б

а

Монжа в общем случае является пара прямых линий, в частном случае – прямая и точка.

1.3. Модель плоскости

Плоскость в пространстве может быть определена:

−тремя точками;

−прямой линией и точкой;

−двумя пересекающимися или параллельными прямыми.

Задав на эпюре модели геометрических образов, определяющих плос- кость, получим модель плоскости.

На рис. 7 представлены модели плоскостей: Σ (рис. 7а), определённой тремя точками A, В, С; α (рис. 7б), определённой точкой D и прямой m; τ (рис. 7в), определённой двумя пересекающимися прямыми а и b; β (рис. 7г), определённой двумя параллельными прямыми с и d.

7

Рис. 7

Плоскости, как и прямые, могут быть общего и частного положения.

Плоскость, проходящая под произвольным углом, отличным от прямо-

го, к π1 и π2, называется плоскостью общего положения. Все плоскости,

представленные на рис. 7, являются плоскостями общего положения.

Плоскость, перпендикулярная одной из плоскостей проекций, называ-

ется проецирующей. Одна из проекций проецирующей плоскости вырожда- ется в прямую линию, которую называют следом плоскости. Проецирующая плоскость моделируется обычно своим следом.

На рис. 8а показана плоскость γ π1. Она называется фронтально про-

ецирующей.

Рис. 8

На эпюре она задана следом γ1. Для того чтобы след проецирующей плоскости отличался от проекции прямой линии, его край показан утолщён- ной линией. На рис. 8б представлена плоскость ω π2 – горизонтально про- ецирующая. На эпюре она задана следом ω2.

Если проецирующая плоскость параллельна другой плоскости проек- ций, то она называется плоскостью уровня (рис. 9).

8

Рис. 9

На рис. 9а представлена горизонтальная плоскость α π1 и ║π2 . На рис 9б изображён след фронтальной плоскости β π2 и ║π. Профильная плос- кость τ π1, π2 и ║ π3. На эпюре (рис. 9в) она задана двумя следами τ1 и τ2.

1.4. Образец выполнения задания № 1

Пример. Сконструировать многогранник, у которого грань ABCD па- раллельна плоскости π2, грань CDEP перпендикулярна π2, − KPET перпенди- кулярна π1.

Конструирование начинаем с анализа заданных геометрических форм частного положения. Грань ABCD находится в плоскости, параллельной π2, на произвольном расстоянии от неё. Это означает, что её проекция на π1 бу- дет расположена параллельно оси х12 (см. рис. 9а). Грань может иметь форму квадрата, прямоугольника, параллелограмма, трапеции или произвольного четырёхугольника. Начнём с простейшего варианта. Пусть это будет прямо- угольник (рис. 10а).

Грань CDEP, имеющая с предыдущей гранью общее ребро CD, должна быть перпендикулярна π2 и не параллельна ни π1, ни π3. Это означает, что она находится в горизонтально проецирующей плоскости, след которой на эпюре проходит под углом к оси проекций (см. рис. 8б). Поскольку ребро CD нахо- дится в этой плоскости, то её след должен совпадать с проекцией С2D2. Если оставить расположение ребра таким, как показано на рис. 10а, то вопреки ус- ловию проведённая через него грань будет перпендикулярна π1 и параллель- на π3. Следовательно, необходимо изменить форму фигуры ABCD. Один из возможных вариантов представлен на рис. 10б.

9

Проекции Е2 и Р2 двух других вершин грани CDEP должны попасть на прямую линию, проходящую через С2D2. Пусть это будет прямоугольник, стороны DE и СР которого перпендикулярны π2. Тогда Е2 ≡ D2, Р2≡ С2 (рис.

11а).

Грань КРЕТ должна быть перпендикулярна к π1, занимая общее поло- жение относительно π2 и π3. Она имеет с гранью CDEP общее ребро ЕР. Её след на π1 должен совпадать с Е1Р1 и проходить под углом к оси х12 (см. рис. 8б). Но при положении этого ребра, представленном на рис. 11а, плоскость грани окажется параллельной π2 и перпендикулярной π3. Необходимо изме- нить форму грани CDEP. Один из возможных вариантов показан на рис. 11б.

Рис. 11

Представив три данные грани в пространстве и замкнув их ещё тремя, получим поверхность многогранника. Модель его показана на рис. 12. Изме- няя форму и расположение граней, будем получать другие варианты конст-

10

руируемой поверхности. В этом и состоит творческий процесс.

В том случае, когда одна из граней конструируемого многогранника занимает общее положение по отношению к плоскостям проекций π1 и π2, не- обходимо проверить принадлежат ли точки, её задающие, одной плоскости. Для этого можно определить, находятся ли точки пересечения проекций диа- гоналей четырёхугольника на одной линии связи. Если не находятся, то сле- дует изменить положение вершин (сохраняя исходное условие) так, чтобы диагонали оказались пересекающимися (рис.13).

Наглядное изображение конструируемого многогранника строим в прямоугольной изометрии. Аксонометрические оси в ней располагаются под углом 120◦, коэффициенты искажения по всем осям равны 1.

Для построения изометрии многогранника, прежде всего, необходимо соотнести его с системой координат, совместив ось х с осью проекций х12. На горизонтальной проекции определяем координаты х и y всех вершин много- гранника и переносим их на соответствующие аксонометрические оси х′ и у′ (рис. 14). Перенос удобно осуществлять при помощи полоски бумаги, со- вместив начало координат ортогонального чертежа с началом координат ак- сонометрической системы. На пересечении прямых линий, проведённых че- рез отметки координат параллельно аксонометрическим осям, получаем вто- ричные проекции всех вершин многогранника. Из этих точек поднимаем вер- тикали и откладываем на них высоты. Построенные первичные проекции вершин последовательно соединяем с учётом видимости рёбер.

11

12

Рис. 14