∩b2=K2 l2. По линии связи определяем проекцию K1 l1 на α1.

4.Проводим вспомогательную плоскость β π1. Будет разумным про- вести β║α. В этом случае линии пересечения вспомогательных плоскостей с заданными пройдут параллельно друг другу. И тогда достаточно использо-

вать только по одной точке. Пусть β ∩Σ = а′ а1′≡β1, а2′ пройдёт через точ- ку 42→41 параллельно а2. Если β1 провести через n1, то β ∩τ=b′≡n. Отмечаем точку пересечения а2′ с n2: a2′ ∩ n2 = M2 l2 и по линии связи находим М1 l1

на β1.

5. Соединив одноимённые проекции построенных точек, получим про- екции l1≡K1M1, l2≡K2M2 искомой линии пересечения плоскостей Σ и τ.

Задача 6. Достроить недостающую проекцию прямой m, проходящей через точку К параллельно заданной плоскости Σ.

Дана плоскость Σ(АВС) и проекция m1 прямой линии m (рис. 21). Построить m2, если известно, что в пространстве m║Σ и К m (рис.

21).

Если прямая линия параллельна какой-либо прямой, лежащей в плоско- сти, то она параллельна самой плоскости.

20

Рис. 21

В плоскости Σ построим прямую l, параллельную m. Для этого в пер- вом поле проведём l1║m1. Затем строим l2 как недостающую проекцию пря- мой l, лежащей в плоскости Σ (см. задачу 1). Искомая проекция m2 прямой линии m пройдёт через К2 параллельно l2.

Задача 7. Дана плоскость Σ(c║d) и прямая l (рис. 22). Построить точку K пересечения l и плоскости Σ.

Построить точку пересечения прямой линии с плоскостью − это зна- чит построить точку, принадлежащую заданной плоскости и лежащую од- новременно на данной прямой.

Задачу решаем методом вспомогательной секущей плоскости.

Алгоритм решения задачи (рассмотрим его одновременно в простран- стве (рис. 22а) и на эпюре (рис.22б)).

1. Через прямую l проводим вспомогательную секущую плоскость β. Обычно её выбирают проецирующей, т. е. перпендикулярной либо π1, либо π2. Предположим, что β π1, тогда на эпюре необходимо отметить след этой плоскости β1. Он должен совпадать с l1, так как l β (рис. 22б). Если же β π2,

то β2≡l2.

2. Строим линию m пересечения вспомогательной плоскости β с дан- ной плоскостью Σ (задача 4): β ∩Σ=m. Так как β π1, то m1≡β1, m2 строим как недостающую проекцию прямой, принадлежащей плоскости Σ. Отмечаем точки 11=m1∩с1 и 21=m1∩d1 и по линиям связи переносим их во второе поле: 12 с2, 22 d2. Соединив 12 и 22, получим проекцию m2.

21

3. Отмечаем точку пересечения построенной прямой m с данной пря- мой l: m∩l=K. Эта точка принадлежит и прямой l, и плоскости Σ. Следова- тельно, является искомой точкой пересечения прямой и плоскости.

На эпюре отмечаем К2=m2∩l2. Затем по линии связи на l1 находим К1. Примечание. Если при решении задачи окажется, что m параллельна l,

то в пространстве прямая l параллельна плос- кости Σ.

Решение задачи становится совсем про- стым, если задана проецирующая плоскость.

Задача 8. Построить точку пересечения прямой l общего положения с проецирующей плоскостью Σ (рис. 23).

Так как Σ π1, то К1 Σ1, кроме того, К1 l1. Следовательно, К1=Σ1∩l1. По линии связи находим К2 l2.

Задача 9. Дана плоскость Σ и точка К. Опустить из точки К перпендикуляр p на эту плоскость.

В основе решения поставленной задачи лежат следующие две теоремы.

Рис. 23

22

Теорема о перпендикуляре к плоскости

Если в пространстве прямая линия перпендикулярна плоскости, то на эпюре первая проекция прямой перпендикулярна первой проекции первой ли- нии уровня, вторая проекция прямой перпендикулярна второй проекции вто- рой линии уровня.

Доказывается на основании теоремы о проецировании прямого угла.

Теорема о проецировании прямого угла

Прямой угол проецируется в натуральную величину, если хотя бы одна из его сторон параллельна плоскости проекций.

Доказывается на основании теоремы о трёх перпендикулярах.

Рассмотрим решение задачи при различных способах задания плоско-

сти.

1. Плоскость Σ общего положения задана треугольником АВС (рис. 24).

Рис. 24

Проводим в плоскости Σ первую (AD) и вторую (СЕ) линии уровня. На осно- вании теоремы о перпендикуляре к плоскости проекция p1 перпендикуляра пойдёт в направлении, перпендикулярном A1D1, p2 – перпендикулярном Е2С2.

2.На рис. 25 плоскость Σ общего положения задана линиями уровня m

иn. Проекции перпендикуляра проводим сразу без предварительных по-

строений: p1 m1, p2 n2.

3. На рис. 26 дана проецирующая плоскость Σ. Перпендикуляр, опу- щенный на проецирующую плоскость, будет линией уровня. Поэтому, так как Σ π1, то р║π1 р1 Σ1, р2║х12.

23

Задача 10. Через точку А провести плоскость Σ, перпендикулярную за- данной прямой m (рис. 27).

Эта задача является обратной к только что рассмотренной задаче 8. Там проводили перпендикуляр к заданной плоскости. Теперь, наоборот, перпен- дикуляр есть (это прямая m), плоскость строим.

Рассмотрим два случая.

Рис. 27

На рис. 27а прямая линия m общего положения. Тогда и плоскость Σ также будет общего положения. Имеет место вариант, обратный тому, что изображён на рис. 24.

Через точку А1 проводим f1 m1. Это первая проекция первой линии уровня. Вторая её проекция f2 пойдёт параллельно оси х12. Через А2 проводим

24

h2 m2. Это вторая проекция второй линии уровня. Её первая проекция h1 пойдёт параллельно оси х12. Прямые линии f и h определили плоскость Σ.

На рис. 27, б прямая m – вторая линия уровня. Согласно рис. 26 плос- кость Σ будет горизонтально проецирующей. Она задаётся следом Σ2, кото- рый проходит перпендикулярно m2.

Задача 11. Определить натуральную величину отрезка АВ (рис. 28).

Натуральная величина отрезка равна гипотенузе прямоугольного тре- угольника, одним катетом которого является проекция этого отрезка, дру- гим – превышение одного конца отрезка над другим, взятое с другой проек- ции.

На какой бы проекции ни построили этот треугольник, результат будет один и тот же.

Рис. 28

На рис. 28а треугольник построен на фронтальной проекции А1В1. Пре- вышение взято с горизонтальной проекции.

На рис. 28б одним катетом прямоугольного треугольника является го- ризонтальная проекция А2В2, другим – превышение, взятое с фронтальной проекции.

Величина гипотенузы в обоих случаях получилась одинаковой. Чёр- точками отмечены равные расстояния.

Задача 12. На заданной прямой линии m от точки С отложить отрезок СD длиной 80 мм (рис. 29).

25